浙教版数学七（下）微素养核心突破3 平行线的判定与性质-三角板问题

试卷更新日期：2024-04-13 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，若∠1=55°，则∠2的度数为（）

A、135° B、130° C、45° D、35°

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2. 一副分别含 $30 °$ 和 $45 °$ 的三角板如图所示摆放.若 $A B ∥ C D$ ，则 $∠ 1$ 的度数是（）

A、 $60 °$ B、 $75 °$ C、 $80 °$ D、 $105 °$

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3. 如图，直线 $a ∥ b$ ，一块三角板的直角顶点在直线 $a$ 上，两直角边均与直线 $b$ 相交，若 $∠ 1 = 35 °$ ，则 $∠ 2$ ＝（）

A、 $35 °$ B、 $45 °$ C、 $55 °$ D、 $65 °$

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4. 如图，将三角板与直尺贴在一起，使三角板的直角顶点C（∠ACB＝90°）在直尺的一边上，若∠2＝65°，则∠1的度数是（）

A、15° B、25° C、35° D、65°

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5. 直角三角板和直尺如图放置，若 $∠ 1 = 35 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（）

A、 $25 °$ B、 $30 °$ C、 $35 °$ D、 $40 °$

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6. 若将一副三角板按如图的方式放置，若 $∠ A C E = 45 °$ ，则 $∠ B F E$ 的度数为（）

A、 $50 °$ B、 $60 °$ C、 $45 °$ D、 $65 °$

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7. 在同一平面内，将两个完全相同的三角板按如图摆放，可以画出两条互相平行的直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ ．这样画的依据是（）

A、内错角相等，两直线平行 B、同位角相等，两直线平行 C、两直线平行，同位角相等 D、两直线平行，内错角相等

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8. 一把直尺和一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D和点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F和点A，且∠CED=35°，那么∠BAF的大小为（）

A、5° B、15° C、25° D、35°

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9. 如图l₁∥l₂点О在直线l₁上，将三角板的直角顶点放在点О处，三角板的两条直角边与l₂交于A，B两点，若∠1=35°，则∠2的度数为（）

A、35° B、45° C、55° D、65°

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10. 将一副三角板如图放置，则下列结论中，正确的是（）
① $∠ 1 + 2 ∠ 2 + ∠ 3 = 180 °$ ；②如果 $B C ∥ D A$ ，则有 $∠ 2 = 45 °$ ；③如果 $∠ 3 = 60 °$ ，则有 $A C ∥ D E$ ；④如果 $∠ 1 + ∠ 3 = 90 °$ ，则有 $∠ 4 = 45 °$ ．

A、①②③④ B、③④ C、①②④ D、①②③

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二、填空题

11. 如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果 $∠ 1 = 30 °$ ，那么 $∠ 2$ 的度数为.

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12. 一直角三角板的直角顶点恰好放在直尺的边缘线上（如图所示），若 $∠ 2 = 50 °$ ，则 $∠ 1 =$ 度.

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13. 如图，把一块三角板的 $60 °$ 角的顶点放在直尺的一边上，若 $∠ 1 = 3 ∠ 2 - 20 °$ ，则 $∠ 1 =$ $°$ .

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14. 如图所示，直线 $a / / b$ ，三角板的直角顶点 $A$ 落在直线 $a$ 上，两条直角边分別交直线 $b$ 于B，C两点.若 $∠ 1 = 42^{°}$ ，则 $∠ 2 =$ .

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15. 将一把直尺和一块直角三角板如图放置，如果∠α=43°，则∠β的度数是度．

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16. 将一副三角板按如图放置，则下列结论：①∠1=∠3；②如果∠2=30°，则有AC∥DE；③如果∠1=60°，则有BC∥AD④如果∠2=45°，必有∠4=∠C其中正确的有。

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三、解答题

17. 如图1，直线 $A B$ 与直线 $O C$ 交于点O， $∠ B O C = α °$ （ $0 < α < 90$ ）.小明将一个含 $30 °$ ， $60 °$ 的直角三角板 $P Q D$ 如图1所示放置，使顶点P落在直线 $A B$ 上，过点Q作直线 $M N ∥ A B$ 交直线 $O C$ 于点H（点H在Q左侧）.

(1)、若 $P D ∥ O C$ ， $∠ N Q D = 45 °$ ，求 $α$ 的度数.

