2024年浙教版数学七（下）微素养核心突破2 平行线的相关模型

试卷更新日期：2024-04-13 类型：复习试卷

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一、猪蹄模型

1. 如图，已知AB∥EF．若∠C=90°，则∠α，∠β，∠γ之间的关系是（）

A、∠β=∠α+∠γ B、∠α+∠β+∠γ=180° C、∠α+∠β-∠γ=90° D、∠β+∠γ-∠α=90°

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2.
如图，AB∥EF ，则∠A、∠C、∠D、∠E满足的数量关系是（）

A、∠A＋∠C＋∠D＋∠E＝360° B、∠A＋∠D＝∠C＋∠E C、∠A－∠C＋∠D＋∠E＝180° D、∠E－∠C＋∠D－∠A＝90°

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3. 如图，若 $A B ∥ C D$ ，用含有∠1，∠2，∠3的式子表示∠α，则∠α应为（）

A、 $∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3$ B、 $∠ 2 + ∠ 3 - ∠ 1$ C、 $180 ° + ∠ 1 + ∠ 2 - ∠ 3$ D、 $180 ° + ∠ 2 - ∠ 1 - ∠ 3$

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4. ①如图1， $A B ∥ C D$ ，则 $∠ A + ∠ E + ∠ C = 180 °$ ；②如图2， $A B ∥ C D$ ，则 $∠ E = ∠ A + ∠ C$ ；③如图3， $A B ∥ C D$ ，则 $∠ A + ∠ E - ∠ 1 = 180 °$ ；④如图4， $A B ∥ C D$ ，则 $∠ A = ∠ C + ∠ P$ ．以上结论正确的个数是（）

A、①②③④ B、①②③ C、②③④ D、①②④

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5.
如图，直线l₁∥l₂ ， ∠α=∠β，∠1=50°，则∠2= ．

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6. 如图，直线 $A B ∥ C D$ ，则 $∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4 - ∠ 1 - ∠ 5$ 的度数为°．

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7. 如图，直线l₁∥l₂ ， ∠BAE＝125°，∠ABF＝85°，则∠1＋∠2= ．

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8. 某学习小组发现一个结论：已知直线a∥b，若直线c∥a，则c∥b.他们发现这个结论应用很广，请你利用这个结论解决以下问题：
已知直线 AB∥CD，点E在AB，CD 之间，点 P，Q分别在直线AB，CD上，连结 PE，EQ.

(1)、如图1，过点 E 作 EH∥AB，运用上述结论，探究∠PEQ，∠APE，∠CQE之间的数量关系，并说明理由.

(2)、如图2，类比(1)中的方法，运用上述结论，探究∠PEQ，∠APE，∠CQE 之间的数量关系，并说明理由.

(3)、如图3，PF 平分∠BPE，QF 平分∠EQD，当∠PEQ=140°时，请直接写出∠PFQ的度数.

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9. 如图

(1)、如图一， $A B ∥ C D$ ， $∠ B = 70 °$ ， $∠ D = 30 °$ ，则 $∠ D E B =$ ．

(2)、如图二， $A B ∥ C D$ ， $∠ A B F = \frac{2}{3} ∠ A B E$ ， $∠ C D F = \frac{2}{3} ∠ C D E$ ， $D Q$ ， $B Q$ 分别平分 $∠ G D E$ 和 $∠ H B E$ ，则 $∠ D F B$ ， $∠ D Q B$ 满足的数量关系为．

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10. 阅读资料：在学习平行线知识的时候，小敏同学发现有的图形（如图1），不属于两条平行线被第三条直线所截的图形，不能直接应用平行线的性质解决问题．经过思考，小敏想到，若过点C作CF∥AB（如图2），这样就多了一个已知条件，问题就可以解决了．

请你参考小敏同学的方法，解决下面问题：

(1)、如图2，已知AB∥DE，用等式表示∠B，∠E，∠BCE之间的数量关系，并说明理由．

(2)、如图3，已知AB∥DE，直接用等式表示出∠B，∠E，∠BCE之间的数量关系．

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11.

(1)、感知与探究：如图①，直线 $A B ∥ C D$ ，过点 $E$ 作 $E F / / A B$ ．请直接写出 $∠ B$ ， $∠ D$ ， $∠ B E D$ 之间的数量关系：；

(2)、应用与拓展：如图②，直线 $A B / / C D$ ．若 $∠ B = 23 °$ ， $∠ G = 35 °$ ， $∠ D = 25 °$ ，借助第（1）问中的结论，求 $∠ B E G + ∠ G F D$ 的度数；

(3)、方法与实践：如图③，直线 $A B / / C D$ ．若 $∠ E = ∠ B = 60 °$ ， $∠ F = 85 °$ ，则 $∠ D =$ 度．

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12. 同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．

