2024年初中数学人教版八年级下学期期中模拟考试卷 02

试卷更新日期：2024-04-13 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列二次根式中，不能与 $\sqrt{3}$ 合并的是（）

A、 $\sqrt{32}$ B、 $\sqrt{27}$ C、 $\sqrt{12}$ D、 $\sqrt{\frac{1}{3}}$

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2. 已知， $△ A B C$ 中 $∠ A 、 ∠ B 、 ∠ C$ 的对边分别是a、b、c，下列条件不能判断 $△ A B C$ 是直角三角形的是（）

A、 $b^{2} - c^{2} = a^{2}$ B、 $a = \sqrt{2}$ ， $b = \sqrt{3}$ ， $c = \sqrt{5}$ C、 $∠ A - ∠ B = ∠ C$ D、 $∠ A ： ∠ B ： ∠ C = 3 ： 4 ： 5$

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3. 已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简： $| a - 2 | + \sqrt{{(a - 4)}^{2}}$ 的结果为（）

A、2 B、 $- 2$ C、 $2 a - 6$ D、 $- 2 a + 6$

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4. 下列命题中正确的是（）

A、平行四边形的对角线互相垂直 B、矩形的对角线相等 C、对角线相等的平行四边形是菱形 D、对角线互相垂直的平行四边形是正方形

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5. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 6$ ， $B C = 8$ ， $C D$ 是斜边的高，则 $C D$ 的长为（）

A、 $\frac{24}{5}$ B、 $\frac{12}{5}$ C、5 D、10

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6. 如图，Rt△ABC中， ∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB于D，CE是△ABC的中线，要说明“三个角分别对应相等的两个三角形全等”是假命题，可以作为反例的两个三角形是（）

A、△ACE和△BCE B、△BCE和△ABC C、△CDE 和△BCD D、△ACD和△BCD

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7. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，连接 $A C$ ， $∠ B A C = 40 °$ ， $∠ A C B = 80 °$ ，则 $∠ A D C$ 的度数是（）

A、 $50 °$ B、 $60 °$ C、 $70 °$ D、 $80 °$

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8. 如图，“赵爽弦图”是一个由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接成的大正方形，若E是AF的中点， $A D = 5$ ，连接BF并延长交CD于点M ，则DM的长为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、1 C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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二、填空题

9. 一个长方形的面积为 $6 a^{2} b - 9 a b$ ，已知这个长方形的长为 $3 a b$ ，则宽为．

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10. 若 $\sqrt{x - 1}$ 在实数范围内有意义，则 $x$ 的取值范围为.

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11. 小明设计了测量池塘两端AB距离的方案，如图，先取一点C，连结AC，BC，再取它们的中点D，E，测得DE=15米，则AB=米．

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12. 如图所示，四边形ABCD是边长为2的菱形， $A C = 2$ ，则四边形ABCD的面积为．

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13. 已知菱形的两条对角线长分别为6和8，则它的面积为．

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14. 如图，在 $R t △ A B C$ 和 $R t △ B D E$ 中， $∠ A B C = ∠ B D E = 90 °$ ，点 $A$ 在边 $D E$ 的中点上，若 $A B = B C$ ， $D B = D E = 2$ ，连结 $C E$ ，则 $C E$ 的长为．

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15. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $A D = 2$ ， $E$ 为边 $C D$ 的中点，点 $P$ 在线段 $A B$ 上运动， $F$ 是 $C P$ 的中点，则 $Δ C E F$ 的周长的最小值是.

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16. 如图，已知四边形ABCD为正方形， $A B = 2 \sqrt{2}$ ， E为对角线AC上一点，连接DE ，过点E作EF⊥DE ，交BC的延长线于点F ，以DE ， EF为邻边作矩形DEFG ，连接CG ．下列结论：①矩形DEFG是正方形；② $2 C E + C G = \sqrt{2} A D$ ；③CG平分∠DCF；④CE＝CF ．其中正确的是（填序号）．

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三、解答题

17. 一艘轮船从 $A$ 港向南偏西 $51 °$ 方向航行 $100 k m$ 到达 $B$ 岛，再从 $B$ 岛沿 $B M$ 方向航行 $125 k m$ 到达 $C$ 岛， $A$ 港到航线 $B M$ 的最短距离是 $60 k m$ ．

(1)、若轮船速度为 $25 k m /$ 小时，求轮船从 $C$ 岛沿 $C A$ 返回 $A$ 港所需的时间．

(2)、求 $C$ 岛在 $A$ 港的什么方向？

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18. 如图，点 E，F 分别在▱ABCD 的边 BC，AD $， B E = \frac{1}{3} B C ， F D = \frac{1}{3} A D ，$ 连结 BF，DE.求证：四边形 BEDF 是平行四边形.

