2024年浙教版数学七（下）微素养核心突破9 十字相乘法

试卷更新日期：2024-04-14 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 如果(x+4)(x-3)是 $x^{2} - m x - 12$ 因式分解的结果，那么m的值为（）

A、7 B、-7 C、1 D、-1

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2. 若多项式 $x^{2} - 2 x - n$ 因式分解后有一个因式为（x +1），则n的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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3. 多项式a²﹣5a﹣6因式分解的结果是（　　）

A、（a﹣2）（a+3） B、（a﹣6）（a+1） C、（a+6）（a﹣1） D、（a+2）（a﹣3）

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4. 把多项式x²+ax+b分解因式，得（x+1）（x-3）则a ， b的值分别是（）

A、a=2，b=3 B、a=-2，b=-3 C、a=-2，b=3 D、a=2，b=-3

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5. 将下列多项式因式分解，结果中不含有因式（x﹣2）的是（　　）

A、x²﹣4 B、x³﹣4x²﹣12x C、x²﹣2x D、（x﹣3）²+2（x﹣3）+1

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6. 下列因式分解正确的是（）

A、 $2 x^{2} - 4 x = 2 x (x - 4)$ B、 $a^{2} - 3 a - 4 = (a - 4) (a + 1)$ C、 $a^{2} + b^{2} - 2 a b = {(a + b)}^{2}$ D、 $x^{3} - 81 x = x (x^{2} + 9) (x^{2} - 9)$

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7. 因式分解x²+mx-12=(x+p)(x+q)，其中m，p，q都为整数，则这样的m的最大值为（）

A、1 B、4 C、11 D、12

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8. 若多项式x²+px+12在整数范围内可分解为两个一次因式的积，则整数p可能的取值有（）

A、3个 B、4个 C、5个 D、6个

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9. 已知多项式ax²+bx+c因式分解的结果为(x-1)·(x+4)，则abc为（）

A、12 B、9 C、-9 D、-12

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10. 下列各式从左边到右边的变形中，正确的是（）

A、 $(- a - b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ B、 $4 a^{2} - b^{2} = (4 a + b) (4 a - b)$ C、 $2 x^{2} - x - 6 = (2 x + 3) (x - 2)$ D、 $4 m^{2} - 6 m n + 9 n^{2} = (2 m - 3 n)^{2}$

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二、填空题

11. 分解因式：x²-x-12= ．

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12. 若多项式 $x^{2} - m x + n$ (m、n是常数）分解因式后，有一个因式为（x-3），则3m-n的值为.

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13. 分解因式： $a^{4} - 3 a^{3} + 2 a^{2} =$ ．

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14. 分解因式： $(x + 2) (x - 3) (x + 4) (x - 5) + 13 =$ .

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15. 在将 $x^{2} + m x + n$ 因式分解时，小刚看错了m的值，分解得 $(x - 1) (x + 6)$ ；小芳看错了n的值，分解得 $(x - 2) (x + 1)$ ，那么原式 $x^{2} + m x + n$ 正确分解为.

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16. 分解因式x²+3x+2的过程，可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如右图）.这样，我们可以得到x²+3x+2＝（x+1）（x+2）.请利用这种方法，分解因式2x²﹣3x﹣2＝.

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17. 现有若干张边长为a的正方形A型纸片，边长为b的正方形B型纸片，长宽为a、b的长方形C型纸片，小明同学选取了2张A型纸片，3张B型纸片，7张C型纸片拼成了一个长方形，则此长方形的周长为 $. ($ 用a、b代数式表示 $)$

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18. 阅读下面材料：分解因式：x²+3xy+2y²+4x+5y+3．
∵x²+3xy+2y²＝（x+y）（x+2y）．

设x²+3xy+2y²+4x+5y+3＝（x+y+m）（x+2y+n）．

比较系数得，m+n＝4，2m+n＝5．解得m＝1，n＝3．

∴x²+3xy+2y²+4x+5y+3＝（x+y+1）（x+2y+3）．

解答下面问题：在有理数范围内，分解因式2x²﹣21xy﹣11y²﹣x+34y﹣3＝．

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三、计算题

19. 十字相乘法分解因式：

(1)、x²+3x+2

(2)、x²﹣3x+2

(3)、x²+2x﹣3

(4)、x²﹣2x﹣3

(5)、x²+5x+6

(6)、x²﹣5x﹣6

(7)、x²+x﹣6

(8)、x²﹣x﹣6

(9)、x²﹣5x﹣36

(10)、x²+3x﹣18

(11)、2x²﹣3x+1

(12)、6x²+5x﹣6．

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四、解答题

20. 阅读与思考

整式乘法与因式分解是方向相反的变形．

$(x + p) (x + q) = x^{2} + (p + q) x + p q ，$ 得 $x^{2} + (p + q) x + p q = (x + p) (x + q)$ ．

利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式进行因式分解，我们把这种方法称为“十字相乘法”．

例如：将式子 $x^{2} + 3 x + 2$ 分解因式．

解： $x^{2} + 3 x + 2 = x^{2} + (1 + 2) x + 1 \times 2 = (x + 1) (x + 2)$ .

