2024年北师大版数学七（下）重难点培优训练3 探索整式运算的规律

试卷更新日期：2024-04-13 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 计算： $2^{1} - 1 = 1$ ， $2^{2} - 1 = 3$ ， $2^{3} - 1 = 7$ ， $2^{4} - 1 = 15$ ， $\dots$ 归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测 $2^{2014} - 1$ 的个位数字是（）

A、 $1$ B、 $3$ C、 $7$ D、 $5$

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2. 观察下列各式及其展开式
（a+b）²＝a²+2ab+b²

（a+b）³＝a³+3a²b+3ab²+b³

（a+b）⁴＝a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴

（a+b）⁵＝a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵

……

请你猜想（2x﹣1）⁸的展开式中含x²项的系数是（）

A、224 B、180 C、112 D、48

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3. 观察： $(x - 1) (x + 1) = x^{2} - 1$ ，
$(x - 1) (x^{2} + x + 1) = x^{3} - 1$ ，

$(x - 1) (x^{3} + x^{2} + x + 1) = x^{4} - 1$ ，

$(x - 1) (x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1) = x^{5} - 1$ ， $⋯$

据此规律，求 $2^{2023} + 2^{2022} + 2^{2021} + ⋯ 2^{2} + 2 + 1$ 的个位数字是（）

A、1 B、3 C、5 D、7

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4. 计算 $(2 + 1) (2^{2} + 1) (2^{4} + 1) (2^{8} + 1) ⋯ (2^{64} + 1)$ ，结果的个位数字是（）

A、6 B、5 C、8 D、7

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5. 下列按一定规律排列的单项式： $x$ ， $- 2 x^{2}$ ， $3 x^{3}$ ， $- 4 x^{4}$ ， $5 x^{5}$ ， $- 6 x^{6}$ ，．．，第 $n$ 个单项式是（）

A、 $1^{n + 1} \cdot n \cdot x^{n}$ B、 $(- 1)^{n + 1} \cdot n x^{n + 1}$ C、 $(- 1)^{n + 1} \cdot n x^{n}$ D、 $(- 1)^{n} \cdot n \cdot x^{n}$

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6. 代数式 $2 (3 + 1) (3^{2} + 1) (3^{4} + 1) (3^{8} + 1) (3^{16} + 1) (3^{32} + 1)$ 的末尾数字是（）

A、0 B、1 C、6 D、8

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7. 如图所示的运算程序中，若开始输入的 $x$ 值为 $24$ ，我们发现第 $1$ 次输出的结果为 $12$ ，第 $2$ 次输出的结果为 $6$ ， ……，则第2023次输出的结果为（）

A、 $6$ B、 $3$ C、 $24$ D、 $12$

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8. 如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数字之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．若在“杨辉三角”中从第2行左边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：a₁＝1，a₂＝2．a₃＝3，a₄＝3，a₅＝6，a₆＝4，a₇＝10，a₈＝5…，则a₉₉+a₁₀₀的值为（　　）

A、1326 B、1327 C、1328 D、1329

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9. 观察：（x-1）（x+1）＝x²-1，（x-1）（x²+x+1）＝x³-1，（x-1）（x³+x²+x+1）＝x⁴-1，据此规律，当（x-1）（x⁵+x⁴+x³+x²+x+1）＝0时，代数式x²⁰²²-1的值为（）

A、1 B、0 C、1或-1 D、0或-2

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10. 观察下列等式：
①3²﹣1²＝2×4

②5²﹣3²＝2×8

③7²﹣5²＝2×12……

那么第n（n为正整数）个等式为（）

A、n²﹣（n﹣2）²＝2×（2n﹣2） B、（n＋1）²﹣（n﹣1）²＝2×2n C、（2n）²﹣（2n﹣2）²＝2×（4n﹣2） D、（2n＋1）²﹣（2n﹣1）²＝2×4n

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二、填空题

11. 观察下列各式：
$1 \times 5 + 4 = 3^{2}$ …………①，
$3 \times 7 + 4 = 5^{2}$ …………②，
$5 \times 9 + 4 = 7^{2}$ …………③，
……
探索以上式子的规律，试写出第n个等式：．

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12. 请先观察下列等式，再填空： $3^{2} - 1^{2} = 4 \times 2$ ， $4^{2} - 2^{2} = 4 \times 3$ ， $5^{2} - 3^{2} = 4 \times 4$ ， $6^{2} - 4^{2} = 4 \times 5$ ， …，通过观察归纳，写出第n个等式是：（n为正整数）

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13. 作一个正方形，设每边长为4a，将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为a的小正方形，得到图形如图（2）所示，再对图（2）的每个边做相同的变化，得到图形如图（3），如此连续作几次，便可得到一个绚丽多彩的雪花图案．如不断发展下去到第n个图形时，图形的面积（填写“会”或者“不会”）变化，图形的周长为．

