湘教版2023-2024学年初中数学七年级下学期期中模拟测试卷 01

试卷更新日期：2024-04-13 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{3} \cdot a^{2} = a^{6}$ B、 ${(- a^{2})}^{3} = a^{6}$ C、 $a b^{2} \cdot 2 a^{2} b = 2 a^{3} b^{3}$ D、 ${(a b^{2})}^{2} = a b^{4}$

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2. 如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形.根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立?（）

A、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ B、 $a (a + b) = a^{2} + a b$ C、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ D、 $(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$

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3. 已知 ${\begin{array}{l} x = 2 \\ y = 1 \end{array}$ 是方程 $a x + b y = 7$ 的解，a，b是正整数，则 $a + b$ 的最大值是（）

A、8 B、6 C、4 D、3

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4. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房.设该店有客房x间、房客y人，下列方程组中正确的是（）

A、 ${\begin{array}{l} 7 x - 7 = y \\ 9 (x + 1) = y \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} 7 x + 7 = y \\ 9 (x + 1) = y \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} 7 x - 7 = y \\ 9 (x - 1) = y \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} 7 x + 7 = y \\ 9 (x - 1) = y \end{array}$

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5. 下列运算正确的是（）

A、 $2 a + 3 b = 5 a b$ B、 $(a - b)^{2} = a^{2} - b^{2}$ C、 ${(a b^{2})}^{3} = a^{3} b^{5}$ D、 $3 a^{3} \cdot (- 4 a^{2}) = - 12 a^{5}$

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6. 二元一次方程2x﹣y＝3的解可以是（）

A、 ${\begin{array}{l} x = 2 \\ y = 1 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x = 3 \\ y = 2 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x = - 1 \\ y = 1 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x = - 3 \\ y = - 4 \end{array}$

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7. 下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（）

A、 $4 x^{2} + 1$ B、 $9 a^{2} b^{2} - 3 a b + 1$ C、 $- x^{2} - y^{2}$ D、 $x^{2} - x + \frac{1}{4}$

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8. 用若干个形状，大小完全相同的长方形纸片围成正方形， $4$ 个长方形纸片围成如图 $1$ 所示的正方形，其阴影部分的面积为 $100$ ； $8$ 个长方形纸片围成如图 $2$ 所示的正方形，其阴影部分的面积为 $81$ ； $12$ 个长方形纸片围成如图 $3$ 所示的正方形，其阴影部分的面积为（）

A、 $24$ B、 $32$ C、 $49$ D、 $64$

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9. 若 $(a^{2} + b^{2} + 1) (a^{2} + b^{2} - 1) = 35$ ，则 $a^{2} + b^{2} =$ （　　）

A、3 B、6 C、 $\pm 3$ D、 $\pm 6$

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10. 如图，在长方形 $A B C D$ 中， $A B = 6 ， B C = 10$ ，其内部有边长为a的正方形 $A E F G$ 与边长为b的正方形 $H I J K$ ，两个正方形的重合部分也为正方形，且面积为5，若 $S_{2} = 5 S_{1}$ ，则正方形 $A E F G$ 与正方形 $H I J K$ 的面积之和为（）

A、29 B、25 C、 $\frac{49}{2}$ D、 $\frac{81}{4}$

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二、填空题

11. 计算： $118 \times 122 =$ ．

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12. 若 $m^{2} - n^{2} = 28$ ， $m + n = 7$ ，则 $m - n =$ ．

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13. 因式分解： $2 a^{3} - 8 a$ ＝.

