2024年北师大版数学七（下）重难点培优训练7 三角形全等的判定与性质综合

试卷更新日期：2024-04-13 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 60 °$ ， $∠ A B C$ 和 $∠ A C B$ 的平分线 $B D$ 、 $C E$ 相交于点O， $B D$ 交 $A C$ 于点D， $C E$ 交 $A B$ 于点E，若已知 $△ A B C$ 周长为20， $B C = 7$ ， $A E ： A D = 5 ： 4$ ，则 $A D$ 长为（）

A、 $\frac{8}{3}$ B、3 C、 $\frac{10}{3}$ D、4

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2. 如图所示，在等边三角形 $A B C$ 内有一点D，连接 $A D$ 、 $B D$ ，以 $A D$ 为边做一个等边三角形 $A D E$ ，连接 $C E$ 、 $D C$ ，下列结论：① $∠ A B D = ∠ A C E$ ；② $B D = E C$ ；③若 $∠ A D B = 150 °$ ，则 $D E ⊥ E C$ ；④若B、D、C三点共线，则 $∠ D E C = 60 °$ ，其中正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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3. 如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB ， OC＝OD ， OA＜OC ， ∠AOB＝∠COD＝36°．连接AC ， BD交于点M ，连接OM ．下列结论：
①∠AMB＝36°，②AC＝BD ， ③OM平分∠AOD ， ④MO平分∠AMD ．其中正确的结论个数有（）个．

A、4 B、3 C、2 D、1

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4. 将一副三角板按如图放置，有下列结论：①若∠2=30°，则AC∥DE；
②∠BAE+∠CAD=180°；③若BC∥AD，则∠2=30°；④若∠CAD=150°，则

∠4=∠C.其中正确的是（）

A、①②④ B、①③④ C、②③④ D、①②③④

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5. 如图，AD∥BC，∠D＝∠ABC，点E是边DC上一点，连接AE交BC的延长线于点H，点F是边AB上一点，使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分线EG交BH于点G.若∠BEG＝40°，则∠DEH的度数为（　　）

A、50° B、75° C、100° D、125°

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二、填空题

6. 已知正方形 $A B C D$ 的边长 $A B = 6$ ，将正方形 $A B C D$ 沿过点 $A$ 的直线折叠，使点 $B$ 的对应点 $M$ 落在 $A C$ 上，展开正方形 $A B C D$ ，折痕为 $A E$ ，延长 $E M$ 交 $C D$ 于点 $F$ ，连接 $A F$ ．则 $∠ E A F =$ $°$ ， $B E$ 的长为．

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7. 如图，在△ABC中，AB＝BC ， BE、CF分别是AC、AB边上的高，在BE上取点D ，使BD＝CA ，在射线CF上取点G ，使CG＝BA ，连接AD、AG ，若∠DAE＝38°，∠EBC＝20°，则∠GAB＝°．

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8. 如图，已知 $∠ B = ∠ C$ ，从下列条件中选择一个，则可以证明 $△ O E B$ 全等于 $△ O D C$ ．① $A D = A E$ ，② $O B = O C$ ，③ $B D = C E$ ，④ $∠ B E O = ∠ C D O$ ，那么这个条件可以是（写出所有符合条件的序号）．

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9. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D$ ， $∠ B A D = 140^{\circ}$ ， $A B ⊥ C B$ 于点 $B$ ， $A D ⊥ C D$ 于点 $D$ ， $E$ 、 $F$ 分别是 $C B$ 、 $C D$ 上的点，且 $∠ E A F = 70^{\circ}$ ，下列说法正确的是.（填写正确的序号）
① $D F = B E$ ，② $Δ A D F ≌ Δ A B E$ ，③ $F A$ 平分 $∠ D F E$ ，④ $A E$ 平分 $∠ F A B$ ，⑤ $B E + D F = E F$ ，⑥ $C F + C E > F D + E B$ .