(2)、如图2，若 $∠ P Q H$ 的角平分线交直线 $A B$ 于点E.
①当 $Q E ∥ O C$ ， $α = 60 °$ 时，求证： $O C ∥ P D$ .
②小明将三角板保持 $P D ∥ O C$ 并向左平移，运动过程中，探究 $∠ P E Q$ 与 $α$ 之间的数量关系，并说明理由.

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18. 综合与实践
问题情境：
数学课上，老师让同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动．如图1，已知l₁∥l₂ ，直角三角板ABC中，∠B＝90°，将其顶点A放在直线l₂上，并使边AB⊥直线l₁于点D，AC与l₁相交于点H．老师提出问题：试判断边BC与直线l₁的位置关系并说明理由．

(1)、请解答老师提出的问题：

(2)、如图2，将图1中三角板ABC的直角顶点B放在平行线之间，两直角边AB，CB分别与l₁_，l₂相交于点P，Q，得到∠1和∠2，试探究∠1与∠2的数量关系并说明理由．
下面是小亮不完整的解答过程和解题反思，请你补充完整：
解：∠1＋∠2＝90°．过点B作直线BN∥l₁ ，如图：
∵l₁∥l₂（已知）
∴BN∥l₂（                ）
∴∠1=  ▲  ∠2=  ▲  （                ）
∵∠  ▲  +∠   ▲  =∠ABC，∠ABC=90°
∴∠1＋∠2＝90°
解题反思：在图中“过点B作直线BN∥l₁”的作用是  ▲

(3)、受小亮启发，同学们续探究下列问题．
请从下列A，B两题中任选一题作答．我选择  ▲
A．在图2中作线段PO和QO，使它们分别平分∠1和∠2的对顶角，如图3．直接写出∠POQ的度数．
B．在图2中∠ABC内部作射线BE，过点B作射线BF⊥BE交直线L₂于点M，得到∠3，如图4．直接写出∠1，∠3与∠EBC的数量关系．

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19. 如图，直线 $F G //$ 直线 $H K$ ，一块三角板的顶点 $A$ 在直线 $H K$ 上，边 $B C$ 、 $A C$ 分别交直线 $F G$ 于 $D$ 、 $E$ 两点. $∠ B A C = 60 °$ ， $∠ B = 90 °$ ， $∠ C = 30 °$ .

(1)、如图1， $∠ B A H = 40 °$ ，则
① $∠ F D B =$ ▲ °；

②若 $∠ C D E$ 与 $∠ C A K$ 的角平分线交于点 $I$ ，则 $∠ I =$ ▲ °.

(2)、如图2，点 $I$ 在 $∠ E D C$ 的平分线上，连 $A I$ ，且 $∠ C A I ： ∠ K A I = 1 ： 3$ ，若 $∠ I = 35 °$ ，求 $∠ F D B$ 的度数.

(3)、如图3，若 $∠ C D I ： ∠ G D I = 1 ： n$ ， $∠ C A I ： ∠ K A I = 1 ： n$ ，则 $∠ I =$ °（用含 $n$ 的式子表示）.

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20. 已知三角板 $A B C$ 中， $∠ B A C = 60 °$ ， $∠ B = 30 °$ ， $∠ C = 90 °$ ，长方形DEFG中， $D E ∥ G F$ ．将三角板 $A B C$ 的顶点A放在长方形的边 $G F$ 上， $B C$ 与 $D E$ 相交于点M．

(1)、如图1，若 $A B ⊥ D E$ 于点N，则 $∠ C A F$ 的度数是， $∠ E M C$ 的度数是；

(2)、如图2，请你猜想并写出 $∠ C A F$ 与 $∠ E M C$ 的数量关系，并说明理由；

(3)、请你总结（1），（2）的思路，在图3中探究 $∠ B A G$ 与 $∠ B M D$ 的数量关系？请直接写出数量关系．

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21. 将一副三角板中的两个直角顶点 $C$ 叠放在一起，其中 $∠ A = ∠ B = 45 °$ ， $∠ D = 30 °$ ， $∠ E = 60 °$

(1)、操作发现：如图1，当点 $A$ 落在线段 $D E$ 上时，写出图中相等的角（写出三对即可）；

(2)、问题解决：如图2，若线段 $A C$ 与 $D E$ 交于点 $G$ ．
①若 $∠ B C E = 3 ∠ A C D$ 时，求 $∠ B C D$ 的度数；
②当 $∠ B C D$ 为何值时，使线段 $C G$ 最短；

(3)、深化拓展：如图3，将三角板 $A B C$ 绕点 $C$ 顺时针转动，直到边 $B C$ 与 $C E$ 重合即停止，转动的过程中当两块三角板恰有两边平行时，请直接写出 $∠ A C D$ 的度数．