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14. 观察：
$\begin{matrix} 1 \times 3 + 1 = 4 = 2^{2} \\ 2 \times 4 + 1 = 9 = 3^{2} \\ 3 \times 5 + 1 = 16 = 4^{2} \\ \begin{array}{l} 4 \times 6 + 1 = 25 = 5^{2} \\ \dots \end{array} \end{matrix}$
你发现了什么规律？根据你发现的规律，请你用含一个字母的等式将上面各式呈现的规律表示出来．．

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15. 为了求 $1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + \dots + 2^{100}$ 的值，可令 $S = 1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + \dots + 2^{100}$ ，则 $2 S = 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + \dots + 2^{101}$ ，因此 $2 S - S = 2^{101} - 1$ ，所以 $S = 2^{101} - 1$ ，即 $1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + \dots + 2^{100} = 2^{101} - 1$ ，仿照以上方法计算 $1 + 3 + 3^{2} + 3^{3} + \dots + 3^{n}$ 的值是 .

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三、综合题

16.

(1)、计算并观察下列各式填空：
$(x - 1) (x + 1) =$ $x^{2} - 1$ ；
$(x - 1) (x^{2} + x + 1) =$ $x^{3} - 1$ ；
$(x - 1) (x^{3} + x^{2} + x + 1) =$ ；

(2)、从上面的算式及计算结果，你发现了什么？请根据你发现的规律直接填写下面的空格：
$(x - 1)$ （） $= x^{6} - 1$ ；

(3)、利用你发现的规律计算： $(x - 1) (x^{7} + x^{6} + x^{5} + x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1) =$ ；

(4)、利用该规律计算： $1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + \dots + 2^{2021}$ 的值．

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17. 杨辉三角是一个由数字排列成等腰三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示 ${(a + b)}^{n}$ （此处 $n = 0$ ， $1$ ， $2$ ， $3$ ， $4$ ， $5$ ， $6$ ）的展开式中的系数，杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字 $1$ 组成的，而其余的数则是等于它“肩”上的两个数之和． $1$
$1$ $1$
$1$ $2$    $1$
$1$ $3$    $3$    $1$
$1$ $4$    $6$    $4$    $1$
$1$ $5$    $10$    $10$    $5$    $1$
$1$ $6$    $15$    $20$    $15$    $6$    $1$
${(a + b)}^{0} = 1$
${(a + b)}^{1} = a + b$
${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$
${(a + b)}^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$
${(a + b)}^{4} = a^{4} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + b^{4}$
${(a + b)}^{5} = a^{5} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + b^{5}$
${(a + b)}^{6} = a^{6} + 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} + 20 a^{2} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} + 6 a b^{5} + b^{6}$
上图的构成规律你看懂了吗？

(1)、请你直接写出 ${(a + b)}^{7} =$ ．

(2)、杨辉三角还有另一个特征
从第二行到第五行，每一行数字组成的数（如第三行为 $121$ ）都是上一行的数与积．

(3)、由此你可写出 $11^{5}$ = ．

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18. 阅读下面的材料并填空：
①（1﹣ $\frac{1}{2}$ ）（1+ $\frac{1}{2}$ ）＝1﹣ $\frac{1}{2^{2}}$ ，反过来，得1﹣ $\frac{1}{2^{2}}$ ＝（1﹣ $\frac{1}{2}$ ）（1+ $\frac{1}{2}$ ）＝ $\frac{1}{2}$ × $\frac{3}{2}$ ；
②（1﹣ $\frac{1}{3}$ ）（1+ $\frac{1}{3}$ ）＝1﹣ $\frac{1}{3^{2}}$ ，反过来，得1﹣ $\frac{1}{3^{2}}$ ＝（1﹣ $\frac{1}{3}$ ）（1+ $\frac{1}{3}$ ）＝ ▲ × ▲ ；
③（1﹣ $\frac{1}{4}$ ）（1+ $\frac{1}{4}$ ）＝1﹣ $\frac{1}{4^{2}}$ ，反过来，得1﹣ $\frac{1}{4^{2}}$ ＝ ▲ ＝ $\frac{3}{4} \times \frac{5}{4}$ ；
利用上面的材料中的方法和结论计算下题：
（1﹣ $\frac{1}{2^{2}}$ ）（1﹣ $\frac{1}{3^{2}}$ ）（1﹣ $\frac{1}{4^{2}}$ ）……（1﹣ $\frac{1}{201 6^{2}}$ ）（1﹣ $\frac{1}{201 7^{2}}$ ）（1﹣ $\frac{1}{201 8^{2}}$ ）.

