2024年浙教版数学七（下）微素养核心突破10 分组分解法

试卷更新日期：2024-04-14 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 若三角形的三条边长分别为a，b，c且a²b-a²c+b²c-b³=0 ，则这个三角形一定是（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等边三角形 D、等腰直角三角形

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2. 已知 $a - b = 3 ， b + c = - 5$ ，则代数式 $a c - b c + a^{2} -$ ab的值为（）

A、-15 B、-2 C、-6 D、6

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3. 下列各式中，计算结果是x³+4x²-7x-28的是（）

A、（x²+7）（x+4） B、（x²-2）（x+14） C、（x+4）（x²-7） D、（x+7）（x²-4）

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4. 把多项式ab﹣1+a﹣b因式分解的结果是（）

A、（a+1）（b+1） B、（a﹣1）（b﹣1） C、（a+1）（b﹣1） D、（a﹣1）（b+1）

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5. 因式分解与整数乘法一样，都是一种恒等变形，即在变形的过程中，形变值不变，于是将多项式x²﹣y²+（2x+2y）分解因式的结果为（）

A、（x+y）（x﹣y+2） B、（x+y）（x﹣y﹣2） C、（x﹣y）（x﹣y+2） D、（x﹣y）（x﹣y﹣2）

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6. 分解因式4﹣x²+2x³﹣x⁴ ，分组合理的是（　　）

A、（4﹣x²）+（2x³﹣x⁴） B、（4﹣x²﹣x⁴）+2x³ C、（4﹣x⁴）+（﹣x²+2x³） D、（4﹣x²+2x³）﹣x⁴

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7. 下列多项式中，不能用分组分解法分解因式的是（　　）

A、5x+mx+5y+my B、5x+mx+3y+my C、5x﹣mx+5y﹣my D、5x﹣mx+10y﹣2my

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8. 把多项式4x²﹣2x﹣y²﹣y用分组分解法分解因式，正确的分组方法应该是（　　）

A、（4x²﹣y）﹣（2x+y²） B、（4x²﹣y²）﹣（2x+y） C、4x²﹣（2x+y²+y） D、（4x²﹣2x）﹣（y²+y）

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9. 分解多项式a²﹣b²﹣c²﹣2bc时，分组正确的是（　　）

A、（a²﹣b²）﹣（c²﹣2bc） B、（a²﹣b²﹣c²）+2bc C、（a²﹣c²）﹣（b²﹣2bc） D、a²﹣（b²+c²﹣2bc）

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10. 将多项式a²﹣9b²+2a﹣6b分解因式为（　　）

A、（a+2）（3b+2）（a﹣3b） B、（a﹣9b）（a+9b） C、（a﹣9b）（a+9b+2） D、（a﹣3b）（a+3b+2）

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二、填空题

11. 分解因式： $x^{2} - y^{2} - 3 x - 3 y$ ＝.

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12. 若 $x^{2} + y^{2} + 4 x - 8 y + 20 = 0$ ,x、y均为有理数，则 $- x^{y}$ 的值为.

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13. 分解因式：2xy﹣x²﹣y²+1= ．

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14. 若x²﹣y²﹣x+y=（x﹣y）•A，则A= ．

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15. 分解因式x²﹣2xy+y²﹣4x+4y+3= ．

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16. 计算 $\frac{2024^{3} - 2 \times 2024^{2} - 2022}{2024^{3} + 2024^{2} - 2025}$ 的结果为.

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三、计算题

17. 因式分解

(1)、ax+bx

(2)、4x²﹣9y²

(3)、9a²(x﹣y)+4b²(y﹣x)

(4)、8a﹣4a²﹣4

(5)、(x²﹣5)²+8(x²﹣5)+16

(6)、a²+b²﹣9+2ab

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四、实践探究题

18. 阅读理解，并解答下面的问题：
拆项法原理：在多项式乘法运算中，常经过整理、化简，通常将几个同类项合并为一项，或相互抵消为零．反过来，在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项（拆项）．
例：分解因式： $x^{2}$ ＋4x＋3
解：原式＝ $x^{2}$ ＋x＋3x＋3把4x分成x和3x，
＝（ $x^{2}$ ＋x）＋（3x＋3）将原式分成两组
＝x（x＋1）＋3（x＋1）对每一组分别提取公因式
＝（x＋3）（x＋1）继续提公因式
请类比上面的示例，分解因式： $x^{2}$ ＋5x＋6

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19. 将一个多项式分组后，可提取公因式或运用公式继续分解的方法是“分组分解法”.
例如：am+an+bm+bn
=(am+an)+(bm+bn)
=a(m+n)+b(m+n)
=(a+b)(m+n).

(1)、用“分组分解法”因式分解：
① $x^{2} - y^{2} + x + y$ .
② $a b - a - b + 1$ .