请仿照上面的方法，解答下列问题：

(1)、分解因式：

x^{2} + 2 x - 8

．

(2)、分解因式：

x^{3} - 8 x^{2} + 12 x

．

(3)、若

x^{2} + p x - 6

可分解为两个一次因式的积，求整数p所有可能的值．

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21. 对于二次三项式x²+2ax+a²可以直接用公式法分解为（x+a）²的形式，但对于二次三项式x²+2ax﹣3a² ，就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式x²+2ax﹣3a²中先加上一项a² ，使其成为完全平方式，再减去a²这项，使整个式子的值不变．于是有x²+2ax﹣3a²=x²+2ax﹣3a²+a²﹣a²=x²+2ax+a²﹣a²﹣3a²=（x+a）²﹣（2a）²=（x+3a）（x﹣a）．
像上面这样把二次三项式分解因式的方法叫做添项法．
请用上述方法把m²﹣6m+8分解因式．

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五、综合题

22. 已知 $A = 2 a - 7$ ， $B = a^{2} - 4 a + 3$ ， $C = a^{2} + 6 a - 28$ ，其中 $a > 2$ ．

(1)、求证： $B - A > 0$ ，并指出A与B的大小关系；

(2)、阅读对B因式分解的方法：
解： $B = a^{2} - 4 a + 3 = a^{2} - 4 a + 4 - 1 = （ a - 2 ）^{2} - 1 = (a - 2 + 1) (a - 2 - 1) = (a - 1) (a - 3)$ ．

请完成下面的两个问题：

①仿照上述方法分解因式： $x^{2} - 4 x - 96$ ；

②指出A与C哪个大？并说明你的理由．

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23. 几何和代数是密切相关的.

(1)、如图 1，这是由四个小长方形拼成的大长方形.我们发现：
$S_{大长方形} = 长 \times 宽 = （ x + 6 ）（ x + 2 ）$
$S_{大长方形} = S_{四个小长方形之和} = x^{2} + 6 x + 2 x +$ 12
所以得到等式： $x^{2} + 8 x + 12 = （ x + 6 ）（ x + 2 ）$
上述等式的变形过程叫.

(2)、利用图 2，请你仿照上述的过程，请把 $4 x^{2} + 2 x y + 16 x + 8 y$ 用两个多项式的乘积表示，直接写出结果.

(3)、如图3，已有这些小长方形和小正方形.请你利用所有的图形拼出一个大的长方形，并给出一个与（1）中结论类似的等式.

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六、实践探究题

24. 阅读理解：
用“十字相乘法”分解因式 $2 x^{2} - x - 3$ 的方法.
第一步：分解二次项系数，2=1×2；
第二步：分解常数项，-3=-1×3=1×(-3)；
第三步：如图所示，验算“交叉相乘之和”：
①1×3+2×(-1)=1；
②1×(-1)+2×3=5；
③1×(-3)+2×1=-1；
④1×1+2×(-3)=-5.
发现③中“交叉相乘之和”的结果为-1，等于一次项系数.
将十字交叉线上的系数对应写在两个相乘的多项式中： $(x + 1) (2 x - 3) = 2 x^{2} - 3 x + 2 x - 3 = 2 x^{2} - x - 3 ，$ 则 $2 x^{2} - x - 3 = (x + 1) (2 x - 3) .$ 像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”.
仿照以上方法分解因式： $3 x^{2} - 5 x - 2 .$

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25. “换元”是重要的数学思想，它可以使一些复杂的问题得到简化.
例如：分解因式： $(x^{2} + 2 x - 2) (x^{2} + 2 x) - 3 .$
解 $(x^{2} + 2 x - 2) (x^{2} + 2 x) - 3$
$= {(x^{2} + 2 x)}^{2} - 2 (x^{2} + 2 x) - 3$
$= (x^{2} + 2 x - 3) (x^{2} + 2 x + 1)$
$= (x + 3) (x - 1) {(x + 1)}^{2} .$
这里就是把 $x^{2} + 2 x$ 当成一个整体，那么式子 ${(x^{2} + 2 x)}^{2} - 2 (x^{2} + 2 x) - 3$ 可以看成是一个关于 $x^{2} + 2 x$ 的二次多项式，就容易分解.

(1)、请模仿上面的方法分解因式： $x (x - 4) {(x - 2)}^{2} - 45 ，$

(2)、在(1)中，若 $x^{2} - 4 x - 6 = 0 ，$ 求上式的值.

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26. 要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成组，并提出a，把它的后两项分成组，并提出b，从而得am+an+bm+bn=a(m+n)+b(m+n)．这时，由于a(m+n)+b(m+n)中又有公因式(m+n)，于是可提公因式(m+ n)，从而得到(m+ n)(a+ b)，因此有am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)= (m+n)(a+b) ．
这种因式分解的方法叫做分组分解法，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解．

(1)、 ab-ac+bc-b²= (ab-ac)+(bc-b²)=a(b-c)- b(b-c)=.

(2)、因式分解： x²-(p+q)x+pq；

(3)、因式分解：x²y-4y-2x²+8．

(4)、已知三角形的三边长分别是a，b，c，且满足a²+2b²+c²=2b(a+c)，试判断这个三角形的形状，并说明理由．

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27. 阅读下列材料：对于多项式x²＋x﹣2，如果我们把x＝1代入此多项式，发现x²＋x﹣2的值为0，这时可以确定多项式中有因式（x﹣1）；同理，可以确定多项式中有另一个因式（x＋2），于是我们可以得到：x²＋x﹣2＝（x﹣1）（x＋2）.又如：对于多项式2x²﹣3x﹣2，发现当x＝2时，2x²﹣3x﹣2的值为0，则多项式2x²﹣3x﹣2有一个因式（x﹣2），我们可以设2x²﹣3x﹣2＝（x﹣2）（mx＋n），解得m＝2，n＝1，于是我们可以得到：2x²﹣3x﹣2＝（x﹣2）（2x＋1）.
请你根据以上材料，解答以下问题：

(1)、当x＝时，多项式8x²﹣x﹣7的值为0，所以多项式8x²﹣x﹣7有因式，从而因式分解8x²﹣x﹣7＝；

(2)、以上这种因式分解的方法叫试根法，常用来分解一些比较复杂的多项式，请你尝试用试根法分解多项式：
①3x²＋11x＋10；

②x³﹣21x＋20

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