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三、综合题

10. 数学模型学习与应用：

(1)、【模型学习】：如图 $1$ ， $∠ B A D = 90 °$ ， $A B = A D$ ， $B C ⊥ A C$ 于点 $C$ ， $D E ⊥ A C$ 于点 $E .$ 由 $∠ 1 + ∠ 2 = ∠ 2 + ∠ D = 90 °$ ，得 $∠ 1 = ∠ D$ ；又 $∠ A C B = ∠ A E D = 90 °$ ，可以通过推理得到 $△ A B C$ ≌ $△ D A E$ ，进而得到 $A C =$ ， $B C =$ $.$ 我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型．

(2)、【模型应用】：如图 $2$ ， $△ A B C$ 为等边三角形， $B D = C F$ ， $∠ E D F = 60 °$ ，求证： $B E = C D$ ；

(3)、【模型变式】：如图 $3$ ，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ， $B E ⊥ C E$ 于点 $E$ ， $A D ⊥ C E$ 于点 $D$ ， $D E = 5 c m$ ， $A D = 8 c m$ ，则 $B E =$ ．

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11. 已知： $C D$ 是经过 $∠ B C A$ 的顶点C的一条直线， $C A = C B$ ． E、F是直线 $C D$ 上两点， $∠ B E C = ∠ C F A = ∠ α$ ．

(1)、若直线 $C D$ 经过 $∠ B C A$ 的内部， $∠ B C D > ∠ A C D$ ．
①如图1， $∠ B C A = 90 °$ ， $∠ α = 90 °$ ，直接写出 $B E$ ， $E F$ ， $A F$ 间的等量关系： ▲ ．
②如图2， $∠ α$ 与 $∠ B C A$ 具有怎样的数量关系，能使①中的结论仍然成立？写出 $∠ α$ 与 $∠ B C A$ 的数量关系，并对结论进行证明；

(2)、如图3，若直线 $C D$ 经过 $∠ B C A$ 的外部， $∠ α = ∠ B C A$ ， ①中的结论是否成立？若成立，进行证明；若不成立，写出新结论并进行证明．

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12. 如图1，已知点 $B 、 C 、 D$ 在同一直线上， $Δ A B C$ 和 $Δ C D E$ 都是等边三角形， $B E$ 交 $A C$ 于点F， $A D$ 交 $C E$ 于点H.

(1)、求出 $∠ A C E$ 的度数；

(2)、请在图1中找出一对全等的三角形，并说明全等的理由；

(3)、若将 $Δ C D E$ 绕点C转动如图2所示的位置，其余条件不变，（2）中的结论是否还成立，试说明理由.

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13. 在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点 $D$ 是直线 $B C$ 上一点，连接 $A D$ ，以 $A D$ 为边向右作 $△ A D E$ ，使得 $A D = A E$ ， $∠ D A E = ∠ B A C$ ，连接 $C E$ ．

(1)、如图 $1$ ，当点 $D$ 在 $B C$ 边上时，
①若 $∠ B A C = 40 °$ 时，则 $∠ D C E =$ ▲ $°$ ；
②若 $∠ B A C = 80 °$ 时，则 $∠ D C E =$ ▲ $°$ ；
③观察以上结果，猜想 $∠ B A C$ 与 $∠ D C E$ 的数量关系，并说明理由．

(2)、当点 $D$ 在 $B C$ 的延长线上时，请判断 $∠ B A C$ 与 $∠ D C E$ 的数量关系，并说明理由．

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14.

(1)、方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2），
①延长AD到M，使得DM＝AD；
②连接BM，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABM中；
③利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为AB﹣BM＜AM＜AB+BM，从而得到AD的取值范围是多少；

(2)、请你写出图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以证明．

(3)、深入思考：如图3，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，请直接利用（2）的结论，试判断线段AD与EF的数量关系，并加以证明．

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15. 如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC ，直线MN过点A且MN∥BC ，点D是直线MN上一点，不与点A重合．