(2)、若a，b都是正整数且满足 $a b - a - b - 6 = 0$ ，求 $2 a + b$ 的值.

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20. 要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成组，并提出a，把它的后两项分成组，并提出b，从而得am+an+bm+bn=a(m+n)+b(m+n)．这时，由于a(m+n)+b(m+n)中又有公因式(m+n)，于是可提公因式(m+ n)，从而得到(m+ n)(a+ b)，因此有am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)= (m+n)(a+b) ．
这种因式分解的方法叫做分组分解法，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解．

(1)、 ab-ac+bc-b²= (ab-ac)+(bc-b²)=a(b-c)- b(b-c)=.

(2)、因式分解： x²-(p+q)x+pq；

(3)、因式分解：x²y-4y-2x²+8．

(4)、已知三角形的三边长分别是a，b，c，且满足a²+2b²+c²=2b(a+c)，试判断这个三角形的形状，并说明理由．

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21. 阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解．

归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．

请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题：

(1)、分解因式：
① $x^{2} - x y + 4 x - 4 y$ ；
② $x^{2} - y^{2} + 4 y - 4$

(2)、已知 $△ A B C$ 的三边a，b，c满足 $a^{2} - a c - b^{2} + b c = 0$ ，试判断 $△ A B C$ 的形状．

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22.

(1)、分解因式：
$① 4 x^{2} - 12 x y + 9 y^{2} =$ ；
$② y^{2} + 4 y + 4 =$ .

(2)、根据以上两式，试求当x，y各取何值时， $4 x^{2} - 12 x y + 10 y^{2} + 4 y + 9$ 的值最小?请求出最小值.

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23. 阅读理解：对于二次三项式 $x^{2} + 2 a x + a^{2}$ ，能直接用公式法进行因式分解，得到 $x^{2} + 2 a x + a^{2} = {(x + a)}^{2}$ ，但对于二次三项式 $x^{2} + 2 a x - 8 a^{2}$ ，就不能直接用公式法了．我们可以采用这样的方法：在二次三项式 $x^{2} + 2 a x - 8 a^{2}$ 中先加上一项 $a^{2}$ ，使其成为完全平方式，再减去 $a^{2}$ 这项，使整个式子的值不变，于是：
$\begin{array}{r} x^{2} + 2 a x - 8 a^{2} & = x^{2} + 2 a x - 8 a^{2} + a^{2} - a^{2} \\ = x^{2} + 2 a x + a^{2} - 8 a^{2} - a^{2} \\ = (x^{2} + 2 a x + a^{2}) - (8 a^{2} + a^{2}) \\ = {(x + a)}^{2} - 9 a^{2} \\ = (x + a + 3 a) (x + a - 3 a) \\ = (x + 4 a) (x - 2 a) ． \end{array}$

像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．

(1)、问题解决：请用上述方法将二次三项式 $x^{2} + 4 a x - 5 a^{2}$ 分解因式．

(2)、拓展应用：二次三项式 $x^{2} - 6 x + 5$ 有最小值或有最大值吗?如果有，请你求出来并说明理由．

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24.

(1)、学习“完全平方公式”时，小明遇到课本上一道题目“计算

(a + b + c)^{2}

”，他联系所学过的知识和方法，想到两种解决思路；

①可以用“整体思想”把三项式转化为两部分： ${[(a + b) + c]}^{2}$ 或 ${[a + (b + c)]}^{2}$ ，然后可以利用完全平方公式解决，请你选择一种变形方法写出计算过程．

②可以用“数形结合”的方法，画出表示 $(a + b + c)^{2}$ 的图形，根据面积关系得到结果．请你在下面方框中画出图形，并作适当标注．

(2)、利用（1）的结论分解因式：

x^{2} + y^{2} + 4 - 2 x y + 4 x - 4 y =

．

(3)、小明根据“任意一个数的平方不小于0”，利用配方法求出了一些二次多项式的最大值或最小值，方法如下：

① $x^{2} - 6 x + 7$

$= x^{2} - 6 x + 9 - 2$

$= (x - 3)^{2} - 2$

∵ $(x - 3)^{2} \geq 0$

∴ $(x - 3)^{2} - 2 ≥ - 2$ ．

故当 $x = 3$ 时代数式 $x^{2} - 6 x + 7$ 的最小值为-2

② $- x^{2} - 2 x + 3$

$= - (x^{2} + 2 x + 1) + 4$

$= - (x + 1)^{2} + 4$

∵ $- (x + 1)^{2} \leq 0$

∴ $- (x + 1)^{2} + 4 \leq 4$

故当 $x = - 1$ 时代数式 $- x^{2} - 2 x + 3$ 的最大值为4

请你参考小明的方法，求当x，y取何值时代数式 $2 x^{2} + y^{2} - 2 x y - 2 y + 20$ 有最小值，并确定它的最小值．

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