2024年浙教版数学八（下）微素养核心突破3 分母有理化

试卷更新日期：2024-04-14 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 化简＝（）

A、2 B、 C、6 D、

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2. 化简 $\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ 的结果为（）

A、 $2 + \sqrt{3}$ B、 $2 - \sqrt{3}$ C、 $- 2 + \sqrt{3}$ D、 $- 2 - \sqrt{3}$

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3. 无理数 $\sqrt{5}$ 的倒数是（）

A、 $- \sqrt{5}$ B、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $- 5$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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4. 已知 $\sqrt{x^{2} - 2} + \sqrt{2 - x^{2}} + 2 \sqrt{6} = (\sqrt{2} - x) y$ ，则 $\frac{1}{x + y}$ 的值为（）

A、 $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2} - \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3} + \sqrt{2}$ D、 $- \sqrt{3} - \sqrt{2}$

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5. 下列计算中，错误的是（）

A、 $\sqrt{18} - \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{7}{3} \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2 + \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{8}{3}} = \frac{2 \sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{8} + \sqrt{18}}{2} = \sqrt{4} + \sqrt{9} = 5$ D、 $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$

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6. 已知a= $\frac{1}{\sqrt{2} + 1}$ ，b= $\frac{1}{\sqrt{2} - 1}$ ，则a与b的关系是（）

A、相等 B、互为相反数 C、互为倒数 D、平方值相等

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7. 在将式子 $\frac{m}{\sqrt{m}}$ （m＞0）化简时，
小明的方法是： $\frac{m}{\sqrt{m}}$ = $\frac{m^{} \sqrt{m}}{\sqrt{m} \cdot \sqrt{m}}$ = $\frac{m \sqrt{m}}{m}$ = $\sqrt{m}$ ；

小亮的方法是： $\frac{m}{\sqrt{m}} = \frac{{(\sqrt{m})}^{2}}{\sqrt{m}} = \sqrt{m}$ ；

小丽的方法是： $\frac{m}{\sqrt{m}} = \frac{\sqrt{m^{2}}}{\sqrt{m}} = \sqrt{\frac{m^{2}}{m}} = \sqrt{m}$ .

则下列说法正确的是（　　）

A、小明、小亮的方法正确，小丽的方法错误 B、小明、小丽的方法正确，小亮的方法错误 C、小明、小亮、小丽的方法都正确 D、小明、小丽、小亮的方法都错误

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8. 观察下列各式： $\frac{1}{1 + \sqrt{2}} = \sqrt{2} - 1$ ， ……， $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} = \sqrt{4} - \sqrt{3}$ ， ……请你从上述等式中找出规律，并利用这一规律计算： $\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \frac{1}{\sqrt{2021} + \sqrt{2022}}$ 的值是（）

A、 $\sqrt{2022} - 1$ B、 $\sqrt{2022} + 1$ C、 $\sqrt{2021} - 1$ D、 $\sqrt{2021} + 1$

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9. 在化简 $\frac{x - y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}$ 时，甲、乙两位同学的解答如下：
甲： $\frac{x - y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} = \frac{(x - y) (\sqrt{x} - \sqrt{y})}{(\sqrt{x} + \sqrt{y}) (\sqrt{x} - \sqrt{y})} = \frac{(x - y) (\sqrt{x} - \sqrt{y})}{{(\sqrt{x})}^{2} - {(\sqrt{y})}^{2}} = \sqrt{x} - \sqrt{y}$ ；
乙： $\frac{x - y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} = \frac{{(\sqrt{x})}^{2} - {(\sqrt{y})}^{2}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} = \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y}) (\sqrt{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} = \sqrt{x} - \sqrt{y}$ .
这两位同学的解法，你认为（）

A、两人解法都对 B、甲错乙对 C、甲对乙错 D、两人都错

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二、填空题

10. $\sqrt{x} + 1$ 的一个有理化因式是．

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11. 像 $(\sqrt{5} + \sqrt{2}) (\sqrt{5} - \sqrt{2}) = 3$ 、 $\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a (a \geq 0)$ 、 $(\sqrt{b} + 1) (\sqrt{b} - 1) = b - 1 (b \geq 0)$ ……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，请写出 $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ 的一个有理化因式.

