2024年浙教版数学七（下）微素养核心突破11 因式分解的应用

试卷更新日期：2024-04-14 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 已知长为 a、宽为b的长方形，它的周长为10，面积为5，则 $a^{2} b + a b^{2}$ 的值为（）

A、25 B、50 C、75 D、100

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2. 利用因式分解计算 $2023^{2} + 2023 - 2024^{2}$ 的结果是（）

A、2023 B、-2023 C、2024 D、-2024

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3. 下列自然数中，能整除 3²⁰⁰-4×3¹⁹⁹+10×3¹⁹⁸的是（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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4. 已知a≠c，若 $M = a^{2} - a c ， N = a c - c^{2} ，$ 则M与N的大小关系是（）

A、M>N B、M=N C、M<N D、M≥N

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5. 若 $(2024^{2} - 4) (2023^{2} - 4) = 2026 \times 2022 \times$ 2021m，则m的值为（）

A、2023 B、2024 C、2025 D、2026

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6. 设n为整数，则 $\frac{1}{2} {(2 n + 1)}^{2} - 12 ， 5$ 一定能被（）

A、3 整除 B、4整除 C、6 整除 D、8整除

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7. 已知长方形的边长分别为 a，b，周长为 14，面积为10，则 $a^{2} b + {ab}^{2}$ 的值为（）

A、35 B、70 C、140 D、280

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8. 已知2x-y=1，xy=2，则4x³y-4x²y²+xy³的值为（）

A、-2 B、1 C、-1 D、2

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9. 生活中我们经常用到密码，如到银行取款．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式 $x^{4} - y^{4}$ 因式分解的结果是 $(x - y) (x + y) (x^{2} + y^{2})$ ，当取 $x = 9$ ， $y = 9$ 时，各个因式的值是： $(x - y) = 0$ ， $(x + y) = 18$ ， $(x^{2} + y^{2}) = 162$ ，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．类似地，对于多项式 $4 x^{3} - x y^{2}$ ，当取 $x = 10$ ， $y = 10$ 时，用上述方法可以产生一个六位数密码．则这个密码可以是（）

A、102030 B、103020 C、101030 D、102010

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10. 设 n是任意正整数，代入式子 n³-n中计算时，四名同学算出以下四个结果，其中正确的结果可能是（）

A、388 947 B、388 944 C、388 953 D、388 949

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二、填空题

11. 用简便方法计算；

(1)、999²-1= .

(2)、2011²-2 011×22+121= .

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12. 有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式x⁴-y⁴因式分解的结果是(x-y)(x+y)(x²+y²)，当取x=4，y=4时，各个因式的值是：x-y=0，x+y=8x²+y²=32，于是就可以把“0832”作为一个密码，我们把上述密码中的“0”、“8”、“32”分别叫做这串密码的第一位因式码、第二位因式码、第三位因式码．类似地，对于多项式xy+xy⁴因式分解的结果是xy(x+y)(x²-xy+y²)，当它的第一位因式码xy和第二位因式码(x+y)构成的数是“127”时，它的第三位因式码(x²-xy+y²)是.

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13. 若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么就称这个正整数为智慧数.如， $5^{2} - 3^{2} = 16$ ，则16是一个智慧数，5和3称为16的一对智慧分解数.则2019的智慧分解数有.

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14. 如图，现有边长为 $a$ 的正方形1个，边长为 $b$ 的正方形3个，边长为 $a ， b (a > b)$ 的长方形4个，把它们拼成一个大长方形，请利用这个拼图中图形的面积关系分解因式： $a^{2} + 4 a b + 3 b^{2} =$ .

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15. 如果两个多项式有公因式，则称这两个多项式为关联多项式，若x²﹣25与（x＋b）²为关联多项式，则b＝；若（x＋1）（x＋2）与A为关联多项式，且A为一次多项式，当A＋x²﹣6x＋2不含常数项时，则A为.

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三、解答题

16. 已知n是正整数，则奇数可以用代数式2n+1来表示．

(1)、分解因式：(2n+1)²-1．

(2)、我们把所有“奇数的平方减去1”所得的数叫“白银数”，则所有“白银数”的最大公约数是多少？请简要说明理由．

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17. 把偶数按从小到大的顺序排列，相邻的两个偶数的平方差(较大的减去较小的)一定是4的倍数吗?为什么?

