2024年浙教版数学八（下）微素养核心突破2 重二次根式的化简

试卷更新日期：2024-04-14 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 下列运算正确的是（）

A、 $\sqrt{8} - \sqrt{2} = \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{4 \frac{1}{9}} = 2 \frac{1}{3}$ C、 $\sqrt{5} - \sqrt{3} = \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{(2 - \sqrt{5})^{2}} = 2 - \sqrt{5}$

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2. “分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如： $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = \frac{(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})} = 7 + 4 \sqrt{3} .$ 除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的二次根式，如：对于 $\sqrt{3 + \sqrt{5}} - \sqrt{3 - \sqrt{5}} ，$ 设x $= \sqrt{3 + \sqrt{5}} - \sqrt{3 - \sqrt{5}} ，$ 易知 $\sqrt{3 + \sqrt{5}} > \sqrt{3 - \sqrt{5}}$ 故x >0，由 $x^{2} = {(\sqrt{3 + \sqrt{5}} - \sqrt{3 - \sqrt{5}})}^{2} = 3 + \sqrt{5} + 3 - \sqrt{5}$ $- 2 \sqrt{(3 + \sqrt{5}) (3 - \sqrt{5})} = 2 ，$ 得 x= $\sqrt{2}$ ，即 $\sqrt{3 + \sqrt{5}} -$ $\sqrt{3 - \sqrt{5}} = \sqrt{2} .$ 根据以上方法，化简 $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} +$ $\sqrt{6 - 3 \sqrt{3} - \sqrt{6 + 3 \sqrt{3}}}$ 的结果是（）

A、 $5 + 3 \sqrt{6}$ B、 $5 + \sqrt{6}$ C、 $5 - \sqrt{6}$ D、 $5 - 3 \sqrt{6}$

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二、填空题

3. 计算： $\sqrt{{(1 - \sqrt{2})}^{2}}$ = ．

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4. 先阅读下面的解答过程，然后再解答：
要对形如 $\sqrt{m \pm 2 \sqrt{n}}$ 的式子化简，只要找到两个数 $a$ 、 $b (a ⩾ b ⩾ 0)$ ，使 $a + b = m$ ， $a b = n$ ，即 $(\sqrt{a})^{2} + (\sqrt{b})^{2} = m$ ， $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{n}$ ，那么便有 $\sqrt{m \pm 2 \sqrt{n}} = \sqrt{(\sqrt{a})^{2} + (\sqrt{b})^{2} \pm 2 \times \sqrt{a} \times \sqrt{b}} = \sqrt{(\sqrt{a} \pm \sqrt{b})^{2}} = \sqrt{a} \pm \sqrt{b}$ ．

(1)、用上述方法化简： $\sqrt{13 - 2 \sqrt{42}} =$ ；

(2)、若 $\sqrt{14 - 4 \sqrt{10}}$ 的整数部分为 $a$ ，小数部分为 $b$ ，则 $a + b =$ ．

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5. 我们已经学过完全平方公式a²±2ab+b²=(a±b)² ，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如2=( $\sqrt{2}$ )² ， 3=( $\sqrt{3}$ )²等，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：
例：求3-2 $\sqrt{2}$ 的算术平方根。

解：3-2 $\sqrt{2}$ =2-2 $\sqrt{2}$ +1=( $\sqrt{2}$ )²-2 $\sqrt{2}$ +1=( $\sqrt{2}$ -1)² ，

∴3-2 $\sqrt{2}$ 的算术平方根是 $\sqrt{2}$ -1。

你看明白了吗？请根据上面的方法解答下列问题：

(1)、填空： $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ = 。
$\sqrt{10 + 8 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}$ =

(2)、化简： $\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} + \sqrt{5 - 2 \sqrt{6}} + \sqrt{7 - 2 \sqrt{12}} + \sqrt{9 - 2 \sqrt{20}} + \sqrt{11 - 2 \sqrt{30}}$