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12. 直接写出下列二次根式化简后的结果：
$\sqrt{200}$ = ， $\sqrt{1 \frac{3}{4}}$ =

$\frac{2 - \sqrt{6}}{\sqrt{2}}$ = ， $\frac{1}{\sqrt{3} - 2}$ =

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13. 满足不等式 $\frac{4}{\sqrt{2} + 1} < m < \frac{4}{3 - \sqrt{5}}$ 的整数 $m$ 的个数是.

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14. 化简题中，有四个同学的解法如下：
① $\frac{3}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} = \frac{3 (\sqrt{5} - \sqrt{2})}{(\sqrt{5} + \sqrt{2}) (\sqrt{5} - \sqrt{2})} = \sqrt{5} - \sqrt{2}$

② $\frac{3}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{2}) (\sqrt{5} - \sqrt{2})}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} = \sqrt{5} - \sqrt{2} ；$

③ $\frac{a - b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{(a - b) (\sqrt{a} - \sqrt{b})}{(\sqrt{a} + \sqrt{b}) (\sqrt{a} - \sqrt{b})} = \sqrt{a} - \sqrt{b} ；$

④ $\frac{a - b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b}) (\sqrt{a} - \sqrt{b})}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \sqrt{a} - \sqrt{b} .$

他们的解法，正确的是．（填序号）

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15. 在学习二次根式的过程中，小腾发现有一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系
例如：由（ $\sqrt{2}$ ＋1）（ $\sqrt{2}$ ﹣1）＝1，可得 $\sqrt{2}$ ＋1与 $\sqrt{2}$ ﹣1互为倒数，即 $\frac{1}{\sqrt{2} + 1}$ ＝ $\sqrt{2}$ ﹣1， $\frac{1}{\sqrt{2} - 1}$ ＝ $\sqrt{2}$ ＋1，类似地， $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ ＝ $\sqrt{3}$ ﹣ $\sqrt{2}$ ， $\frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$ ＝ $\sqrt{3}$ ＋ $\sqrt{2}$ ； $\frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ ＝2﹣ $\sqrt{3}$ ， $\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ ＝2＋ $\sqrt{3}$ ；⋯．
根据小腾发现的规律，解决下列问题：

(1)、 $\frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}}$ ＝， $\frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}$ ＝；（n为正整数）

(2)、若 $\frac{1}{2 \sqrt{2} + m}$ ＝2 $\sqrt{2}$ ﹣m，则m＝；

(3)、计算： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + ⋯ + \frac{1}{\sqrt{100} + \sqrt{99}}$ ＝．

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三、计算题

16. 计算

(1)、 ${(- \sqrt{11})}^{2} + \sqrt{{(- 13)}^{2}}$ ；

(2)、 $\sqrt{\frac{2}{3}} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ ；

(3)、 $\frac{1}{2} \sqrt{24} - 2 \sqrt{3} \times \sqrt{2}$ ；

(4)、 $\sqrt{\frac{1}{3}} \times \sqrt{6} \div \sqrt{2}$ ；

(5)、 ${(2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{2})}^{2}$ ；

(6)、 $\frac{2}{\sqrt{3} - 1}$ .