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18. 如图，在一块边长为a(cm)的正方形纸板的四角，各剪去一个边长为 $b (c m) (b < \frac{a}{2})$ 的正方形，利用因式分解计算当a=13.2，b=3.4时的剩余部分的面积.

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19. 用简便方法计算：2007+2007²-2007×2008．

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20. 利用因式分解说明3²⁰⁰-4×3¹⁹⁹+10×3¹⁹⁸能被7整除．

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21. 若x²-5x+6能分解成两个因式的乘积，且一个因式为x-2，另一个因式为mx-n，其中m， n为两个未知的常数，请你求出m，n的值。

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22. 许多正整数都能表示为两个连续奇数的平方差，例如： $： 8 = 3^{2} - 1^{2} ， 16 = 5^{2} - 3^{2} ， 24 = 7^{2} - 5^{2} ，$

(1)、42能表示成两个连续奇数的平方差吗?2024呢?

(2)、设2n-1和2n+1是两个连续奇数(其中n取正整数)，如果数a能表示成2n+1和2n-1的平方差，那么a是8的倍数吗?为什么?

(3)、如图所示，拼叠的正方形边长分别是从1开始的连续奇数，按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为99，求阴影部分的面积.

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23. 化简求值：
小明在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行计算，求解过程如图1所示，34的平方中，首数字3的平方对应09，尾数字4的平方对应16，….

(1)、仿照图1，用“列竖式”的方法计算一个两位数的平方，部分过程如图2所示，求这个两位数；

(2)、 ${(10 n + m)}^{2}$ 是一个两位数的平方，用“列竖式”方法进行计算的部分过程如图3所示，求m，n的值.

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四、实践探究题

24. 【发现】
任意五个连续整数的平方和是5的倍数.
【验证】

(1)、 $(- 1)^{2} + 0^{2} + 1^{2} + 2^{2} + 3^{2}$ 的结果是5的几倍?

(2)、设五个连续整数的中间一个为n，写出它们的平方和，并说明结果是5的倍数.

(3)、【延伸】
任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几?请说明理由.

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25. 阅读材料：
整体代换是一个重要的数学思想，有着广泛的应用.例如：计算4(a+b)-7(a+b)+(a+b)时可将(a+b)看成一个整体，合并同类项得-2(a+b)，再利用分配律去括号得-2a-2b.同时，我们也知道，代数的基本要义就是用字母表示数，使之更具一般性.所以，在计算a(a+b)时，同样可以利用分配律得 $a^{2} + a b$
解决问题：

(1)、请你尝试着把(a-2)或(b-2)看成整体，计算：(a-2)(b-2).

(2)、如果两个数的乘积等于它们的和的两倍，那么我们称这两个数为“积倍和数对”，即：若ab=2(a+b)，则a，b是一对“积倍和数对”，记为(a，b).例如：∵3×6=2(3+6)，∴3和6是一对“积倍和数对”，记为(3，6).
请你找出所有的a，b均为整数的“积倍和数对”

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26. 在当今的“互联网+”时代，有一种利用“因式分解法”生成密码的方法：将一个多项式分解因式，如将多项式 $x^{3} + 2 x^{2} - x - 2$ 分解为(x -1)(x+1)(x+2).当x=19时，x-1=18，x+1=20，x+2=21，此时可得到数字密码 182021.

(1)、根据上述方法，当x=37，y=12时，对于多项式 $x^{3} - x y^{2}$ 分解因式后可以形成哪些数字密码(写出两个即可)?

(2)、将多项式. $x^{3} + (m - 3 n) x^{2} - n x - 21$ 分解因式后，利用上述方法，当x=87时，可以得到数字密码 808890，求 m，n的值.

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27. 教科书中这样写道：“我们把多项式a²+2ab+b²及a²-2ab+b²叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等．
例如，分解因式：x²+2x-3=(x²+2x+1)-4=(x+1)²-4=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1)；求代数式2x²+4x-6的最小值：2x²+4x-6=2(x²+2x-3)=2(x+1)²-8，可知当x=-1时，2x²+4x-6有最小值，最小值是-8．根据阅读材料，用配方法解决下列，问题：

(1)、分解因式：m²-4m-5=.

