2024年北师大版数学七（下）重难点培优训练4 必考：平行线的证明和通过变量间的图象获取信息

试卷更新日期：2024-04-13 类型：复习试卷

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一、解答题

1. 完成下面的证明：
看图填空：已知如图， $A D ⊥ B C$ 于D， $E G ⊥ B C$ 于G， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，求证： $∠ E = ∠ 3$ ．

证明：∵ $A D ⊥ B C$ 于D， $E G ⊥ B C$ 于G（），

∴ $∠ A D C = 90 °$ ， $∠ E G C = 90 °$ （）．

∴ $∠ A D C = ∠ E G C$ （）．

∴ $A D ∥ E G$ （）．

∴ $∠ 1 = ∠$ ▲ （）， $∠ 2 = ∠$ ▲ （）．

又∵ $A D$ 平分 $∠ B A C$ （已知），

∴ $∠ 1 = ∠ 2$ （），

∴ $∠ E = ∠ 3$ （）．

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2. 完成下面的证明．如图，三角形ABC，D是边BC延长线上一点，过点C作射线CE，∠1＝∠A．求证：∠A+∠B+∠ACB＝180°．
证明：∵∠1＝∠A，
∴AB $∥$        ▲       （        ），
∴∠2＝       ▲  （        ）．
∵∠ACB+       ▲  +       ▲  ＝180°，
∴∠A+∠B+∠ACB＝180°．

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3. 完成证明并写出推理根据：如图， $E F$ $∥$ $A D$ ， $∠ 1 = ∠ 2$ ， $∠ B A C = 70 °$ ．将求 $∠ A G D$ 的过程填写完整．


解： $∵ E F$ $∥$ $A D ($ 已知)

$∴ ∠ 2 =$        ▲       （        ）

又 $∵ ∠ 1 = ∠ 2$ (已知)

$∴ ∠ 1 = ∠ 3$ （）

$∴ A B$ $∥$        ▲  （        ）

$∴ ∠ B A C +$        ▲   $= 180 °$ （        ）

$∵ ∠ B A C = 70 °$ (已知)

$∴ ∠ A G D =$        ▲  ．

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4. 完成下面的解题过程．
已知：如图， $∠ 1 = ∠ 2 = 40 °$ ， $M N$ 平分 $∠ B M E$ ，求 $∠ 3$ ．

解：∵ $∠ 1 = ∠ A M E$ （                ）
又∵ $∠ 1 = ∠ 2 = 40 °$
∴ $∠ 2 = ∠ A M E$
∴ $A B ∥ C D$ （                ）
∴ $∠$        ▲   $+ 3 = 180 °$ （                ）
∵ $∠ 1 + ∠ B M E = 180 °$
∴ $∠ B M E = 140 °$
∵ $M N$ 平分 $∠ B M E$
∴ $∠ B M N = \frac{1}{2} ∠ B M E = 70 °$
∴ $∠ 3 =$        ▲   $°$ ．

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5. 完成下面证明．
已知：如图， $∠ 1 = ∠ 2$ ， $∠ A = ∠ F$ ，求证： $∠ C = ∠ D$ ．
证明：∵ $∠ 1 = ∠ 2$ （已知）
且 $∠ 2 = ∠ 3$ （        ），
∴ $∠ 1 = ∠ 3$ （等量代换）．
∴ $B D ∥$        ▲  （同位角相等，两直线平行）．
∴ $∠ C = ∠ A B D$ （        ）．
∵ $∠ A = ∠ F$ （已知），
∴ $A C ∥ D F$ （        ）．
∴ $∠ D =$        ▲  （两直线平行，内错角相等）．
∴ $∠ C = ∠ D$ （等量代换）．

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6. 请将下列证明过程补充完整：已知：如图， $A C ∥ D F$ ，直线 $A F$ 分别直线 $B D 、 C E$ 相交于点G，H， $∠ 1 = ∠ 2$ ．