(1)、若点E是图1中线段AB上一点，且DE=DA ，请判断线段DE与DA的位置关系，并说明理由；

(2)、请在下面的A ， B两题中任选一题解答．
A：如图2，在（1）的条件下，连接BD ，过点D作DP⊥DB交线段AC于点P ，请判断线段DB与DP的数量关系，并说明理由；
B：如图3，在图1的基础上，改变点D的位置后，连接BD ，过点D作DP⊥DB交线段CA的延长线于点P ，请判断线段DB与DP的数量关系，并说明理由．
我选择： ▲ ．

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16. 定理：三角形任意两边之和大于第三边．

(1)、如图1，线段 $A D$ ， $B C$ 交于点 $E$ ，连接 $A B$ ， $C D$ ，判断 $A D + B C$ 与 $A B + C D$ 的大小关系，并说明理由；

(2)、如图2， $O C$ 平分 $∠ A O B$ ， $P$ 为 $O C$ 上任意一点，在 $O A$ ， $O B$ 上截取 $O E = O F$ ，连接 $P E$ ， $P F$ ．求证： $P E = P F$ ；

(3)、如图3，在 $△ A B C$ 中， $A B > A C$ ， $P$ 为角平分线 $A D$ 上异于端点的一动点，求证： $P B - P C > B D - C D$ ．

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17. 已知点C为线段 $A B$ 上一点，分别以 $A C ， B C$ 为边在线段AB同侧作 $△ A C D$ 和 $△ B C E$ ，且 $C A = C D$ ． $C B = C E$ ， $∠ A C D = ∠ B C E$ ，直线 $A E$ 与 $B D$ 交于点F．

(1)、如图1，可得 $△ A C E ≌$ ；若 $∠ A C D = 60 °$ ，则 $∠ A F B =$ ．

(2)、如图2，若 $∠ A C D = a$ ，则 $∠ A F B =$ ．（用含a的式子表示）

(3)、设 $∠ A C D = a$ ，将图2中的 $△ A C D$ 绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在 $B D ， A E$ 中的一条线段上），如图3．试探究 $∠ A F B$ 与a的数量关系，并予以说明．

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四、实践探究题

18. 【向题情境】
课外数学兴趣小组活动时，老师提出了如下何题：

如图①， $△ A B C$ 中，若 $A B = 10$ ， $A C = 6$ ，求 $B C$ 边上的中线 $A D$ 的取值范围．

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 $A D$ 至点E，使 $D E = A D$ ，连接 $B E$ ，请根据小明的方法思考：

(1)、由已知和作图能得到 $△ A D C ≌ △ E D B$ ，依据是____．

A、 $S S S$ B、 $S A S$ C、 $A A S$ D、 $S S A$

(2)、由“三角形的三边关系”可求得 $A D$ 的取值范围是．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．

(3)、【初步运用】
如图②， $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线， $B E$ 交 $A C$ 于E，交 $A D$ 于F，且 $A E = E F$ ．若 $E F = 5$ ， $E C = 3$ ，求线段 $B F$ 的长．

(4)、【拓展提升】
如图③，在 $△ A B C$ 中，D为 $B C$ 的中点， $D E ⊥ D F$ 分别交 $A B ， A C$ 于点E，F．求证： $B E + C F > E F$ ．

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19.

(1)、如图 $①$ ，在四边形 $A B C D$ 中， $A B / / C D$ ，点 $E$ 是 $B C$ 的中点，若 $A E$ 是 $∠ B A D$ 的平分线，试判断 $A B$ ， $A D$ ， $D C$ 之间的等量关系．
解决此问题可以用如下方法：延长 $A E$ 交 $D C$ 的延长线于点 $F$ ，易证 $△ A E B$ ≌ $△ F E C$ 得到 $A B = F C$ ，从而把 $A B$ ， $A D$ ， $D C$ 转化在一个三角形中即可判断．
$A B$ ， $A D$ ， $D C$ 之间的等量关系；

(2)、问题探究：如图 $②$ ，在四边形 $A B C D$ 中， $A B / / C D$ ， $A F$ 与 $D C$ 的延长线交于点 $F$ ，点 $E$ 是 $B C$ 的中点，若 $A E$ 是 $∠ B A F$ 的平分线，试探究 $A B$ ， $A F$ ， $C F$ 之间的等量关系，并证明你的结论．

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20. 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图①， $△ A B C$ 中，若 $A B = 12$ ， $A C = 6$ ，求BC边上的中线AD的取值范围．

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使 $D E = A D$ ，连接BE．由此可证 $△ A D C ≌ △ E D B$ ，从而得到 $B E = A C = 6$ ，再根据 $△ A B E$ 三边关系得出AD取值范围.