(2)、当a，b为何值时，多项式a²+b²-4a+6b+18有最小值，并求出这个最小值．

(3)、当a，b为何值时，多项式a²-2ab+2b²-2a-4b+27有最小值，并求出这个最小值．

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28. 【发现问题】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们更容易理解数学问题．现有图1中的A，B，C三种卡片若干，用这些卡片可以拼成各式各样的图形，根据这些图形的面积的不同表示可以将一些多项式因式分解．

例：用1张A卡片，2张B卡片，1张C卡片拼成如图2的图形，用两种方法表示该图形的面积，可以得到等式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ ，这种把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解．

(1)、【小试牛刀】
请把表示图3面积的多项式因式分解（直接写出等式即可）．

(2)、【自主探索】
请利用图1的卡片，将多项式 $2 a^{2} + 5 a b + 3 b^{2}$ 因式分解，并画出图形．

(3)、【拓展迁移】
事实上，拼图不仅限于平面图形，利用立体图形的体积也可以将一些多项式因式分解．请你用此方法从体积角度简要说明如何把 $a^{3} + 4 a^{2} b + 3 a b^{2}$ 进行因式分解并写出因式分解结果．

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29. [阅读材料]分解因式： $x^{2} + x - 2$
解：把 $x = 1$ 代入 $x^{2} + x - 2$ ，发现此多项式的值为0，由此确定 $x^{2} + x - 2$ 中有因式 $x - 1$ ，可设 $x^{2} + x - 2 = (x - 1) (x + m) (m$ 为常数)，通过展开多项式或代入合适的 $x$ 的值即可求出 $m$ 的值.我们把这种分解因式的方法叫“试根法”.
根据以上阅读材料，完成下列问题：

(1)、请完成下列因式分解：
$x^{2} + x - 2 =$ ； $2 x^{2} - 5 x - 7 =$ ；

(2)、请你用“试根法”分解因式： $x^{3} + 3 x^{2} - 4$ ；

(3)、①若多项式 $x^{2} + m x - n (m ， n$ 为常数)分解因式后，有一个因式是 $(x - 2)$ ，求代数式 $\frac{9^{m}}{3^{n}}$ 的值；
②若多项式 $x^{4} + m x^{3} + n x - 16$ 含有因式 $(x - 2)$ 和 $(x + 1)$ ，求mn的值.

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30. 先阅读材料，再回答问题：
分解因式： $(a - b)^{2} - 2 (a - b) + 1$
解：设 $a - b = M$ ，则原式 $= M^{2} - 2 M + 1 = (M - 1)^{2}$
再将 $a - b = M$ 还原，得到：原式 $= (a - b - 1)^{2}$
上述解题中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想，请你用整体思想解决下列问题：

(1)、分解因式： $(x + y) (x + y - 4) + 4$

(2)、若 $a$ 为正整数，则 $(a - 1) (a - 2) (a - 3) (a - 4) + 1$ 为整数的平方，试说明理由.

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31. 先阅读下列材料，然后解决后面的问题.
材料：一个三位数 $\bar{a b c}$ （百位数为a，十位数为b，个位数为c），若a+c=b，则称这个三位数 $\bar{a b c}$ 为“协和数”，同时规定c= $\frac{k}{a}$ （k≠0），k称为“协和系数”，如264，因为它的百位上数字2与个位数字4之和等于十位上的数字6，所有264是“协和数”，则“协和数”k=2×4=8.

(1)、判断132，123，321这三个数中，是“协和数”.

(2)、对于“协和数” $\bar{a b c}$ ，求证：“协和数” $\bar{a b c}$ 能被11整除.

(3)、已知有两个十位数相同的“协和数” $\bar{a_{1} b b_{1}}$ ， $\bar{a_{2} b b_{2}}$ （ $a_{1}$ ＞ $a_{2}$ ），且 $k_{1} - k_{2} = 1$ ，若 $y = k_{1} + k_{2}$ ，用含b的式子表示y.

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