浙江省杭州市西湖区公益中学2023-2024学年八年级下学期3月月考数学试题

试卷更新日期：2024-04-12 类型：月考试卷

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一、选择题（每题3分，共24分）

1. 要使二次根式 $\sqrt{x + 3}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x > - 3$ B、 $x \geq - 3$ C、 $x \neq - 3$ D、 $x \leq - 3$

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2. 若方程 $□ - 3 = x$ 是关于 $x$ 的一元二次方程，则“ $□$ ”可以是（）

A、 $- 2 x$ B、 $2^{2}$ C、 $2 x^{2}$ D、 $y^{2}$

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3. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{9} = \pm 3$ B、 $\sqrt{8} + \sqrt{2} = \sqrt{10}$ C、 $\sqrt{{(- 5)}^{2}} = 5$ D、 $\sqrt{6} \div 2 = \sqrt{3}$

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4. 某校“啦啦操”兴趣小组共有50名学生，她们的年龄分布如下表：
年龄/岁
12
13
14
15
人数
5
23
■
■
由于表格污损，14岁、15岁人数看不清，则下列关于年龄的统计量可以确定的是（）．

A、平均数、众数 B、众数、中位数 C、平均数、中位数 D、中位数、方差

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5. 若一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则该多边形的边数为（）

A、6 B、7 C、9 D、8

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6. 估计 $\sqrt{5} \times (2 - \sqrt{\frac{1}{5}})$ 的值应在（）

A、2到3之间 B、3到4之间 C、4到5之间 D、5到6之间

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7. 某品牌新能源汽车2020年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2022年的销售量比2020年增加了 $31.2$ 万辆．如果设从2020年到2022年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x ，那么可列出方程是（）

A、 $20 (1 + 2 x) = 31.2$ B、 $20 (1 + 2 x) - 20 = 31.2$ C、 $20 {(1 + x)}^{2} = 31.2$ D、 $20 {(1 + x)}^{2} - 20 = 31.2$

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8. 已知关于 $x$ 的方程 $a (x - m) x = x - m$ 有两个相等的实数根，若 $M = a ^{2} - 2 a m$ ， $N = 4 a m - \frac{1}{m ^{2}}$ ，则 $M$ 与 $N$ 的关系正确的是（）

A、 $M + N = 2$ B、 $M + N = - 2$ C、 $2 M + N = 0$ D、 $M + N = 0$

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二、填空题（每题3分共24分）

9. 当 $x = 2$ 时，二次根式 $\sqrt{2 + 7 x}$ 的值是．

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10. 小聪这学期的数学平时成绩90分，期中考试成绩80分，期末考试成绩82分，计算总评成绩的方法：平时成绩 $:$ 期中成绩 $:$ 期末成绩 $= 3 : 3 : 4$ ，则小聪总评成绩是分．

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11. 实数a ， b在数轴上的位置如图所示，化简 $| a + 1 | - \sqrt{{(b - 1)}^{2}} + \sqrt{{(a - b)}^{2}} =$ ．

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12. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $m x^{2} + 4 x - 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $m$ 的取值范围是．

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13. 为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间”的要求，学校要求学生每天坚持体育锻炼，小亮记录了自己一周七天校外锻炼的时间（单位：分钟），并制作了如下所示的统计图：
则小亮这七天校外锻炼时间的中位数是分钟．

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14. 如图，一座水库大坝的横断面为梯形 $A B C D$ ，斜坡 $A B = 8 m$ ，现将坡度为 $1 : \sqrt{3}$ 的斜坡 $A B$ 改为坡度为 $1 : 2$ 的斜坡 $A P$ ．则新坡面 $A P =$ $m$ ．（结果保留根号）

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15. 欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程x²+ax＝b²的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程x²+x﹣1＝0的一个正根.如图，一张边长为1的正方形的纸片ABCD，先折出AD，BC的中点E，F，再沿过点A的直线折叠使AD落在线段AF上，点D的对应点为点H，折痕为AG，点G在边CD上，连接GH，GF，线段BF、DG、CG和GF中，长度恰好是方程x²+x﹣1＝0的一个正根的线段为.

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16. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $(x - 2) (x - 3) = m$ 有实数根 $α$ 和 $β$ ，且 $α \neq β$ ，有下列结论：① $α = 2, β = 3$ ， ② $m > - \frac{1}{4}$ ， ③方程 $(x - α) (x - β) + m = 0$ 的解为 $x_{1} = 2, x_{2} = 3$ ．其中正确结论是．

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三、解答题（8题，共72分）

17. 计算

(1)、 $\frac{1}{4} \sqrt{18} \times 8 \sqrt{\frac{1}{36}} \div \frac{2}{3} \sqrt{4 \frac{1}{2}}$

(2)、 ${(2 + \sqrt{3})}^{2} - {(2 - \sqrt{3})}^{2}$

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18. 解方程：

(1)、 $2 x ^{2} - 9 x + 8 = 0$ ；

(2)、 $2 x + 6 = (x + 3) ^{2}$ ；

(3)、 $(x + 1) (x - 3) = - 4$ ．

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19. 某校举办国学知识竞赛，设定满分10分，学生得分均为整数.在初赛中，甲、乙两组（每组10人）学生成绩如下（单位：分）
甲组：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10.
乙组：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10.
组别
平均数
中位数
众数
方差
甲组
7
$a$
6
2.6
乙组
$b$
7
$c$
${S_{乙}}^{2}$

(1)、以上成绩统计分析表中 $a =$ ， $b =$ ， $c =$ ；

(2)、小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属中游略偏上!”观察上面表格判断，小明可能是组的学生；

(3)、从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加决赛，应选哪个组？并说明理由.