(1)、小明解题过程中证出 $△ A D C ≌ △ E D B$ 的依据是____．

A、SAS B、SSS C、AAS D、HL

(2)、请参考小明的解题思路回答以下问题：
如图②，AD是 $△ A B C$ 的中线，BE交AC于E，交AD于F，且 $A E = E F$ ，若 $E F = 4$ ， $E C = 3$ ，求线段BF的长．

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21. 如图

(1)、【问题】如图①，在△ABC中，∠A＝74°，DB平分∠ABC，DC平分∠ACB．求∠D的度数，对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．
解：∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°（三角形内角和180° ）．
∴∠ABC+∠ACB＝      ▲            （等式性质）．
∵∠A＝74° （已知），
∴∠ABC+∠ACB＝      ▲            （等量代换）．
∵DB平分∠ABC（已知），
∴∠DBC＝ $\frac{1}{2}$ ∠ABC（角平分线的定义）．
同理，∠DCB＝      ▲            ；
∴ $∠ D B C + ∠ D C B = \frac{1}{2}$ （∠ABC+∠ACB）＝      ▲            （等式性质）．
∵∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，
∴∠D＝180°-（∠DBC+∠DCB）＝      ▲            （等式性质）．

(2)、【拓展】如图②，在△ABC中，∠A＝β，DB平分∠ABC，DC平分∠ACB．
则∠D＝（    ）．

(3)、【应用】如图③，在△ABC中，DB平分∠ABC，DC平分∠ACB，EB平分∠DBC，EC平分∠DCB．若∠E＝146°，则∠A＝．

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22. 【问题背景】
如图，已知 $△ A O B ≌ △ C O D$ ， $O D$ 与 $A B$ 交于点G， $O B$ 与 $C D$ 交于点E．

【问题提出】

(1)、如图1， $∠ A O D$ 与 $∠ C O B$ 的数量关系是： $∠ A O D$ $∠ C O B$ ；（填“ $>$ ”“ $<$ ”或“ $=$ ”）

(2)、【问题探究】如图1，判断 $B G$ 和 $D E$ 是否相等，并说明理由；

(3)、如图2，若 $O A = O B$ ，当A，O，C三点共线，且 $O B ⊥ C D$ 时，求 $∠ A O D$ 的度数．

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23. 【问题背景】
直线 $l ⊥ B C$ 于点 $B$ （即 $E B ⊥ B C$ ）， $∠ A C B = 90 °$ ，点 $D$ 为 $B C$ 的中点，一条光线从点 $A$ 射向点 $D$ ，反射后与直线 $l$ 交于点E， $∠ A D C = ∠ E D B$ ．

(1)、【问题再现】
如图1，试说明线段 $B E$ 与线段 $A C$ 的数量关系；

(2)、【问题推广】
如图2，连接 $A B$ 交 $D E$ 于点 $F$ ，连接 $F C$ 交 $A D$ 于点 $H$ ， $A C = B C$ ．试说明线段 $C F$ 与线段 $A D$ 的位置关系．

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24. 综合与探究：问题情景：如图1所示，已知，在△ABC中，AC＝BA，∠ACB＝90°，AD是△ABC的中线，过点C作CE⊥AD，垂足为M，且交AB于点E．

(1)、（探究一）小虎通过度量发现∠BCE＝∠CAD，请你帮他说明理由；

(2)、（探究二）小明在图中添加了一条线段CN，且CN平分∠ACB交AD于点N，如图2所示，即可得CN＝BE，符合题意吗？请说明理由；

(3)、（探究三）小刚在（2）的基础上，连接DE，如图3所示，又发现了一组全等三角形，你能发现吗？请找出来，并说明理由．

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