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22. 如图1，直线 $A B ∥ C D$ ，直线 $E F$ 与 $A B$ ， $C D$ 分别交于点G，H， $∠ E H D = α$ ．将一个直角三角板 $P M N$ 按如图1所示放置，使点N，M分别在直线 $A B$ ， $C D$ 上，且在点G，H的右侧，已知 $∠ P M N = 60 °$ ．

(1)、若 $∠ A N M = 100 °$ ，则 $∠ P M D$ 的度数为；

(2)、若 $∠ A N M = ∠ E H M + ∠ P M N$ ，对 $P M ∥ E F$ 说明理由；

(3)、如图2，已知 $∠ M N G$ 的平分线 $N O$ 交直线 $C D$ 于点O．
①当 $N O ∥ E F$ ， $P M ∥ E F$ 时，求 $α$ 的值；
②现将三角板 $P M N$ 保持 $P M ∥ E F$ ，并沿直线 $C D$ 向左平移，在平移的过程中，直接写出 $∠ M O N$ 的度数（用含 $α$ 的代数式表示）．

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23. 题目：“如图1，已知 $∠ A O B$ 内有一点P，射线 $P E ∥ O A$ ，且与 $O B$ 交于点E，过点P画射线 $P H$ 平行于 $O B$ ， $P H$ 与 $O A$ 相交于点H．”嘉嘉用两个完全一样的三角板进行画图，画图过程如图2所示．

(1)、嘉嘉的画图依据是；

(2)、淇淇看了嘉嘉画出的图形后，对 $∠ A O B = ∠ H P E$ 进行了如下说理．请你补全淇淇的说理过程；
∵ $P E ∥ O A$ （已知），
∴ $∠ A O B = ∠$ ▲ （）．
∵ $P H$ $∥ O B$ （已知），
∴ $∠ B E P = ∠$ ▲ （），
∴ $∠ A O B = ∠ H P E$ （等量代换）；

(3)、小明看了（2）中淇淇的说理过程后，认为说法“若两个角的两边分别平行，则这两个角相等”正确，请你判断小明的说法是否正确，并说明理由．

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24. 问题情境
我们知道“如果两条平行线被第三条直线所截，所截得的同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化角的作用．

已知三角板ABC中， $∠ B A C = 60 °$ ， $∠ B = 30 °$ ， $∠ C = 90 °$ ，长方形DEFG中， $D E ∥ G F$ ．

问题初探

如图（1），若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，BC与DE相交于点M， $A B ⊥ D E$ 于点N，则∠EMC的度数是多少呢？

此题有多种解答方法，下面是小军同学的分析过程：

过点C作 $C H ∥ G F$ ，则 $C H ∥ D E$ ，这样就将∠CAF转化为∠HCA，∠EMC转化为∠MCH，从而可以求得∠EMC的度数．

(1)、请你直接写出 $∠ C A F =$ ， $∠ E M C =$ ；

(2)、类比再探
若将三角板ABC按图（2）所示方式摆放（AB与DE不垂直），请你猜想∠EMC与∠CAF的数量关系，并说明理由；

(3)、方法迁移
请你总结（1）（2）解决问题的思路，在图（2）中探究∠BAG与∠BMD的数量关系，并直接写出结果．

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25. 综合与探究
数学活动课上，老师以“一个含 $45 °$ 的直角三角板和两条平行线”为背景展开探究活动，
如图1，已知直线 $m ∥ n$ ，直角三角板 $A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ B A C = ∠ A B C = 45 °$ ．

(1)、如图1，若 $∠ 2 = 65 °$ ，则 $∠ 1 =$ ；（直接写出答案）

(2)、“启航”小组在图1的基础上继续展开探究：如图 $2$ ，调整三角板的位置，当三角板 $A B C$ 的直角顶点 $C$ 在直线 $n$ 上，直线 $m$ 与 $A B$ ， $A C$ 相交时，他们得出的结论是： $∠ 1 - ∠ 2 = 135 °$ ，你认为启航小组的结论是否正确，请说明理由；

(3)、如图 $3$ ，受到“启航”小组的启发，“睿智”小组提出的问题是：在图 $2$ 的基础上，继续调整三角板的位置，当点 $C$ 不在直线 $n$ 上，直线 $m$ 与 $A C$ ， $B C$ 相交时， $∠ 1$ 与 $∠ 2$ 有怎样的数量关系？请你用平行线的知识说明理由．

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