2024年北师大版数学八年级下册单元清测试（第五章）基础卷

试卷更新日期：2024-04-13 类型：单元试卷

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 若分式 $\frac{1}{x + 1}$ 有意义，则x的取值范围是（）

A、 $x \neq - 1$ B、 $x \neq 0$ C、 $x \neq 1$ D、 $x \neq 2$

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2. 计算 $\frac{3}{a} + \frac{2}{a}$ 的结果为（）

A、 $\frac{1}{a}$ B、 $\frac{6}{a^{2}}$ C、 $\frac{5}{a}$ D、 $\frac{6}{a}$

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3. 若分式 $\frac{x^{2} - 4}{x + 2}$ 的值为0，则x的值为（）

A、﹣2 B、0 C、2 D、±2

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4. 方程 $\frac{2}{x} = \frac{3}{x + 1}$ 的解为（）

A、 $x = 1$ B、 $x = - 1$ C、 $x = 2$ D、 $x = - 2$

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5. 化简 $x^{3} {(\frac{y^{3}}{x})}^{2}$ 的结果是（）

A、 $x y^{6}$ B、 $x y^{5}$ C、 $x^{2} y^{5}$ D、 $x^{2} y^{6}$

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6. 若x是非负整数，则表示 $\frac{2 x}{x + 2} - \frac{x^{2} - 4}{{(x + 2)}^{2}}$ 的值的对应点落在下图数轴上的范围是（）

A、① B、② C、③ D、①或②

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7. 代数式 $\frac{2}{5}$ x， $\frac{1}{π}$ ， $\frac{2}{x^{2} + 4}$ ， x²﹣ $\frac{2}{3}$ ， $\frac{1}{x}$ ， $\frac{x + 1}{x + 2}$ 中，属于分式的有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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8. 化简 $\frac{1}{a - 3} - \frac{6}{a^{2} - 9}$ 的结果是（）

A、 $\frac{1}{a + 3}$ B、 $a - 3$ C、 $a + 3$ D、 $\frac{1}{a - 3}$

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9. 某工厂现在平均每天比原计划多生产40台机器，现在生产600台机器所需的时间与原计划生产480台机器所用的时间相同，设原计划每天生产x台机器，根据题意，下面列出的方程正确的是（）

A、 $\frac{600}{x - 40}$ = $\frac{480}{x}$ B、 $\frac{600}{x + 40}$ = $\frac{480}{x}$ C、 $\frac{600}{x}$ = $\frac{480}{x + 40}$ D、 $\frac{600}{x}$ = $\frac{480}{x - 40}$

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10. 随着生活水平的提高，小林家购置了私家车，这样他乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了15分钟，现已知小林家距学校8千米，乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的2.5倍，若设乘公交车平均每小时走x千米，根据题意可列方程为（　　）

A、 $\frac{8}{x} + 15 = \frac{8}{2.5 x}$ B、 $\frac{8}{x} = \frac{8}{2.5 x} + 15$ C、 $\frac{8}{x} + \frac{1}{4} = \frac{8}{2.5 x}$ D、 $\frac{8}{x} = \frac{8}{2.5 x} + \frac{1}{4}$

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二、填空题（每题3分，共18分）

11. 当a=1时，分式 $\frac{a + 1}{a}$ 的值是.

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12. 当 $x =$ 时，分式 $\frac{2 x}{x + 2}$ 的值为零.

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13. 计算 $\frac{x + 5}{x + 2}$ ﹣ $\frac{3}{x + 2}$ ＝.

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14. 关于 $x$ 的方程 $\frac{1 + m}{x - 1} = 2$ 的解是 $x = 2$ ，则 $m =$ ．

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15. 关于x的分式方程 $\frac{m}{x - 2} + \frac{1}{2 - x} = 1$ 有增根，则m的值为.