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17. 解决如下问题：

(1)、分母有理化： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1}$ ．

(2)、计算： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + ⋯ + \frac{1}{\sqrt{2025} + \sqrt{2024}}$ ．

(3)、若a＝ $\frac{1}{\sqrt{5} - 2}$ ，求2a²-8a+1的值．

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四、解答题

18. 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如 $\frac{5}{\sqrt{3}}$ ， $\sqrt{\frac{2}{3}}$ ， $\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ 这样的式子，我们还可以将其进一步化简： $\frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{5}{3} \sqrt{3}$ ， $\sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{2 \times 3}{3 \times 3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ ， $\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2 \times (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)} = \frac{2 \times (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3})^{2} - 1^{2}} = \sqrt{3} - 1$
以上这种化简的步骤，将分母乘某个因式，使得积不含有根式，叫做分母有理化．其中 $\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ 还可以用以下方法化简： $\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{3 - 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3})^{2} - 1^{2}}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)}{\sqrt{3} + 1} = \sqrt{3} - 1$

(1)、请用不同的方法化简 $\frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

(2)、化简： $\frac{1}{\sqrt{3} + 1} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} + . . . + \frac{1}{\sqrt{2 n + 1} + \sqrt{2 n - 1}}$

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19. 阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 $\frac{3}{\sqrt{5}}$ ， $\sqrt{\frac{2}{3}}$ ， $\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ 一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
$\frac{3}{\sqrt{5}}$ = $\frac{3 \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}}$ = $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ ；（一）

$\sqrt{\frac{2}{3}}$ = $\sqrt{\frac{2 \times 3}{3 \times 3}}$ = $\frac{\sqrt{6}}{3}$ （二）

$\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ = $\frac{2 \times (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)}$ = $\frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{{(\sqrt{3})}^{2} - 2^{2}}$ = $\sqrt{3}$ ﹣1（三）

以上这种化简的步骤叫做分母有理化．

化简： $\frac{1}{1 + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{7}} + \dots \frac{1}{\sqrt{2 n - 1} + \sqrt{2 n - 1}}$ ．

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20. 观察下列各式：
      $(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1) = 1$ ，
      $(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 1$ ，
      $(\sqrt{4} + \sqrt{3}) (\sqrt{4} - \sqrt{3}) = 1$ ，
      $\dots \dots$
依据以上呈现的规律，计算： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + ⋯ + \frac{1}{\sqrt{9} 9 + \sqrt{100}}$

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21. 阅读与思考
请你阅读下列材料，并完成相应的任务．

裂项法，是数学中求和的一种方法，是分解与组合思想在求和中的具体应用．具体方法是将求和中的每一项进行分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．我们以往的学习中已经接触过分数裂项求和．例如： $\frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{4 \times 5} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{1}{2} - \frac{1}{5} = \frac{3}{10}$ ．

在学习完二次根式后我们又掌握了一种根式裂项．例如： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1)} = \sqrt{2} - 1$ ， $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ ．

(1)、模仿材料中的计算方法，化简： $\frac{1}{\sqrt{10} + \sqrt{9}} =$ ．

(2)、观察上面的计算过程，直接写出式子 $\frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n - 1}} =$ ．

(3)、利用根式裂项求解： $(\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + ⋯ + \frac{1}{\sqrt{2023} + \sqrt{2022}}) (\sqrt{2023} + 1)$ ．

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五、实践探究题

22. 阅读材料，并解决问题：定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．
如：将 $\frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$ 分母有理化，解：原式 $= \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{(\sqrt{3} - \sqrt{2}) (\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$ ．
运用以上方法解决问题：
已知： $a = \frac{1}{\sqrt{5} + 2}$ ， $b = \frac{1}{\sqrt{5} - 2}$ ．

(1)、化简a ， b；

(2)、求 $a^{2} - 4 a b + b^{2}$ 的值．

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23. 阅读材料：
（一）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会碰上如 $\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ 一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：

$\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2 \times (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)} = \frac{2 \times (\sqrt{3} - 1)}{{(\sqrt{3})}^{2} - 1^{2}} = \sqrt{3} - 1$ ．

