2024年北师大版数学八年级下册单元清测试（第五章）培优卷

试卷更新日期：2024-04-13 类型：单元试卷

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 分式 $\frac{x^{2} - x}{x - 1}$ 的值为0，则 $x$ 的值是（）

A、0 B、 $- 1$ C、1 D、0或1

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2. 下列计算错误的是（）

A、 $| - 2 | = 2$ B、 $a^{2} \cdot a^{- 3} = \frac{1}{a}$ C、 $\frac{a^{2} - 1}{a - 1} = a + 1$ D、 ${(a^{2})}^{3} = a^{3}$

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3. 计算 $(a - \frac{1}{b}) \div (\frac{1}{a} - b)$ 的结果是（）

A、 $- \frac{a}{b}$ B、 $\frac{a}{b}$ C、 $- \frac{b}{a}$ D、 $\frac{b}{a}$

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4. 若m－n＝2，则代数式 $\frac{m^{2} - n^{2}}{m} \cdot \frac{2 m}{m + n}$ 的值是（）

A、－2 B、2 C、－4 D、4

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5. 下列计算正确的是（）

A、 $\frac{a^{6}}{a^{3}} = a^{2}$ B、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$ C、 $\frac{a}{(a + b)^{2}} + \frac{b}{(a + b)^{2}} = a + b$ D、 ${(- \frac{1}{3})}^{0} = 1$

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6. 已知关于x的分式方程 $\frac{2 x - m}{x - 1} - \frac{3}{1 - x} = 1$ 的解是正数，则m的取值范围是（）

A、 $m > 4$ B、 $m < 4$ C、 $m > 4$ 且 $m \neq 5$ D、 $m < 4$ 且 $m \neq 1$

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7. 方程 $\frac{2}{x + 3} = 1$ 的解是（）

A、 $x = 1$ B、 $x = - 1$ C、 $x = 5$ D、 $x = - 5$

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8. 若关于x的方程 $\frac{2}{x}$ ＝ $\frac{m}{2 x + 1}$ 无解，则m的值为（）

A、0 B、4或6 C、6 D、0或4

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9. 为贯彻落实习近平总书记关于黄河流域生态保护和高质量发展的重要讲话精神，某学校组织初一、初二两个年级学生到黄河岸边开展植树造林活动．已知初一植树 $900$ 棵与初二植树 $1200$ 棵所用的时间相同，两个年级平均每小时共植树 $350$ 棵．求初一年级平均每小时植树多少棵？设初一年级平均每小时植树 $x$ 棵，则下面所列方程中正确的是（）

A、 $\frac{900}{350 - x} = \frac{1200}{x}$ B、 $\frac{900}{x} = \frac{1200}{350 + x}$ C、 $\frac{900}{350 + x} = \frac{1200}{x}$ D、 $\frac{900}{x} = \frac{1200}{350 - x}$

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10. 甲、乙两台机器运输某种货物，已知乙比甲每小时多运60kg，甲运输500kg所用的时间与乙运输800kg所用的时间相等，求甲、乙两台机器每小时分别运输多少千克货物，设甲每小时运输xkg货物，则可列方程为（）

A、 $\frac{500}{x} = \frac{800}{x + 60}$ B、 $\frac{500}{x} = \frac{800}{x - 60}$ C、 $\frac{500}{x + 60} = \frac{800}{x}$ D、 $\frac{500}{x - 60} = \frac{800}{x}$

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二、填空题（每题3分，共18分）

11. 已知 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = 1$ ，且 $a \neq - b$ ，则 $\frac{a b - a}{a + b}$ 的值为．

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12. 在函数 $y = \frac{1}{\sqrt{x - 1}} + \frac{1}{x - 2}$ 中，自变量x的取值范围是.

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13. 化简： $\frac{x + 3}{x^{2} - 2 x + 1}$ ÷ $\frac{x^{2} + 3 x}{{(x - 1)}^{2}}$ = ．

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14. 已知 $x = 5$ ，则代数式 $\frac{3}{x - 4} - \frac{24}{x^{2} - 16}$ 的值为．

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15. 某校组织学生进行劳动实践活动，用1000元购进甲种劳动工具，用2400元购进乙种劳动工具，乙种劳动工具购买数量是甲种的2倍，但单价贵了4元．设甲种劳动工具单价为x元，则x满足的分式方程为．

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16. 若关于x的分式方程 $\frac{1}{x - 4} - \frac{m}{4 - x} = 1$ （m为常数）有增根，则增根是．

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三、解答题（共11题，共72分）

17. 解方程 $\frac{2 x - 5}{x - 2} = \frac{3 x - 3}{x - 2} - 3$ .

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18. 解方程 $\frac{2}{x + 1} + 1 = \frac{x}{x - 1}$ .

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19. 解方程： $\frac{2 x}{x - 1} - 1 = \frac{4}{x - 1}$

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20. 解分式方程： $\frac{3}{x - 1} + 2 = \frac{x}{x - 1}$ ．

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21. 先化简，再求值： $(\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x^{2} - 1}) \div \frac{x}{x - 1}$ ，其中 $x = \sqrt{12} + (\sqrt{5})^{0} - (\frac{1}{2})^{- 1} .$

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22. 先化简，再求值：
$(\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 2 x + 1} - \frac{1}{x - 1}) \div \frac{3}{x - 1}$ ，其中 $x = (\frac{1}{2})^{- 1} + (- 3)^{0}$ ．

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23. 先化简，再求值： $\frac{a}{a^{2} - 2 a + 1} \div (1 + \frac{1}{a - 1})$ ，其中 $a = \sqrt{5} + 1$ ．

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24. 先化简，再求值： $(1 - \frac{4}{x + 3}) \div \frac{x^{2} - 2 x + 1}{2 x + 6}$ ，其中 $x = \sqrt{2} + 1$ .

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25. 阅读材料：
《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法.

例如：已知 $x y = 1$ ，求 $\frac{1}{1 + x} + \frac{1}{1 + y}$ 的值.

解：原式 $= \frac{x y}{x y + x} + \frac{1}{1 + y} = \frac{y}{y + 1} + \frac{1}{1 + y} = \frac{y + 1}{y + 1} = 1$ .

问题解决：

(1)、已知 $x y = 1$ .
①代数式 $\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{1}{1 + y^{2}}$ 的值为 ▲ ；

②求证： $\frac{1}{1 + x^{2021}} + \frac{1}{1 + y^{2021}} = 1$ .

(2)、若x满足 ${(2021 - x)}^{2} + {(2020 - x)}^{2} = 4043$ ，求 $(2021 - x) (2020 - x)$ 的值.

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26. 已知关于x的分式方程 $\frac{2}{x - 2}$ + $\frac{m x}{x^{2} - 4}$ = $\frac{2}{x + 2}$ .

(1)、若方程的增根为x=2,求m的值;

(2)、若方程有增根,求m的值;

(3)、若方程无解,求m的值.

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27. 为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少 $0.3$ 万元，且用 $15$ 万元购买A型充电桩与用 $20$ 万元购买B型充电桩的数量相等．

(1)、A，B两种型号充电桩的单价各是多少？

(2)、该停车场计划共购买 $25$ 个A，B型充电桩，购买总费用不超过 $26$ 万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的 $\frac{1}{2}$ ．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？

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