(1)、如图1， $A B ∥ C D$ ， E为AB、CD之间一点，连接AE、CE．若∠A＝42°，∠C＝28°．则∠AEC＝．

(2)、如图2， $A B ∥ C D$ ，线段AD与线段BC交于点E，∠A＝36°，∠C＝54°，EF平分∠BED，求∠BEF的度数．

(3)、如图3． $A B ∥ C D$ ，线段AD与线段BC相交于点G，∠BCD＝56°，∠GDE＝20°，过点D作 $D F ∥ C B$ 交直线AB于点F，AE平分∠BAD，DG平分∠CDF，求∠AED的度数．

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13. 几何模型在解题中有着重要作用，例如美味的“猪蹄模型”．

(1)、导入：如图①，已知 $A B ∥ P Q ∥ C D$ ，如果 $∠ A E P = 45 °$ ， $∠ C F P = 60 °$ ，则 $∠ E P F =$ $°$ ；

(2)、发现：如图②，直线 $A B ∥ C D$ ，请判断 $∠ A E P$ 与 $∠ C F P ， ∠ E P F$ 之间的数量关系，并说明理由；

(3)、运用：如图③，已知 $A D ∥ B C ， P$ 在射线 $O M$ 上运动（点 $P$ 与点 $A 、 B 、 O$ 三点不重合）， $∠ A D P = α ， ∠ B C P = β$ ，请用含 $α 、 β$ 的代数式表示 $∠ C P D$ ，并说明理由．

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14. 几何模型在解题中有着重要作用，例如美味的“猪蹄模型”．

(1)、导入：如图1，已知 $A B ∥ P Q ∥ C D$ ，如果 $∠ A E P = 45 °$ ， $∠ C F P = 60 °$ ，则 $∠ E P F =$ $°$ ；

(2)、发现：如图2，直线 $A B ∥ C D$ ，请判断 $∠ A E P$ 与 $∠ C F P$ ， $∠ E P F$ 之间的数量关系，并说明理由；

(3)、运用：如图3，已知 $A D ∥ B C$ ， P在射线 $O M$ 上运动（点P与点A、B、O三点不重合）， $∠ A D P = α$ ， $∠ B C P = β$ ，请用含 $α$ 、 $β$ 的代数式表示 $∠ C P D$ ，并说明理由．

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15. 请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题.
小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型一“猪蹄模型”.即

已知：如图1， $A B / / C D$ ， $E$ 为 $A B$ 、 $C D$ 之间一点，连接 $A E$ ， $C E$ 得到 $∠ A E C$ .

求证： $∠ A E C = ∠ A + ∠ C$

小明笔记上写出的证明过程如下：

证明：过点 $E$ 作 $E F / / A B$ ，

∴ $∠ 1 = ∠ B$

∵ $A B / / C D$ ， $E F / / A B$

∴ $E F / / C D$

∴ $∠ 2 = ∠ C$ .

∵ $∠ A E C = ∠ 1 + ∠ 2$

∴ $∠ A E C = ∠ A + ∠ C$

请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题.

(1)、如图，若 $A B / / C D$ ， $∠ E = 60 °$ ，则 $∠ B + ∠ C + ∠ F =$ .

(2)、如图， $A B / / C D$ ， $B E$ 平分 $∠ A B G$ ， $C F$ 平分 $∠ D C G$ ， $∠ G = ∠ H + 27 °$ ，则 $∠ H =$ .

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16. 如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：
第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E₁ ，

第二次操作，分别作∠ABE₁和∠DCE₁的平分线，交点为E₂ ，

第三次操作，分别作∠ABE₂和∠DCE₂的平分线，交点为E₃ ， …，

第n次操作，分别作∠ABE_n_﹣₁和∠DCE_n_﹣₁的平分线，交点为E_n ．

若∠E_n=1度，那∠BEC等于度

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17. 已知：直线AB与直线CD内部有一个点P ，连接BP ．

(1)、如图1，当点E在直线CD上，连接PE ，若∠B+∠PEC＝∠P ，求证：AB∥CD；

(2)、如图2，当点E在直线AB与直线CD的内部，点H在直线CD上，连接EH ，若∠ABP+∠PEH＝∠P+∠EHD ，求证：AB∥CD；

(3)、如图3，在（2）的条件下，BG、EF分别是∠ABP、∠PEH的角平分线，BG和EF相交于点G ， EF和直线AB相交于点F ，当BP⊥PE时，若∠BFG＝∠EHD+10°，∠BGE＝36°，求∠EHD的度数．

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18. 探究题：已知：如图， $A B / / C D$ ， $C D / / E F$ .求证： $∠ B + ∠ B D F + ∠ F = 36 0^{∘}$ .
老师要求学生在完成这道教材上的题目证明后，尝试对图形进行变形，继续做拓展探究，看看有什么新发现？

(1)、小颖首先完成了对这道题的证明，在证明过程中她用到了平行线的一条性质，小颖用到的平行线性质可能是 .

