2023-2024学年广东省八年级下学期期中仿真模拟卷二【北师大版范围：1-4章】

试卷更新日期：2024-04-13 类型：期中考试

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一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 做好“垃圾分类”，倡导绿色健康的生活方式，是我们做为公民应尽的义务，如图所示垃圾分类标志，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 等腰三角形中一个外角等于100°，则另两个内角的度数分别为（　　）

A、40°，40° B、80°，20° C、50°，50° D、50°，50°或80°，20°

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3. 在下列现象中，属于平移的是（）

A、小亮荡秋千运动 B、升降电梯由一楼升到八楼
C、时针的运行过程 D、卫星绕地球运动

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4. 下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（）

A、 $x^{2} + 2 x + 2 = x (x + 2) + 2$ B、 $2 x y^{2} = 2 x \cdot y$ C、 $(- x - 1)^{2} = x^{2} + 2 x + 1$ D、 $x^{2} - 1 = (x + 1) (x - 1)$

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5. 若 $a > b$ ，则下列不等式成立的是（）

A、
a+5>b+5
B、 $4 a - 2 < 4 b - 2$ C、 $- 3 a > - 3 b$ D、 $\frac{a}{2} > \frac{b}{2}$

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6. 若a-b=2，则a²-b²-4b的值是（）

A、0 B、2 C、3 D、4

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7. 如图，一次函数 $y_{1} = x + b$ 与一次函数 $y_{2} = k x + 4$ 的图象交于点 $P (1 ， 3)$ ，则关于的不等式 $x + b < k x + 4$ 的解集是（）

A、 $x > 2$ B、 $x > 0$ C、 $x > 1$ D、 $x < 1$

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8. 在△ABC中，AB=BC，两个完全相同的三角尺按如图所示的方式摆放，它们一组较短的直角边分别在AB，BC上，另一组较长的对应边的顶点重合于点P，BP交边AC于点D，下列结论中错误的是（）．

A、BP平分∠ABC B、AD=DC C、BD垂直平分AC D、AB= 2AD

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9. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $B C = 6$ ， $A B = 10 .$ 分别以 $B$ 、 $C$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} B C$ 的长为半径作弧，两弧分别交于 $E$ 、 $F$ 两点，连接直线 $E F$ ，分别交 $B C$ 、 $A B$ 于点 $M$ 、 $N$ ，连接 $C N$ ，则 $△ C M N$ 的面积为（）

A、 $12$ B、 $6$ C、 $7.5$ D、 $15$

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10. 如图，C为线段AE上一动点（不与点A ， E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE ， AD与BE交于点O ， AD与BC交于点P ， BE与CD交于点Q ，连接PQ ．以下四个结论：①AD＝BE；②∠AOB＝60°；③AP＝BQ；④连接CO ，则AO＝BO+CO ．恒成立的结论有（　　）

A、①②③ B、①② C、②③④ D、①②③④

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二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．

11. 点 $P (m + 2 ， n)$ 向右平移两个单位后得到的点和点 $Q (n - 1 ， 2 m + 1)$ 关于 $y$ 轴对称，则 $m + n =$ ．

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12. 分解因式：2x³－8x=.

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13. 如图，直线AB，CD交于点O，ME⊥AB于点E，MF⊥CD于点F，若ME=MF，且∠AOC=52°，则∠OME的度数为.

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14. 定义新运算：对于任意实数a，b，都有 $a △ b = a (a - b) + 1$ ，比如： $2 △ 5 = 2 \times (2 - 5) + 1 = - 6 + 1 = - 5$ ．若 $3 △ x$ 的值小于16，则满足条件的最小整数解为．

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15. 如图，四边形ABCD中， $A D ∥ B C$ ， $∠ C ＝ 90 °$ ， $A B ＝ A D$ ，连接 $B D$ ，作 $∠ B A D$ 角平分线 $A E$ 交 $B D$ 、 $B C$ 于点F、E．若 $E C ＝ 3$ ， $C D ＝ 4$ ，那么 $A E$ 长为．

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三、解答题（共8题，共75分）

16. 因式分解：

(1)、 $- 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2}$

(2)、 $8 m^{2} (m + n) - 2 (m + n)$

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17. 解不等式组 ${\begin{array}{l} 5 x - 2 > 3 (x - 1) \\ \frac{x - 1}{2} \leq 7 - x \end{array}$ ，并把解集在数轴上表示出来．

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18. 【阅读】
定义：如果一个三角形有两个内角的差为90°，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”．

(1)、【理解】
①若 $∠ A = 60 °$ ， $∠ B = 15 °$ ，则 $△ A B C$ “准直角三角形”；（填“是”或“不是”）
②已知 $△ A B C$ 是“准直角三角形”，且 $∠ C > 90 °$ ， $∠ A = 40 °$ ，则 $∠ B$ 的度数为．

(2)、【应用】
如图，在 $△ A B C$ 中，点D在 $A C$ 上，连接 $B D$ ．若 $B D = A D$ ， $A C = 18$ ， $B C = 12$ ， $A D ： C D = 5 ： 13$ ，试说明 $△ A B C$ 是“准直角三角形”．

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19. 某商店销售 $10$ 台 $A$ 型和 $20$ 台 $B$ 型电脑的利润为 $4000$ 元，销售 $20$ 台 $A$ 型和 $10$ 台 $B$ 型电脑的利润为 $3500$ 元．