求证： $∠ C = ∠ D$ ．

证明：∵ $∠ 1 = ∠ 2$ （已知）

$∠ 1 = ∠ D G H$ （        ），

∴ $∠ 2 = ∠ D G H$ （        ），

∴       ▲   $∥$        ▲  （同位角相等，两直线平行），

∴ $∠ C =$        ▲  （两直线平行，同位角相等）

又∵ $A C ∥ D F$ （已知），

∴ $∠ D = ∠ A B G$ （        ），

∴ $∠ C = ∠ D$ （等量代换）．

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7. 完成证明并写出推理根据
如图，已知 $∠ 1 + ∠ 2 = 180 ° ， ∠ 3 = ∠ B$ ，求证 $∠ D E C + ∠ A C B = 180 °$ ，
证明：∵ $∠ 1 + ∠ 2 = 180 °$ （已知），
又∵ $∠ 1 + ∠ 4 = 180 °$ ，（       ）
∴ $∠ 2 =$        ▲  ，（       ）
∴ $A B ∥ E F$ ，（       ）
∴ $∠ 3 =$        ▲  ，（       ）
∵ $∠ 3 = ∠ B$ ，（       ）
∴ $∠ B = ∠ A D E$ ，（       ）
∴ $D E$ $∥$        ▲  ，（同位角相等，两直线平行），
∴ $∠ D E C + ∠ A C B = 180 °$ （       ）

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8. 完成下面推理过程．如图：已知 $∠ 1 = ∠ 2$ ， $∠ A = ∠ D$ ．求证： $∠ B = ∠ C$ ．
证明： $∵ ∠ 1 = ∠ 2$ （已知）
$∵ ∠ 1 = ∠ 3$ （       ）
$∴ ∠ 2 = ∠$ （       ）（等量代换）
∴ $A E ∥ F D$ （       ）
$∴ ∠ A = ∠$        ▲  （       ）
∵ $∠ A = ∠ D$ （       ）
$∴ ∠ D = ∠ B F D$   （       ）
$∴$        ▲   $∥ C D$ （       ）
$∴ ∠ B = ∠ C$ （       ）．

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9. 如图，AE平分∠BAC，∠CAE＝∠CEA．．求证： $A B ∥ C D$ ．

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10. 如图， $A B ⊥ B C$ ， $∠ 1$ 与 $∠ 2$ 互余， $∠ 2 = ∠ 3$ ．试说明 $B E$ 与 $D F$ 的位置关系，并证明你的结论．

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11. 如图， $∠ 1 + ∠ 2 = 180 °$ ， $∠ 3 = ∠ B$ ，求证： $D E ∥ B C$ ．

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12. 如图，已知AB $∥$ CD，射线 $A H$ 交 $B C$ 于点 $F$ ，交 $C D$ 于点 $D$ ，从 $D$ 点引一条射线 $D E$ ，若 $∠ B + ∠ C D E = 180 °$ ，求证： $∠ A F C = ∠ E D H$ ．

证明：∵AB $∥$ CD（已知）

∴ $∠ B =$        ▲  （两直线平行，内错角相等）

∵ $∠ B + ∠ C D E = 180 °$ （已知）

∴ $∠ B C D + ∠ C D E = 180 °$ （等量代换）

∴BC $∥$        ▲  （同旁内角互补，两直线平行）

∴       ▲   $= ∠ E D H$ （                    ）

∵       ▲   $= ∠ B F D$ （对顶角相等．）

∴ $∠ A F C = ∠ E D H$ （等量代换）

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13. 如图，直线 $A B ∥ C D$ ， $∠ 1 = 70 °$ ， $∠ D = 110 °$ ，求 $∠ B$ 的度数．阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）．
解：∵ $A B ∥ C D$ （已知），

∴ $∠ 1 =$              （两直线平行，内错角相等）

又∵ $∠ 1 = 70 °$ ， $∠ D = 110 °$ （已知），

∴ $∠ 1 + ∠ D = 180 °$ （等式的性质）．

∴ $∠ C + ∠ D = 180 °$ （                 ）

∴ $A C ∥ B D$ （                 ）

∴ $∠ B = ∠ 1$ （                ）

∴ $∠ B = 70 °$

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14. 中国联通在某地的资费标准为包月186元时，超出部分国内拨打0.36元/分，由于业务多，小明的爸爸打电话已超出了包月费．
下表是超出部分国内拨打的收费标准
时间/分
1
2
3
4
5
…
电话费/元
0.36
0.72
1.08
1.44
1.8
…
（1）这个表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？
（2）如果用x表示超出时间，y表示超出部分的电话费，那么y与x的表达式是什么？
（3）如果打电话超出25分钟，需付多少电话费？
（4）某次打电话的费用超出部分是54元，那么小明的爸爸打电话超出几分钟？