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20. 阅读材料，并解决问题：定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．
如：将 $\frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$ 分母有理化，解：原式 $= \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{(\sqrt{3} - \sqrt{2}) (\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$ ．
运用以上方法解决问题：
已知： $m = \frac{1}{3 + \sqrt{7}}$ ， $n = \frac{1}{3 - \sqrt{7}}$ ．

(1)、化简m ， n；

(2)、求 $m^{2} + m n + n^{2}$ 的值．

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21. 已知关于 $x$ 的方程 $(m^{2} - 4 m + 5) x^{2} - 4 x + n = 0$ ．

(1)、老张说：该方程一定为一元二次方程．老张的结论正确吗？请说明理由．

(2)、当 $m = 2$ 时，若该方程的两个实数解分别为 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ ，满足 $(x_{1} - 2) ^{2} + (x_{2} - 2) ^{2} + n ^{2} = 23$ ，求 $n$ 的值．

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22. 在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 5 c m$ ， $B C = 6 c m$ ，点 $P$ 从点 $A$ 开始沿边 $A B$ 向终点 $B$ 以 $1 c m / s$ 的速度移动；与此同时，点 $Q$ 从点 $B$ 开始沿边 $B C$ 向终点 $C$ 以 $2 c m / s$ 的速度移动，如果 $P$ ， $Q$ 分别从 $A$ ， $B$ 同时出发，当点 $Q$ 运动到点 $C$ 时，两点停止运动．设运动时间为 $t$ 秒．

(1)、填空： $B Q =$ $c m$ ， $P B =$ $c m$ （用含 $t$ 的代数式表示）；

(2)、当 $t$ 为何值时， $P Q$ 的长度等于 $5 c m$ ？

(3)、是否存在 $t$ 的值，使得五边形 $A P Q C D$ 的面积等于 $26 c m^{2}$ ？若存在，请求出此时 $t$ 的值；若不存在，请说明理由．

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23. 根据以下素材，探索完成任务．

如何设计实体店背景下的网上销售价格方案？
素材1	某公司在网上和实体店同时销售一种自主研发的小商品，成本价为40元/件．
素材2	据调查，该商品的网上销售价为60元/件时，平均每天销售量是200件，而销售价每降低 $x$ 元 $(0 \leq x \leq 20)$ ，平均每天就可以多售出 $20 x$ 件．
素材3	该公司在实体店的销售价定为80元/件．据调查，该实体店的销售受网上影响，其销售量为 $(100 - 2 x)$ 件．
问题解决
任务1	确定模型	求网上每天销售该商品的毛利润 $y$ （元）关于 $x$ 的表达式．
任务2	探究销售方案	若该公司网上每天销售该商品的毛利润为4500元，那么网上销售的价格应定为多少元？
任务3	拟定最优方案	当该小商品的网上销售价是每件多少元时，该公司每天销售这种小商品的总毛利润最大？（总毛利润=网上毛利润+实体店毛利润）最大总毛利润是多少？

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24. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} + a x + b = 0 (b \neq 0)$ 与 $x^{2} + c x + d = 0$ 都有实数根，若这两个方程有且只有一个公共根，且 $a b = c d$ ，则称它们互为“同根轮换方程”．如 $x^{2} - x - 6 = 0$ 与 $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ 互为“同根轮换方程”．

(1)、方程 $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ 与 $x^{2} - 2 x + 6 = 0$ 互为“同根轮换方程”吗？

(2)、若关于 $x$ 的方程 $x^{2} + 4 x + m = 0$ 与 $x^{2} - 6 x + n = 0$ 互为“同根轮换方程”，求 $m$ 的值；

(3)、已知方程①： $x^{2} + a x + b = 0$ 和方程②： $x^{2} + 2 a x + \frac{1}{2} b = 0$ ， $p$ 、 $q$ 分别是方程①和方程②的实数根，且 $p \neq q, b \neq 0$ ．试问方程①和方程②是否能互为“同根轮换方程”？如果能，用含 $a$ 的代数式分别表示 $p$ 和 $q$ ；如果不能，请说明理由．

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组别	平均数	中位数	众数	方差
甲组	7	$a$	6	2.6
乙组	$b$	7	$c$	${S_{乙}}^{2}$

年龄/岁	12	13	14	15
人数	5	23	■	■

浙江省杭州市西湖区公益中学2023-2024学年八年级下学期3月月考数学试题

一、选择题（每题3分，共24分）

二、填空题（每题3分共24分）

三、 解答题（8题，共72分）

三、解答题（8题，共72分）