浙教版数学八（下）微素养核心突破4 二次根式的相关计算

试卷更新日期：2024-04-14 类型：复习试卷

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一、类型1 巧用乘方公式

1. 计算 $(\sqrt{5} - \sqrt{3}) (\sqrt{5} + \sqrt{3}) - {(\sqrt{2} + \sqrt{6})}^{2}$ 的结果是（）

A、 $-$ 7 B、 $- 7 - 2 \sqrt{3}$ C、 $- 7 - 4 \sqrt{3}$ D、 $- 6 - 4 \sqrt{3}$

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2. 若 $x = \sqrt{5} - 1$ ，则 $x^{2} + 2 x + 1$ 的值是.

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3. 如果 ${(2 + \sqrt{2})}^{2} = a + b \sqrt{2} (a ， b$ 为有理数)，那么a= ， b=.

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4. 已知 $x = \sqrt{6} - 2 ， y = \sqrt{6} + 2 ，$ 则代数式 $x^{2} - y^{2}$ 的值为.

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5. 阅读与思考
请仔细阅读并完成相应任务：在解决问题“已知 $a = \frac{1}{\sqrt{2} - 1}$ ，求 $3 a^{2} - 6 a - 1$ 的值”时，小明是这样分析与解答的：
∵ $a = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2} - 1) (\sqrt{2} + 1)} = \sqrt{2} + 1$
∴ $. a - 1 = \sqrt{2}$ ，
∴ $a^{2} - 2 a = 1$ ，
∴ $3 a^{2} - 6 a = 3 ， 3 a^{2} - 6 a - 1 = 2$ .
任务：请你根据小明的分析过程，解决如下问题：若 $∵ a = \frac{2}{3 - \sqrt{7}}$ ，求 $2 a^{2} - 12 a + 1$ 的值.

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6. 解答下列各题：

(1)、计算： $\frac{1}{2} \sqrt{24} + 2 \sqrt{3} \times \sqrt{2} - \sqrt{48} \div \sqrt{2}$ .

(2)、设实数 $\sqrt{7}$ 的整数部分为a，小数部分为b，求 $(2 a + b) (2 a - b)$ 的值.

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二、类型2 整体代入

7. 已知 $x = \sqrt{3} + 1$ ， $y = \sqrt{3} - 1$ ，则 $x^{2} y - x y^{2} =$ .

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8. 已知 $a = \sqrt{5} + \sqrt{3}$ ， $b = \sqrt{5} - \sqrt{3}$ ，则 $a^{2} - b^{2}$ 的值是.

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9. 已知 $a = \sqrt{3} + \sqrt{2}$ ， $b = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ ，则 $a^{2} b - a b^{2}$ =.

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10.

(1)、已知x=2+ $\sqrt{3}$ ， y=2- $\sqrt{3}$ ，求 $\frac{x}{y} - \frac{y}{x}$ 的值；

(2)、已知a= $\frac{1}{\sqrt{2} - 1}$ ， b= $\frac{1}{\sqrt{2} + 1}$ ，求a²-3ab+b²的值

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11. 已知 $a = 2 + \sqrt{3} ， b = 2 - \sqrt{3}$ ，求 $\frac{a}{b} - \frac{b}{a}$ 的值.

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12. 定义：我们将 $(\sqrt{a} + \sqrt{b})$ 与 $(\sqrt{a} - \sqrt{b})$ 称为一对“对偶式”，因为 $(\sqrt{a} + \sqrt{b}) (\sqrt{a} - \sqrt{b})$
$= {(\sqrt{a})}^{2} - {(\sqrt{b})}^{2} = a - b$ ，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将 $(\sqrt{a} + \sqrt{b})$ 中的“根号”去掉，于是二次根式除法可以这样计算：如 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}} = \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{2}}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}$ .像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化.
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：

(1)、对偶式 $2 + \sqrt{3}$ 与 $2 - \sqrt{3}$ 之间的关系为____.