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19. 阅读下列材料，完成相应的任务：

三角形数

古希腊著名数学家的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，．．．，这样的数称为“三角形数”，第n个“三角形数”可表示为： $1 + 2 + 3 + \cdot \cdot \cdot + n = \frac{n (n + 1)}{2}$ ．

发现：每相邻两个“三角形数”的和有一定的规律．如： $1 + 3 = 4$ ； $3 + 6 = 9$ ； $6 + 10 = 16$ ；…

(1)、第5个“三角形数”与第6个“三角形数”的和为；

(2)、第n个“三角形数”与第

(n + 1)

个“三角形数”的和的规律可用下面等式表示：+= ，请补全等式并说明它的正确性．

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20. 若a^m=aⁿ（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m=n．利用上面结论解决下面的问题：

(1)、若3^x×9^x×27^x=3¹² ，求x的值．

(2)、若x=5^m-3，y=4-25^m ，用含x的代数式表示y．

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21. 用“◇”和“☆”分别代表甲种植物和乙种植物，为了美化环境，采用如图所示的方案种植．

(1)、观察图形，寻找规律，并填写下表：
图序
①
②
③
④
⑤
⑥
◇
$1$
$4$
$9$
$25$
☆
$4$
$9$
$16$
$25$

(2)、求出第n个图形中甲种植物和乙种植物的株数；

(3)、是否存在一种种植方案，使得乙种植物的株数是甲种植物的株数的2倍？若存在，请你写出是第几个方案，若不存在，请说明理由．

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22. 观察下列各式：
$(x - 1) (x + 1) = x^{2} - 1$ ； $(x - 1) (x^{2} + x + 1) = x^{3} - 1$ ； $(x - 1) (x^{3} + x^{2} + x + 1) = x^{4} - 1$ ；
……
根据这一规律计算：

(1)、 $(x - 1) (x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1) =$ ， $(x - 1) (x^{n} + x^{n - 1} + x^{2} + ⋯ x + 1) =$ ；

(2)、 $2^{2022} + 2^{2021} + 2^{2020} + \dots + 2^{2} + 2 + 1$ ；

(3)、 $3^{2022} - 3^{2021} + 3^{2020} - 3^{2019} + \dots + 3^{2} - 3 + 1$ .

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23. 我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a＋b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．例如：（a＋b）⁰＝1，它只有一项，系数为1；（a＋b）¹＝a＋b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；（a＋b）²＝a²＋2ab＋b² ，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；（a＋b）³＝a³＋3a²b＋3ab²＋b³ ，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；…
根据以上规律，解答下列问题：

(1)、（a＋b）⁴展开式共有项，系数分别为；

(2)、（a＋b）n展开式共有项，系数和为；

(3)、计算： $2^{5} + 5 \times 2^{4} + 10 \times 2^{3} + 10 \times 2^{2} + 5 \times 2 + 1 .$

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24. 认真阅读材料，然后回答问题：
我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：（a+b）¹=a+b，（a+b）²=a²+2ab+b² ，（a+b）³=（a+b）²（a+b）=a³+3a²b+3ab²+b³ ， …
下面我们依次对（a+b）ⁿ展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式：
上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：

(1)、多项式（a+b）ⁿ的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数；

(2)、请你预测一下多项式（a+b）ⁿ展开式的各项系数之和．

(3)、结合上述材料，推断出多项式（a+b）ⁿ（n取正整数）的展开式的各项系数之和为S，（结果用含字母n的代数式表示）．

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25. 对于一些较为复杂的问题，可以先从简单的情形入手，然后归纳出一些方法，再解决复杂问题．

(1)、【简单问题】化简
$(x - 1) (x + 1) =$ ；

(2)、 $(x - 1) (x^{2} + x + 1) =$ ；

(3)、 $(x - 1) (x^{3} + x^{2} + x + 1) =$ ；

(4)、【复杂问题】化简
$(x - 1) (x^{2023} + x^{2022} + x^{2021} + ⋯ + x + 1) =$ ；

(5)、【方法应用】计算
$2^{2023} + 2^{2022} + 2^{2021} + ⋯ + 2 + 1$ ．

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26. 如图所示，图甲由长方形①，长方形②组成，图甲通过移动长方形②得到图乙．

(1)、 $S_{甲} =$ ， $S_{乙} =$ （用含a、b的代数式分别表示）；

(2)、利用（1）的结果，说明 $a^{2}$ 、 $b^{2}$ 、 $(a + b) (a - b)$ 的等量关系：

(3)、应用所得的公式计算： $(1 - \frac{1}{2^{2}}) (1 - \frac{1}{3^{2}}) (1 - \frac{1}{4^{2}}) \dots (1 - \frac{1}{9 9^{2}}) (1 - \frac{1}{10 0^{2}})$

(4)、如图丙，现有一块如图丙尺寸的长方形纸片，请通过对它分割，再对分割的各部分移动，组成新的图形，画出图形，利用图形说明 $(a + b)^{2}$ 、 $(a - b)^{2}$ 、 $a b$ 三者的等量关系．

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图序	①	②	③	④	⑤	⑥
◇	$1$	$4$	$9$		$25$
☆	$4$	$9$	$16$	$25$