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二、综合题

15. 在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，如表是测得的弹簧的长度 $y$ 与所挂物体的质量 $x$ 的几组对应值：
所挂物体质量 $x / k g$
0
1
2
3
4
弹簧长度 $y / c m$
16
18
20
22
24

(1)、在这个表格中反映的是和两个变量之间的关系：是自变量，是因变量；

(2)、弹簧长度 $y (c m)$ 与所挂物体质量 $x (k g)$ 的关系式是；

(3)、若弹簧的长度为 $27 c m$ 时，此时所挂重物的质量是多少 $k g$ ？（在弹簧的允许范围内）

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16. 在日常生活中，我们经常要烧开水，下表是对烧水的时间与水的温度的记录：

时间（分）	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$	$13$
温度（ $℃$ ）	$25$	$29$	$32$	$43$	$52$	$61$	$72$	$81$	$90$	$98$	$100$	$100$	$100$

根据表格中的数据解答下列问题：

(1)、第5分钟，水的温度是

℃

，从第分钟开始，水的温度升高到

100 ℃

；

(2)、从第

4

分钟到第

9

分钟，水的温度升高了多少？

(3)、继续加热，请你估计在第

15

分钟时，水的温度是多少？随着加热时间的增加，水的温度是否会一直上升？

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17. 如图，反映了小明从家出发到超市购物以及从超市返回家的过程中，小明离家的距离与时间之间的关系：

(1)、小明在超市购物用了分钟；

(2)、小明往返途中一共用了多长时间？

(3)、小明从家到超市的平均速度是多少？

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18. 如图所示是一位病人的体温记录图，看图回答下列问题：

(1)、自变量是，因变量是．

(2)、这位病人的最高体温是摄氏度，最低体温是摄氏度．

(3)、他在这天12时的体温是摄氏度．

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19. 小王周末骑电动车从家出发去商场买东西，当他骑了一段路时，想起要买一本书，于是原路返回到刚经过的新华书店，买到书后继续前往商场，如图是他离家的距离与时间的关系示意图，请根据图中提供的信息回答下列问题：

(1)、小王在新华书店停留了多长时间？

(2)、买到书后，小王从新华书店到商场的骑车速度是多少米/秒？

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20. 小南一家到度假村度假，小南和妈妈坐公交车先出发，爸爸自驾车沿着相同的道路后出发，爸爸到达度假村后，发现忘了东西在家里，于是立即返回家里取，取到东西后又马上驾车前往度假村，（取东西的时间忽略不计），如下图是他们离家的距离 $s$ （ $k m$ ）与小南离家的时间 $t$ （ $h$ ）的关系图，请根据图回答下列问题：

(1)、图中的自变量是，因变量是，小南家到该度假村的距离是 $k m$

(2)、小南出发小时后爸爸驾车出发，爸爸驾车的平均速度为 $k m / h$

(3)、小南从家里到度假村的路途中，当他与爸爸相遇时，离家的距离是多少 $k m$ ？

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21. 小峰周末骑自行车到图书馆，他骑行一段时间后，发现钥匙丢了，于是原路返回．在等红绿灯的路口处找到了钥匙，便继续前往图书馆．小峰离家距离与所用时间的关系如图所示，请根据图中提供的信息回答下列问题：

(1)、图中自变量是；

(2)、小峰本次去图书馆一共用了分钟；在骑行过程中最快的速度米/分；

(3)、求小峰本次去图书馆骑过的所有路程和是多少米？

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22. 行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止（车速不超过

140 k m / h

），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表：

刹车时车速（km/h）	0	10	20	30	40	50	…
刹车距离（m）	0	2.5	5	7.5	10	12.5	…

(1)、自变量是，因变量是．

(2)、当刹车时车速为

40 k m / h

时，刹车距离是m．

(3)、该种型号汽车的刹车距离用

y (m)

表示，刹车时车速用

x (k m / h)

，根据上表反映的规律写出y与x之间的关系式．

(4)、你能否估计一下，该种车型的汽车在车速为

110 k m / h

的行驶过程中，前面有一汽车遇紧急情况急刹并停在距该车

31 m

的地方，该汽车会不会和前车追尾？请你说明理由．

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23. 如图，长方形 $A B C D$ 中，宽 $A B = 4$ ，点P沿着四边按B→C→D→A方向运动，开始以每秒m个单位匀速运动，a秒后变为每秒2个单位匀速运动，b秒后恢复原速匀速运动，在运动过程中， $△ A B P$ 的面积S与运动时间t的关系如图所示．