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三、实践探究题

6. [阅读材料]数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现．有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．”小明发现，如果a²±2ab+b²=(a±b)² ，那么 $\sqrt{a^{2} \pm 2 a b + b^{2}}$ =|a±b|．如何化简重二次根式 $\sqrt{9 + 4 \sqrt{5}}$ ？可以把9+4 $\sqrt{5}$ 转化为2²+2×2× $\sqrt{5}$ +( $\sqrt{5}$ )²=(2+ $\sqrt{5}$ )²的完全平方形式，因此 $\sqrt{9 + 4 \sqrt{5}}$ =2+ $\sqrt{5}$ ．
[解决问题]

(1)、化简下列各式：
① $\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ ；② $\sqrt{17 + 12 \sqrt{2}}$ ．

(2)、[拓展延伸]小明继续探索，若设a+b $\sqrt{2}$ =(m+n $\sqrt{2}$ )²=m² +2n²+2mn $\sqrt{2}$ (其中a，b ，m，n均为整数)，则有a=m² +2n² ，b= 2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b $\sqrt{2}$ 的式子化为平方式的方法．
当a，b，m，n均为正整数时，已知a+b $\sqrt{3}$ =(m+n $\sqrt{3}$ )² ，请用含m，n的式子分别表示a，b．

(3)、化简： $\sqrt{8 + 2 \sqrt{15}}$ ．

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7. 先阅读材料，然后回答问题．

(1)、小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简 $\sqrt{5 - 2 \sqrt{6}}$ ．
经过思考，小张解决这个问题的过程如下：
$\sqrt{5 - 2 \sqrt{6}} = \sqrt{2 - 2 \sqrt{2 \times 3} + 3}$ ①
$= \sqrt{(\sqrt{2})^{2} - 2 \sqrt{2} \times \sqrt{3} + (\sqrt{3})^{2}}$ ②
$= \sqrt{(\sqrt{2} - \sqrt{3})^{2}}$ ③
$= \sqrt{2} - \sqrt{3}$ ． ④
在上述化简过程中，第步出现了错误，化简的正确结果为；

(2)、请根据你从上述材料中得到的启发，化简 $\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} =$ ；

(3)、在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $B C = 1$ ， $A C = 2 + \sqrt{3}$ ，求 $A B$ 的长．

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8. 先阅读下列的解答过程，然后再解答：
形如 $\sqrt{m \pm 2 \sqrt{n}}$ 的化简，只要我们找到两个数a ， b ，使a＋b＝m ， ab＝n ，使得 $(\sqrt{a})^{2} + (\sqrt{b})^{2} = m$ ， $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{n}$ ，那么便有： $\sqrt{m \pm 2 \sqrt{n}} = \sqrt{(\sqrt{a} \pm \sqrt{b})^{2}} = \sqrt{a} \pm \sqrt{b} (a > b)$ ．
例如：化简 $\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ ．
解：首先把 $\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ 化为 $\sqrt{7 + 2 \sqrt{12}}$ ，这里m＝7，n＝12，由于4＋3＝7，4×3＝12，即 $(\sqrt{4})^{2} + (\sqrt{3})^{2} = 7$ ， $\sqrt{4} \times \sqrt{3} = \sqrt{12}$ ，
∴ $\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} = \sqrt{7 + 2 \sqrt{12}} = \sqrt{(\sqrt{4})^{2} + 2 \sqrt{4} \times \sqrt{3} + (\sqrt{3})^{2}} = \sqrt{(\sqrt{4} + \sqrt{3})^{2}} = 2 + \sqrt{3}$ ．
仿照上例，回答问题：

(1)、计算： $\sqrt{4 - 2 \sqrt{3}}$ ；

(2)、计算： $\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} + \sqrt{5 - 2 \sqrt{6}} + \sqrt{7 - 2 \sqrt{12}} + \dots + \sqrt{19 - 2 \sqrt{90}}$ ．

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9. 阅读材料并解答问题：
∵ ${(\sqrt{2} - 1)}^{2} = {(\sqrt{2})}^{2} - 2 \times 1 \times \sqrt{2} + 1^{2} = 2 - 2 \sqrt{2} + 1 = 3 - 2 \sqrt{2} ，$
反之 $， 3 - 2 \sqrt{2} = 2 - 2 \sqrt{2} + 1 = {(\sqrt{2} - 1)}^{2} ，$
∴ $\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} = \sqrt{2} - 1 .$

(1)、化简： $\sqrt{6 - 2 \sqrt{5}}$ .