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14. 若 $x^{2} - y^{2} = 12$ 且 $x - y = 2$ 则 $x + y =$ ．

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15. 若方程组 ${\begin{array}{l} 3 x + y = a + 1 \\ x + 3 y = 3 \end{array}$ 的解x，y满足 $x + y > 5$ ，则 $a$ 的取值范围为．

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16. 一个四位数n ，如果千位与十位上的数字之和等于百位与个位上的数字之和，则称n为“等和数”，将这个“等和数”反序排列（即千位与个位对调，百位与十位对调）得到一个新的四位数m ，记 $D (n) = \frac{n - m}{3 3^{2}}$ ，则D（1254）＝；若某个“等和数”n的千位与十位上的数字之和为8，D（n）为正数且能表示为两个连续偶数的平方差，则满足条件的最大“等和数”n是．

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三、解答题

17. 列方程组解应用题：
端午期间某超市销售价格相同的粽子与咸鸭蛋的组合礼品盒，甲种礼品每盒含12只粽子和4枚咸鸭蛋，售价72元；乙种礼品每盒含10只粽子和8枚咸鸭蛋，售价74元（礼品盒的价格忽略不计），问一只粽子和一枚咸鸭蛋各多少元？

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18. 如图①是一个长为 $2 a$ ，宽为 $2 b$ 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形，请解答下列问题：

(1)、图②中阴影部分的正方形的边长是；

(2)、用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积：
方法1： ▲ ；
方法2： ▲ ；
并写出二个代数式 $(a + b)^{2} ， (a - b)^{2} ， a b$ 之间的等量关系；

(3)、根据（2）中的等量关系，解决问题：若 $x + y = 10 ， x y = 16$ ，求 $x - y$ 的值；

(4)、根据（2）中的等量关系，直接写出 $m + \frac{1}{m}$ 和 $m - \frac{1}{m}$ 之间的关系；若 $m^{2} - 4 m + 1 = 0$ ，分别求出 $m^{2} + \frac{1}{m^{2}}$ 和 ${(m - \frac{1}{m})}^{2}$ 的值；

(5)、【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．根据图③，写出一个代数怛等式：；

(6)、已知 $a + b = 3 ， a^{3} + b^{3} = 18$ ，利用上面的规律求 $a b$ 的值．

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四、实践探究题

19. 阅读材料：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法：
①比较 $2^{a}$ ， $2^{b}$ 的大小：当 $a > b$ 时， $2^{a} > 2^{b}$ ，所以当同底数时，指数越大，值越大；

②比较 $3^{40}$ 和 $2^{60}$ 的大小：因为 $3^{40} = {(3^{2})}^{20} = 9^{20}$ ， $2^{60} = {(2^{3})}^{20} = 8^{20}$ ， $9 > 8$ 所以 $3^{40} > 2^{60}$ ．

可以将其先化为同指数，再比较大小，所以同指数时，底数越大，值越大．

根据上述材料，解答下列问题：

(1)、比较大小： $3^{20}$ $9^{15}$ （填“ $>$ ”或“ $<$ ”）

(2)、已知 $a = 3^{44}$ ， $b = 4^{33}$ ， $c = 5^{22}$ ，试比较 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小．

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20. 根据几何图形的面积关系可以说明数学等式，例如：（2a+b）（a+b）=2a²+3ab+b² ，可以用图①的面积关系来说明，由此我们识可以得到（2a+b）（a+b）-（2a²+b²）=3ab．

(1)、根据图②的面积关系可得：（2a+b）（a+2b）-（2a²+2b²）=；

(2)、有若干张如图③的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a，宽为b的长方形．并用这些纸片无缝隙无重叠地拼成了图④，图⑤，图⑥的图形，图④，图⑤，图⑥中的阴影部分面积分别记为S₁ ， S₂ ， S₃；
①S₁= ▲ ， S₂= ▲ ， S₃= ▲ （用含a， b的代数式表示）；
②若3S₂-S₁=108，S₃=9，求图⑥中大正方形的面积．

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21. 对于未知数为 $x$ ， $y$ 的二元一次方程组，如果方程组的解 $x$ ， $y$ 满足 $| x - y | = 1$ ，我们就说方程组的解 $x$ 与 $y$ 具有“邻好关系”.