A、互为相反数 B、互为倒数 C、绝对值相等 D、没有任何关系

(2)、已知 $x = \frac{1}{\sqrt{5} - 2}$ ， $y = \frac{1}{\sqrt{5} + 2}$ ，求 $\frac{x - y}{x^{2} y + x y^{2}}$ 的值.

(3)、解方程： $\sqrt{24 - x} - \sqrt{8 - x} = 2$ （提示：利用“对偶式”相关知识，令 $\sqrt{24 - x} + \sqrt{8 - x} = t$ ）.

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三、类型3 数形结合

13. 要焊接一个如图所示的钢架，需要的钢材长度是（）

A、 $(3 \sqrt{5} + 7) m$ B、 $(5 \sqrt{3} + 7) m$ C、 $(7 \sqrt{5} + 3) m$ D、 $(3 \sqrt{7} + 5) m$

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14.

(1)、填空：
$\sqrt{3^{2}} =$ $， \sqrt{{0.5}^{2}} =$ ，
$\sqrt{{(- 17)}^{2}} =$ $， \sqrt{{(- \frac{3}{4})}^{2}} =$ ，
$\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}} =$ ， $\sqrt{0^{2}} =$ .

(2)、 $\sqrt{a^{2}} -$ 定等于a吗? 你发现其中的规律了吗?请用自己的语言描述出来。

(3)、利用你总结的规律，计算：
①若 $x < \frac{7}{3} ，$ $\sqrt{{(x - \frac{7}{3})}^{2}} =$
② $\sqrt{{(3.14 - π)}^{2}} =$

(4)、若a，b，c为三角形的三边长，化简： $\sqrt{{(a + b - c)}^{2}} + \sqrt{{(a - b - c)}^{2}} + \sqrt{{(b - c - a)}^{2}} .$

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15. 我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：s= $\sqrt{\frac{1}{4} [a^{2} b^{2} - {(\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2})}^{2}]}$ （其中a、b、c为三角形的三边长，s为面积）．若已知三角形的三边长分别为5，6，7，试运用公式计算该三角形的面积s．

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16. 已知 $△ A B C$ 中， $A B = 1$ ， $B C = 4 \sqrt{\frac{1}{2}}$ ， $C A = \frac{1}{5} \sqrt{125}$ .

(1)、分别化简 $4 \sqrt{\frac{1}{2}}$ ， $\frac{1}{5} \sqrt{125}$ ；

(2)、试在4×4的方格纸上画出 $△ A B C$ ，使它的顶点都在方格的顶点上（每个小方格的边长为1）；并求点B到 $A C$ 边的距离.

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17. 如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，请在所给网格中按下列要求画出图形．

(1)、（i）已知点A在格点（即小正方形的顶点）上，画一条线段AB，长度为 $\sqrt{10}$ ，且点B在格点上．
（ii）以上题所画的线段AB为一边，另外两条边长分别为 $\sqrt{5}$ ， $\sqrt{13}$ ．画一个△ABC，使点C在格点上（只需画出符合条件的一个三角形）．

(2)、所画出的△ABC的边AB上的高线长为．（直接写出答案）

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四、类型4 先变形、再化简

18.

(1)、已知 $x = 1 - \sqrt{2} ， y = 1 + \sqrt{2} ，$ ，求代数式   $x^{2} + y^{2} - x y$ 的值.

(2)、已知   $x = \sqrt{5} + \sqrt{3} ， y = \sqrt{5} - \sqrt{3} ，$ 求代数式 $\frac{x^{2} y - x y^{2}}{x^{2} - y^{2}}$ 的值.

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19. 已知   $a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} .$

(1)、求   $a^{2} - 4 a + 4$ 的值.

(2)、化简并求值   $\frac{a^{2} - 1}{a + 1} - \frac{\sqrt{a^{2} - 2 a + 1}}{a^{2} - a} .$

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