(2)、若 $\sqrt{a + 2 \sqrt{b}} = \sqrt{m} + \sqrt{n} ，$ 则m，n与a，b之间存在怎样的等量关系?请说明理由.

(3)、已知 $x = \sqrt{4 - \sqrt{12}} ，$ 求 $(\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x + 2}) \cdot \frac{x^{2} - 4}{2 (x - 1)}$ 的值

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10. [运算能力]先阅读材料：
数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号.例如：
$\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} = \sqrt{1 + 2 \times 1 \times \sqrt{2} + 2}$
$= \sqrt{1^{2} + 2 \times 1 \times \sqrt{2} + {(\sqrt{2})}^{2}} = \sqrt{{(1 + \sqrt{2})}^{2}}$
$= 1 + \sqrt{2} .$
再解决问题：

(1)、在横线上填适当的数： $\sqrt{14 + 6 \sqrt{5}} = \sqrt{9 + 2 \times 3 \times \sqrt{5} + (1)} = \sqrt{(3 + (2))^{2}} = (9)$ .
①：， ②：， ③：.

(2)、根据上述思路，化简并求出 $\sqrt{28 - 10 \sqrt{3}} + \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ 的值.

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11. 阅读材料，解决问题：
把根式 $\sqrt{x \pm 2 \sqrt{y}}$ 进行化简，若能找到两个数m，n，满足 $m^{2} + n^{2} = x$ 且 $m n = \sqrt{y} ，$ 则可以把 $x \pm 2 \sqrt{y}$ 变成 $m^{2} + n^{2} \pm 2 m n = {(m \pm n)}^{2} ，$ ，开方，从而使得 $\sqrt{x \pm 2 \sqrt{y}}$ 化简.
例如：化简 $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} .$
解： $∴ 3 + 2 \sqrt{2} = 1 + 2 + 2 \sqrt{2} = 1^{2} + {(\sqrt{2})}^{2} + 2 \times 1 \times$ $\sqrt{2} = {(1 + \sqrt{2})}^{2} ，$
$∴ \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} = \sqrt{{(1 + \sqrt{2})}^{2}} = 1 + \sqrt{2} .$

(1)、化简： $\sqrt{7 + 2 \sqrt{10}} ，$

(2)、已知 1≤a≤2，化简： $\frac{1}{\sqrt{2}} (\sqrt{a + 2 \sqrt{a - 1}} +$ $\sqrt{a - 2 \sqrt{a - 1}}) .$

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12. 先阅读下列解答过程，然后再解答：小芳同学在研究化简 $\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ 中发现：首先把 $\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ 化为 $\sqrt{7 + 2 \sqrt{12}}$ ﹐由于 $4 + 3 = 7$ ， $4 \times 3 = 12$ ，即： $(\sqrt{4})^{2} + (\sqrt{3})^{2} = 7$ ， $\sqrt{4} \times \sqrt{3} = \sqrt{12}$ ，所以 $\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} = \sqrt{7 + 2 \sqrt{12}} = \sqrt{(\sqrt{4})^{2} + 2 \sqrt{4 \times 3} + (\sqrt{3})^{2}} = (\sqrt{(\sqrt{4} + \sqrt{3})^{2}} = 2 + \sqrt{3}$ ，
问题：

(1)、填空： $\sqrt{4 + 2 \sqrt{3}} =$ ， $\sqrt{5 - 2 \sqrt{6}} =$ ﹔

(2)、进一步研究发现：形如 $\sqrt{m \pm 2 \sqrt{n}}$ 的化简，只要我们找到两个正数a ， b（ $a > b$ ），使 $a + b = m$ ， $a b = n$ ，即 $(\sqrt{a})^{2} + (\sqrt{b})^{2} = m$ ， $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{n}$ ﹐那么便有： $\sqrt{m \pm 2 \sqrt{n}} =$ ．