(1)、方程组 ${\begin{array}{l} 2 x + 5 y = 26 \\ 4 x - 2 y = 4 \end{array}$ 的解 $x$ 与 $y$ $($ 项“具有”或“不具有” $)$ “邻好关系”；

(2)、若方程组 ${\begin{array}{l} 2 x - y = 6 \\ 4 x + y = 6 m \end{array}$ 的解 $x$ 与 $y$ 具有“邻好关系”，求 $m$ 的值；

(3)、未知数为 $x$ ， $y$ 的方程组 ${\begin{array}{l} x + a y = 7 \\ 2 y - x = 5 \end{array}$ ，其中 $a$ 与 $x$ ， $y$ 都是正整数，该方程组的解 $x$ 与 $y$ 是否具有“邻好关系”？如果具有，请求出 $a$ 的值及方程组的解；如果不具有，请说明理由.

(4)、【拓展】若一个关于 $x$ 的方程 $a x + b = 0 (a \neq 0)$ 的解为 $x = b - a$ ，则称之为“成章方程” $.$ 如： $a + \frac{1}{2} = 0$ 的解为 $x = - \frac{1}{2}$ ，而 $- \frac{1}{2} = \frac{1}{2} - 1$ ； $2 x + \frac{4}{3} = 0$ 的解为 $x = - \frac{2}{3}$ ，而 $- \frac{2}{3} = \frac{4}{3} - 2$ .
请直接写出关于 $y$ 的“成章方程”的解： $a (a - b) y + 2 = (b + \frac{1}{2}) y$ .
若关于 $x$ 的方程 $a x + b = 0 (a \neq 0)$ 为“成章方程”，请直接写出关于 $y$ 的方程的解： $a (a - b) y + 2 = (b + \frac{1}{2}) y$ .

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五、综合题

22. 已知某物流公司租用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；租用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨.该物流公司现有26吨货物，计划A型车a辆，B型车b辆，每辆车都载满货物，且恰好一次运完.

(1)、问租用1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？

(2)、为完成运输任务，且同时租用A型与B型两种车辆，请你帮该物流公司设计租车方案.

(3)、若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次.请写出最省钱的租车方案，并求出最少租车费.

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23. 小明使用比较简便的方法完成了一道作业题，如下框：
小明的作业
计算： $8^{5} \times {(- 0.125)}^{5}$ ．
解： $8^{5} \times {(- 0.125)}^{5}$
$= {(- 8 \times 0.125)}^{5}$
$= {(- 1)}^{5}$
$= - 1$ ．
请你参考小明的方法解答下列问题．
计算：

(1)、 $4^{2023} \times {(- 0.25)}^{2023}$ ；

(2)、 ${(\frac{12}{5})}^{2021} \times {(- \frac{5}{6})}^{2023} \times {(\frac{1}{2})}^{2022}$ ．

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24. 若x满足 $(9 - x) (x - 4) = 4$ ，求 $(4 - x)^{2} + (x - 9)^{2}$ 的值．
解：设 $9 - x = a ， x - 4 = b$ ，则 $(9 - x) (x - 4) = a b = 4 ， a + b = (9 - x) + (x - 4) = 5$

∴ ${(9 - x)}^{2} + {(x - 4)}^{2} = a^{2} + b^{2} = {(a + b)}^{2} - 2 a b = 5^{2} - 2 \times 4 = 17$ ．

请仿照上面的方法求解下面问题：

(1)、若x满足 $(5 - x) (x - 2) = 2$ ，求 $(5 - x)^{2} + (x - 2)^{2}$ 的值；

(2)、若x满足 $(6 - x) (3 - x) = 1$ ，求代数式 $(9 - 2 x)^{2}$ 的值；

(3)、已知正方形ABCD的边长为x、E、F分别是AD、DC上的点，且 $A E = 3 ， C F = 5$ ，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF作正方形，求阴影部分的面积．

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