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16. 已知A、B两地相距 $1200$ 千米，一辆“和谐号”动车组的行驶速度是原乘直快列车速度的 $2.5$ 倍，乘坐“和谐号”动车组比乘坐直快列车的时间可以减少6小时，求直快列车的速度，设直快列车的速度为x千米/小时，根据题意可列出方程为：．

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三、解答题（共10题，共72分）

17. 解方程： $\frac{x}{x - 3} - 1 = \frac{5 x - 3}{x^{2} - 6 x + 9}$ ．

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18. 解方程： $\frac{1 - x}{x} + 1 = \frac{2}{x^{2} + x}$ .

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19. 解方程 $\frac{x}{x + 1} = \frac{2 x}{3 x + 3} + 1$

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20. 解方程： $\frac{x}{x - 1} = \frac{3 x}{2 - 2 x} + 1$

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21. 先化简，再求值： $\frac{3}{a - 1} - \frac{a + 1}{a^{2} - 2 a + 1} \div \frac{a + 1}{a - 1}$ ，从 $1$ ， $2$ 中选取一个合适的数作为 $a$ 的值代入求值．

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22. 先化简，再求值： $\frac{1}{x - 3} \div \frac{1}{x^{2} - 9} - \frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x^{2} + x}{x^{2}}$ ，其中x＝2．

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23. 先化简，再求值： $(\frac{x}{x - 3} - \frac{1}{x - 3}) \div \frac{x^{2} - x}{x^{2} - 9}$ ，其中 $x = \sqrt{3}$ ．

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24. 阅读材料，并完成下列问题：
不难求得方程x+ $\frac{1}{x}$ ＝2+ $\frac{1}{2}$ 的解是x₁＝2， $x_{2} = \frac{1}{2}$ ；

x- $\frac{1}{x}$ ＝3+ $\frac{1}{3}$ 的解是x₁＝3，x₂＝ $\frac{1}{3}$ ；

x $+ \frac{1}{x} = 4 + \frac{1}{4}$ 的解是x₁＝4，x₂＝ $\frac{1}{4}$ ；

(1)、观察上述方程及其解，可猜想关于x的方程x $+ \frac{1}{x} = a + \frac{1}{a} (a \neq 0)$ 的解是 .

(2)、试用“求出关于x的方程x $+ \frac{1}{x} = a + \frac{1}{a} (a \neq 0)$ 的解”的方法证明你的猜想；

(3)、利用你猜想的结论，解关于x的方程 $\frac{x^{2} - x + 1}{x - 1} = a + \frac{1}{a - 1}$ .

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25. 科技改变世界，为提高快递包裹分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线，一条某型号的自动分拣流水线每小时分拣的包裹量是1名工人每小时分拣包裹量的4倍，分拣6000件包裹，用一条自动分拣流水线分拣比1名工人分拣少用7.5小时．

(1)、一条自动分拣流水线每小时能分拣多少件包裹？

(2)、新年将至，某转运中心预计每日需分拣的包裹量高达576000件，现准备则买该型号的自动分拣流水线进行24小时作业，则至少应购买多少条?

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26. 为了做好今年的防汛工作，确保人民群众生命财产安全，某地计划对区域内的河道清淤疏浚，提高河道行洪、排涝能力．现打算租赁A、B两种型号的卡车转运河道内淤积的泥沙，已知A、B两种型号卡车的相关信息如下表所示：

车辆型号	A型	B型
运输量（吨/辆・天）	$a + 50$	$a$
租金（元/辆・天）	1000	800

若A型卡车每天转运3000吨泥沙与B型卡车每天转运2700吨泥沙所需车辆数相同．

(1)、求出上表中

a

的值（写出解题过程）；

(2)、该地计划租赁A、B两种型号的卡车共10辆，且满足每天转运的泥沙不少于4750吨，租金总额不超过9600元．

①若设租赁A型卡车 $x$ 辆，每天的租金总额为 $w$ 元，请写出 $w$ 与 $x$ 的关系式；

②请列出所有的租赁方案，并求出最节省的租赁方案和此时的租金总额．

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