(3)、化简： $\sqrt{4 - \sqrt{15}}$ （请写出化简过程）

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13. 先阅读下面的解题过程，然后再解答.形如 $\sqrt{m \pm 2 \sqrt{n}}$ 的化简，我们只要找到两个数a，b，使 $a + b = m$ ， $a b = n$ ，即 ${(\sqrt{a})}^{2} + {(\sqrt{b})}^{2} = m$ ， $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{n}$ ，那么便有： $\sqrt{m \pm 2 \sqrt{n}} = \sqrt{{(\sqrt{a} \pm \sqrt{b})}^{2}} = \sqrt{a} \pm \sqrt{b} (a > b ⩾ 0)$ .
例如化简： $\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ .

解：首先把 $\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ 化为 $\sqrt{7 + 2 \sqrt{12}}$ ，

这里 $m = 7$ ， $n = 12$ ，

由于 $4 + 3 = 7$ ， $4 \times 3 = 12$ ，

所以 ${(\sqrt{4})}^{2} + {(\sqrt{3})}^{2} = 7, \sqrt{4} \times \sqrt{3} = \sqrt{12}$ ，

所以 $\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} = \sqrt{7 + 2 \sqrt{12}} = \sqrt{{(\sqrt{4} + \sqrt{3})}^{2}} = 2 + \sqrt{3}$ .

根据上述方法化简： $\sqrt{13 - 2 \sqrt{42}}$ .

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14. 我们以前学过完全平方公式 $(a \pm b)^{2} = a^{2} \pm 2 a b + b^{2}$ ，现在，又学习了二次根式，那么所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如 $3 = (\sqrt{3})^{2}$ ， $5 = (\sqrt{5})^{2}$ ，下面我们观察： $(\sqrt{2} - 1)^{2} = (\sqrt{2})^{2} - 2 \times 1 \times \sqrt{2} + 1^{2} = 2 - 2 \sqrt{2} + 1 = 3 - 2 \sqrt{2}$ ．
反之， $3 - 2 \sqrt{2} = 2 - 2 \sqrt{2} + 1 = (\sqrt{2} - 1)^{2}$
$∵ 3 - 2 \sqrt{2} = (\sqrt{2} - 1)^{2}$ $∴ \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} = \sqrt{2} - 1$ ．
仿上例，求：

(1)、 $\sqrt{4 - 2 \sqrt{3}}$ ；

(2)、计算： $\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} + \sqrt{5 - 2 \sqrt{6}} + \sqrt{7 - 2 \sqrt{12}} + \dots \dots + \sqrt{19 - 2 \sqrt{90}}$ ；

(3)、若 $a = \frac{1}{\sqrt{2} - 1}$ ，则求 $4 a^{3} - 9 a^{2} - 2 a + 1$ 的值．

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15. 阅读理解
“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法： $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = \frac{(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})} = 7 + 4 \sqrt{3}$ ，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于 $\sqrt{3 + 5 \sqrt{5}} - \sqrt{3 - 5 \sqrt{5}}$

设 $x = \sqrt{3 + 5 \sqrt{5}} - \sqrt{3 - 5 \sqrt{5}}$ ，

易知 $\sqrt{3 + 5 \sqrt{5}} > \sqrt{3 - 5 \sqrt{5}}$

故 $x > 0$ ，由 $x^{2} = {(\sqrt{3 + 5 \sqrt{5}} - \sqrt{3 - 5 \sqrt{5}})}^{2}$

$= 3 + \sqrt{5} + 3 - \sqrt{5} - 2 \sqrt{(3 + 5 \sqrt{5}) (3 - 5 \sqrt{5})}$

$= 2$

解得 $x = \sqrt{2}$ ，即 $\sqrt{3 + 5 \sqrt{5}} - \sqrt{3 - 5 \sqrt{5}} = \sqrt{2}$ ．

根据以上方法，化简 $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \sqrt{6 - 3 \sqrt{3}} - \sqrt{6 + 3 \sqrt{3}}$

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