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19. 如图，在四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点 $O$ ， $∠ B A C = ∠ B D C$ ， $∠ B C D - ∠ A B D = ∠ A B C$ .

(1)、求证： $A B = A C$ ；

(2)、过点 $A$ 作 $A E ⊥ B D$ ，垂足为点 $E$ ，求证： $B D - C D = 2 D E$ ；

(3)、点 $F$ 为 $B C$ 上一点，连接 $A F$ ， $D F$ ， $A F + D F = \frac{2 \sqrt{39}}{3}$ ， $∠ C A F = 2 ∠ D B C$ ，若 $∠ B A C = 120 °$ ， $C D = 2$ ，求线段 $B D$ 的长.

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四、实践探究题

20. 【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：
$5 + 2 \sqrt{6} = (2 + 3) + 2 \sqrt{2 \times 3} = {(\sqrt{2})}^{2} + {(\sqrt{3})}^{2} + 2 \sqrt{2} \times \sqrt{3} = {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{2}$ ；
$8 + 2 \sqrt{7} = (1 + 7) + 2 \sqrt{1 \times 7} = 1^{2} + {(\sqrt{7})}^{2} + 2 \times 1 \times \sqrt{7} = {(1 + \sqrt{7})}^{2}$ ．
【类比归纳】

(1)、小华仿照小明的方法将 $4 + 2 \sqrt{3}$ 化成了 ${(1 + \sqrt{x})}^{2}$ ，则 $x =$ ， $\sqrt{4 + 2 \sqrt{3}} =$ ．

(2)、请运用小明的方法化简 $\sqrt{7 - 4 \sqrt{3}}$ ．

(3)、【拓展提升】
计算 $\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} + \sqrt{5 - 2 \sqrt{6}} + \sqrt{7 - 2 \sqrt{12}} + \sqrt{9 - 2 \sqrt{20}} + \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot + \sqrt{4049 - 2 \sqrt{2024 \times 2025}}$ ．

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = 6 c m$ ， $B C = 8 c m$ ，点 $O$ 以每秒 $1 c m$ 的速度由点 $A$ 向点 $C$ 运动 $($ 不与点 $C$ 重合 $)$ ，过点 $O$ 作直线 $M N ∥ B C$ ， $∠ B C A$ 的外角平分线 $C F$ 于点 $F$ ， $∠ A C B$ 的平分线 $C E$ 于点 $E .$ 设运动时间为 $t$ 秒．

(1)、发现：
①在点 $O$ 的运动过程中， $O E$ 与 $O F$ 的关系是    ▲         ，请写出理由．
②当 $t = 2$ 时， $E F =$     ▲         $c m$ ．

(2)、探究：当 $t =$     ▲        时，四边形 $A E C F$ 是矩形，并证明你的结论．

(3)、拓展：若点 $O$ 在运动过程中，能使四边形 $A E C F$ 是正方形，试写出线段 $A B$ 的长度． $($ 直接写出结论即可 $)$

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五、综合题

22. 如图，在▱ABCD中，点 $E$ 、 $F$ 在对角线 $B D$ 上，且 $B E = D F$ ．

求证：

(1)、 $Δ A B E$ ≌ $Δ C D F$ ；

(2)、四边形 $A E C F$ 是平行四边形．

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23. 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．

(1)、请用文字语言叙述三角形的中位线定理：三角形的中位线于第三边，且；

(2)、证明：三角形中位线定理．
已知：如图， $D E$ 是 $△ A B C$ 的中位线．
求证： ▲ ， ▲ ．
证明：

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24. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $D$ 、 $E$ 分别为 $A C$ 、 $B C$ 的中点，连接 $D E$ 并延长 $D E$ 至点 $F$ ，且 $D E = E F$ ，点 $P$ 为直线 $B C$ 上的一个动点．

(1)、求证：四边形 $B F C D$ 为菱形．

(2)、若 $A B = 6$ ，菱形 $B F C D$ 的面积为24，求 $D P + A P$ 的最小值．

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