那么我们称这个过程为分式的分母有理化．

（二）如果我们能找到两个实数 $x$ ， $y$ 使 $x + y = a$ 且 $x y = b$ ，

这样 $\sqrt{a + 2 \sqrt{b}} = \sqrt{{(\sqrt{x})}^{2} + {(\sqrt{y})}^{2} + 2 \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}} = \sqrt{{(\sqrt{x} + \sqrt{y})}^{2}} = \sqrt{x} + \sqrt{y}$ ，那么我们就称 $\sqrt{a + 2 \sqrt{b}}$ 为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式．”

例如： $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} = \sqrt{{(\sqrt{1})}^{2} + {(\sqrt{2})}^{2} + 2 \sqrt{1} \cdot \sqrt{2}} = \sqrt{{(1 + \sqrt{2})}^{2}} = 1 + \sqrt{2}$ ．

根据阅读材料解决下列问题：

(1)、化简： $\frac{2}{\sqrt{3} - 1}$ ；

(2)、化简“和谐二次根式”
① $\sqrt{4 + 2 \sqrt{3}} =$ ；② $\sqrt{6 - 2 \sqrt{5}} =$ ．

(3)、已知 $m = \frac{1}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}}$ ， $n = \frac{1}{\sqrt{5 - 2 \sqrt{6}}}$ ，求 $\frac{m - n}{m + n}$ 的值．

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24. 阅读材料：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式.例如：因为 $\sqrt{a} \times \sqrt{a} = a ， (\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1) = 1$ ，所以 $\sqrt{4}$ 与 $\sqrt{4}$ ， $\sqrt{2}$ +1 与. $\sqrt{2} - 1$ 互为有理化因式.这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法就可以了，例如：
$\frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{2 \sqrt{3}}{3} ，$
$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \frac{{(\sqrt{5} + \sqrt{3})}^{2}}{(\sqrt{5} + \sqrt{3}) (\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \frac{5 + 2 \sqrt{15} + 3}{5 - 3} = \frac{8 + 2 \sqrt{15}}{2} = 4 + \sqrt{15}$ .
回答问题：

(1)、2 $\sqrt{3}$ -1的有理化因式为.

(2)、用上述方法对 $\frac{2 \sqrt{2} - 3}{2 \sqrt{2} + 3}$ 进行分母有理化.

(3)、若 $a = \frac{1}{2 + \sqrt{5}} ， b = 2 - \sqrt{5} ，$ 探究a，b之间的数量关系.

(4)、直接写出结果： $(\frac{1}{\sqrt{3} + 1} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2025} + \sqrt{2023}}) \times (\sqrt{2025} + 1)$ =.

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25. 我们将 $(\sqrt{a} + \sqrt{b})$ ， $(\sqrt{a} - \sqrt{b})$ 称为一对“对偶式”．因为 $(\sqrt{a} + \sqrt{b}) (\sqrt{a} - \sqrt{b}) = {(\sqrt{a})}^{2} - {(\sqrt{b})}^{2}$ =a-b．所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将 $(\sqrt{a} + \sqrt{b})$ 和 $(\sqrt{a} - \sqrt{b})$ 中的“ ”去掉．例如： $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{{(\sqrt{3})}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ 。像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题．

(1)、分母有理化 $\frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ 的值为；

(2)、计算： $\frac{1}{\sqrt{3} + 1} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} + \frac{1}{3 + \sqrt{7}}$

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26. 阅读下面的材料并解决问题.
      $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1)} = \sqrt{2} - 1$

      $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$

      $\frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3}$

……

(1)、观察上式并填空： $\frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}} =$ .

(2)、观察上式并猜想：当n是正整数时， $\frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} =$ ；（用含 $n$ 的式子表示）

(3)、请利用（2）的结论计算下列式子：
      $(\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \dots \dots + \frac{1}{\sqrt{2022} + \sqrt{2021}} + \frac{1}{\sqrt{2023} + \sqrt{2022}}) \times (\sqrt{2023} + 1)$

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