(2)、接下来，小颖用《几何画板》对图形进行了变式，她先画了两条平行线 $A B ， E F$ ，然后在平行线间画了一点 $D$ ，连接 $B D ， D F$ 后，用鼠标拖动点 $D$ ，分别得到了图 $①$ $② ③$ ，小颖发现图 $②$ 正是上面题目的原型，于是她由上题的结论猜想到图 $①$ 和 $③$ 图中的与 $∠ B ， ∠ B D F$ 之间也可能存在着某种数量关系.于是她利用《几何画板》的度量与计算功能，找到了这三个角之间的数量关系.
请你在小颖操作探究的基础上，继续完成下面的问题：
（ⅰ）猜想图 $①$ 中 $∠ B ， ∠ B D F$ 与 $∠ F$ 之间的数量关系并加以证明；
（ⅱ）补全图 $③$ ，直接写出 $∠ B ， ∠ B D F$ 与 $∠ F$ 之间的数量关系： ▲ .

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二、铅笔头模型

19. 如图：已知 $A B ∥ C D$ ， $∠ B = 120$ 度， $∠ D = 150$ 度，则 $∠ О$ 等于（）度．

A、50 B、60 C、80 D、90

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20. 如图，已知A₁B∥A_nC，则∠A₁＋∠A₂＋…＋∠A_n等于（）

A、180°n B、(n＋1)·180° C、(n－1)·180° D、(n－2)·180°

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21. 如图，已知 $A B / / C D$ ，若按图中规律继续划分下去，则 $∠ 1 + ∠ 2 + ⋯ + ∠ n$ 等于（）

A、 $n \cdot 18 0^{0}$ B、 $2 n \cdot 18 0^{0}$ C、 $(n - 1) \cdot 18 0^{0}$ D、 $(n - 1)^{2} \cdot 18 0^{0}$

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22.
观察下列图形：已知a∥b，在第一个图中，可得∠1+∠2=180°，则按照以上规律，∠1+∠2+∠P₁+…+∠P_n=度．

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23. 如图

(1)、[问题解决]如图1，AB∥CD，点E、F分别是AB、CD上的点，连接OE、OF，探求∠1、∠2、∠3之间的关系，并说明理由.

(2)、[拓展延伸]如图2，上述结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请写出它们的关系.

(3)、 [拓展应用]如图3，已知AB∥CD，∠AE₁E₂的角平分线与∠CE_nE_n_﹣1的角平分线交于点O.若∠E₁OE_n＝m°直接写出∠2+∠3+∠4+…+∠（n﹣2）+∠（n﹣1）的度数.（用含m、n的代数式表示）

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三、乌鸦嘴模型

24. 如图，已知AB∥DE，∠ABC=70°，∠CDE=140°，则∠BCD的度数为.

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25. 如图， $∠ A E C = 80 °$ ，在 $∠ A E C$ 的两边上分别过点A和点C向同方向作射线 $A B$ 和 $C D$ ，且 $A B ∥ C D$ ，若 $∠ E A B$ 和 $∠ E C D$ 的角平分线所在的直线交于点P（P与C不重合），则 $∠ A P C$ 的大小为．

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26. 如图， $A B ∥ C D$ ，分别探讨下面四个图形中 $∠ A P C$ 与 $∠ A$ 、 $∠ C$ 的关系，请你从（3）或（4）中任选一个加以说明．

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27.

(1)、【感知】如图1， $A B ∥ C D$ ， ∠AEP＝50°，∠PFD＝120°，求∠EPF的度数；

(2)、【探究】如图2， $A B ∥ C D$ ， ∠AEP＝48°，∠PFC＝122°，求∠EPF的度数；

(3)、【应用】如图3，在以上【探究】条件下，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，求∠G的度数．

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28. 小明完成作业后在家复习，他看到七下课本第12页例4，感到这个结论十分有趣，便尝试探究起来.

(1)、【基础巩固】
与例4条件和结论互换，改成了：“如图1，AP 平分∠BAC，CP平分∠ACD，AB∥CD，则∠1+∠2=90°，”小明认为这个结论正确，你赞同他的想法吗? 请说明理由.

(2)、【尝试探究】
小明发现：若将其中一条角平分线改成AC的垂线，则“∠1+∠2=90°”这个结论不成立.请帮小明完成探究：
如图2，AB∥CD，AP平分∠BAC，CP⊥AC，∠1是AP与AB的夹角，∠2 是CP与CD的夹角.
①若∠2=22°，求∠1的度数.
②试说明：2∠1-∠2=90°.

(3)、【拓展提高】
如图3，若AB∥CD，AP⊥AC，CP平分∠ACD，请直接写出∠1与∠2的数量关系.

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