(1)、直接写出长方形的长＝，长方形的宽＝；

(2)、直接写出 $m =$ ， $a =$ ， $b =$ ；

(3)、当P点运动到BC中点时，有一动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿C→D→A运动，当一个点到达终点，另一个点也停止运动，设点Q运动的时间为x秒， $△ B P Q$ 的面积为y，求当 $2 \leq x \leq 4$ 时，y与x之间的关系式．

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24. 某次大型活动，组委会启用无人机航拍活动过程，在操控无人机时应根据现场状况调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题：

(1)、图中的自变量是，因变量是；

(2)、无人机在75米高的上空停留的时间是分钟；

(3)、在上升或下降过程中，无人机的速度为米/分；

(4)、图中a表示的数是；b表示的数是；

(5)、图中点A表示．

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25. 如图所示，小明家、食堂、图书馆在同一条直线上，小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家．如图反映了这个过程中，小明高家的距离y与时间x之间的对应关系．

根据图象回答下列问题：

(1)、食堂离小明家的距离是，小明从家到食堂用了分钟；

(2)、小明吃早餐用了分钟，小明读报用了分钟；

(3)、小明从图书馆回家的平均速度是多少？

(4)、小明从家到食堂和从食堂到图书馆哪段距离走得快？

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26. 疫情期间，全民检测，人人有责．安安小区某时段进行核酸检测，居民有序排队入场，医务人员开始检测后，现场排队等待检测人数

y (

人

)

与时间

x (

分钟

)

之间的关系式为

y = 10 x + b

，用表格表示为：

时间 $x$ /分钟	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$\dots$
等待检测人数 $y /$ 人	$50$	$60$	$70$	$80$	$90$	$100$	$110$	$\dots$

医务人员已检测的总人数(人)与时间(分钟)之间的关系如图所示：

(1)、如图所表示的关系中，自变量是，因变量；

(2)、图中点

A

表示的含义是　　；

(3)、关系式

y = 10 x + b

中，

b

的值为　　；

(4)、医务人员开始检测　　分钟后，现场排队等待检测人数与医务人员已检测的总人数相同；

(5)、如果该小区共有居民

800

人，那么医务人员全部检测完该小区居民共需　　分钟．

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27. 如图，是反映一辆出租车从甲地到乙地的速度与时间的关系图；根据图形，回答下列问题：

(1)、在这个变化过程中，自变量是什么？因变量是什么？

(2)、汽车从出发到最后停止共经过了多长时间？它的最高时速是多少？

(3)、汽车在哪段时间保持匀速行驶？速度是多少？

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28. 如图，它表示甲乙两人从同一个地点出发后的情况．到十点时，甲大约走了13千米．根据图象回答：

(1)、甲的出发时间是点．

(2)、到十点时，乙大约走了千米．

(3)、到十点为止，（甲、乙）的速度快．

(4)、两人最终相遇时间是点．

(5)、你能将图象中得到信息，编个故事吗？

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29. 如图，把一些相同规格的碗整齐地叠放在水平桌面上，这摞碗的高度与碗的数量的关系如下表：

碗的数量（个）

2

3

4

...

高度（ $c m$ ）

$10.2$

$11.4$

$12.6$

...

(1)、上表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？

(2)、若把6个这样的碗整齐地叠放在水平桌面上时，这摞碗的高度是多少？

(3)、用x（个）表示这摞碗的数量，用y（cm）表示这摞碗的高度，请表示出y与x的关系式；

(4)、这摞碗的高度是否可以为 $18.6 c m$ ，如果可以，求这摞碗的数量；如果不可以，请说明理由.

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30. 如图①，在 $△ A B E$ 中， $A D$ 是三角形的高，且 $A D = 6 c m$ ， E是一个动点，从点B向终点C运动，其速度与时间的变化关系如图②所示，已知 $B C = 6 c m$ ．

(1)、在点E的运动过程中，求 $△ A B E$ 的面积 $y (c m^{2})$ 与运动时间 $x (s)$ 之间的关系式；

(2)、当点E运动停止后，求 $△ A B E$ 的面积．

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所挂物体质量 $x / k g$	0	1	2	3	4
弹簧长度 $y / c m$	16	18	20	22	24

碗的数量（个）	2	3	4	...
高度（ $c m$ ）	$10.2$	$11.4$	$12.6$	...

时间/分	1	2	3	4	5	…
电话费/元	0.36	0.72	1.08	1.44	1.8	…