(1)、求每台 $A$ 型电脑和 $B$ 型电脑的销售利润各多少元；

(2)、该商店计划一次购进两种型号的电脑共 $100$ 台，其中 $B$ 型电脑的进货量不超过 $A$ 型电脑的 $2$ 倍，设购进 $A$ 型电脑 $a$ 台，这 $100$ 台电脑的销售总利润为 $w$ 元．
①求关于 $a$ 的函数关系式；
②该商店购进 $A$ 型、 $B$ 型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？

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20. 阅读下面的“数学活动报告”，并完成相应学习任务．

作 $∠ A O B$ 的平分线活动内容：

已知 $∠ A O B$ ，作出 $∠ A O B$ 的平分线 $O C$ ．

方法展示：

方案一：如图①，分别在 $∠ A O B$ 的边 $O A$ ， $O B$ 上截取 $O M = O N$ ，再分别以点M，N为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 长为半径画弧，两弧相交于点C，则射线 $O C$ 就是 $∠ A O B$ 的平分线．

方案二：如图②，分别在 $∠ A O B$ 的边 $O A$ ， $O B$ 上用圆规截取 $O M = O N$ ，再利用三角尺分别过点 $M$ ， $N$ 作出 $O A$ ， $O B$ 的垂线，两条垂线交于点C，作射线 $O C$ ，则 $O C$ 就是 $∠ A O B$ 的平分线．

方案三：如图③，在 $O A$ 上取一点P，过点P作 $∠ A P Q = ∠ A O B$ ；然后在 $P Q$ 上截取 $P C = O P$ ，作射线 $O C$ ， $O C$ 就是 $∠ A O B$ 的平分线．

活动总结：

全等三角形、等腰三角形的性质是证明两角相等的重要依据，根据全等三角形、等腰三角形的有关知识可以用多种方法作 $∠ A O B$ 的平分线．

活动反思：

利用等腰三角形“三线合一”的性质可以作出 $∠ A O B$ 的平分线吗？

学习任务：

(1)、方案一依据的一个基本事实是；方案二“判定直角三角形全等”的依据是；

(2)、同学们提出的方案三是否符合题意？请你利用图③说明理由；

(3)、请依据等腰三角形“三线合一”的性质，在图④中作出

∠ A O B

的平分线，并简要叙述作图过程．

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21. 有些多项式的某些项可以通过适当地结合，（或把某项适当地拆分）成为一组，利用分组来分解多项式的因式，从而达到因式分解的目的，例如将 $x^{2} - 4 y^{2} - 2 x + 4 y$ 因式分解。
原式 $= x^{2} - 4 y^{2} - 2 x + 4 y = (x + 2 y) (x - 2 y) - 2 (x - 2 y) = (x - 2 y) (x + 2 y - 2)$ 。
请在这种方法的启发下，解决以下问题：

(1)、分解因式 $x^{2} + x - 5 x - 5$ ；

(2)、 $△ A B C$ 三边 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $a^{2} + a b + c^{2} - b c = 2 a c$ ，判断 $△ A B C$ 的形状，并说明理由。

(3)、“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形。若直角三角形的两条直角边长分别是 $a$ 和 $b (a > b)$ ，斜边长是4，小正方形的面积是1。根据以上信息，先将 $a^{4} - 2 a^{3} b + 2 a^{2} b^{2} - 2 a b^{3} + b^{4}$ 因式分解，再求值。

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22. 为更好地推进生活垃圾分类工作，改善城市生态环境，某小区准备购买 $A$ 、 $B$ 两种型号的垃圾箱，通过对市场调研得知：购买3个 $A$ 型垃圾箱和2个 $B$ 型垃圾箱共需390元，购买2个 $A$ 型垃圾箱比购买1个 $B$ 型垃圾箱少用20元．

(1)、求每个 $A$ 型垃圾箱和每个 $B$ 型垃圾箱分别多少元？

(2)、该小区计划用不多于1500元的资金购买 $A$ 、 $B$ 两种型号的垃圾箱共20个，且 $A$ 型号垃圾箱个数不多于 $B$ 型垃圾箱个数的3倍，则该小区购买 $A$ 、 $B$ 两种型号垃圾箱的方案有哪些？该小区最少需花费多少钱？

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23. 数学模型学习与应用：
白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．——《古从军行》唐李欣
模型学习：诗中隐含着一个有趣的数学问题，我们称之为“将军饮马”问题．关键是利用轴对称变换，把直线同侧两点的折线问题转化为直线两侧的线段问题，从而解决距离和最短的一类问题，“将军饮马”问题的数学模型如图1所示：在直线l上存在点P ，使PA+PB的值最小．
作法：作A点关于直线l的对称点A'，连接A'B ， A'B与直线l的交点即为点P ．此时PA+PB的值最小．

(1)、模型应用：
如图2，已知△ABC为等边三角形，高AH＝8cm ， P为AH上一动点，D为AB的中点．
①当PD+PB的最小值时，在图中确定点P的位置（要有必要的画图痕迹，不用写画法）．
②则PD+PB的最小值为 ▲ cm ．

(2)、模型变式：
如图3所示，某地有块三角形空地AOB ，已知∠AOB＝30°，P是△AOB内一点，连接PO后测得PO＝10米，现当地政府欲在三角形空地AOB中修一个三角形花坛PQR ， 点Q、R分别是OA ， OB边上的任意一点（不与各边顶点重合），求△PQR周长的最小值.

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