浙江省湖州市长兴县龙山共同体2023-2024学年七年级下学期3月月考数学试题

试卷更新日期：2024-04-12 类型：月考试卷

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一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）

1. 下列方程是二元一次方程的是（）

A、 $x + y = 2$ B、 $x + 2 y$ C、 $\frac{1}{x} + y = 0$ D、 $x^{2} + 2 y = 1$

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2. 下列图形中，由 $∠ 1 = ∠ 2$ 能得到 $A B ∥ C D$ 的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列说法正确的是（）

A、两点之间，直线最短 B、不相交的两条直线叫做平行线 C、平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D、直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离

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4. 小亮用28元钱买了甲、乙两种水果，甲种水果每千克4元，乙种水果每千克6元，且乙种水果比甲种水果少买了2千克，求小亮两种水果各买了多少千克？设小亮买了甲种水果x千克，乙种水果y千克，则可列方程组为（）

A、 ${\begin{matrix} 4 x + 6 y = 28 \\ x = y + 2 \end{matrix}$ B、 ${\begin{matrix} 4 y + 6 x = 28 \\ x = y + 2 \end{matrix}$ C、 ${\begin{matrix} 4 x + 6 y = 28 \\ x = y - 2 \end{matrix}$ D、 ${\begin{matrix} 4 y + 6 x = 28 \\ x = y - 2 \end{matrix}$

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5. 将方程 $3 x - 4 y = 5$ 变形为用含 $x$ 的代数式表示 $y$ 为（）

A、 $y = \frac{3 x - 5}{4}$ B、 $y = \frac{3 x + 5}{4}$ C、 $y = \frac{- 3 x + 5}{4}$ D、 $y = \frac{- 3 x - 5}{4}$

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6. 如图，直线 $D E ∥ F G, R t △ A B C$ 的顶点B ， C分别在 $D E, F G$ 上，若 $∠ B C F = 25 °$ ，则 $∠ A B E$ 的大小为（）

A、 $55 °$ B、 $25 °$ C、 $65 °$ D、 $75 °$

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7. 如图， $A B C D$ 为一条长方形纸带， $A B ∥ C D$ ，将 $A B C D$ 沿 $E F$ 折叠，A ， D两点分别与 $A ′$ ， $D ′$ 对应，若 $∠ C F E = 70 °$ ，则 $∠ B E A^{'}$ 的度数是（）

A、 $20 °$ B、 $30 °$ C、 $40 °$ D、 $50 °$

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8. 在一定范围内弹簧的长度 $x (c m)$ 与它所挂物体的重量 $y (g)$ 之间满足关系式 $y = k x + b$ ．已知挂重为 $50 g$ 时，弹簧长 $12.5 c m$ ；挂重为 $200 g$ 时，弹簧长 $20 c m$ ；那么当弹簧长 $15 c m$ 时，挂重为（）

A、 $80 g$ B、 $100 g$ C、 $120 g$ D、 $150 g$

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9. 如图，正方形 $A B C D$ 由四个相同的大长方形、四个相同的小长方形以及一个小正方形组成，其中四个大长方形的长和宽分别是小长方形长和宽的3倍，若中间小正方形的面积为1，则大正方形 $A B C D$ 的面积是（）

A、25 B、36 C、49 D、81

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10. 如图， $A B / / C D$ ，点E为 $A B$ 上方一点， $F B ， C G$ 分别为 $∠ E F G ， ∠ E C D$ 的角平分线，若 $∠ E + 2 ∠ G = 210 °$ ，则 $∠ E F G$ 的度数为（）

A、 $140 °$ B、 $150 °$ C、 $130 °$ D、 $160 °$

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二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）

11. 解二元一次方程组 ${\begin{array}{l} 2 x + 3 y = 2 ① \\ x - 3 y = 5 ② \end{array}$ 时，小华用加减消元法消去未知数y ，按照他的思路，用①+②得到的方程是．

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12. 如图， $A B ∥ C D$ ， $B C ∥ D E$ ，若∠B＝72°，则∠D的度数是.

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13. 如图，在一块长为 $10 m$ ，宽为 $7 m$ 的长方形草地上，有一条路宽为 $1 m$ 的小路，这块草地的绿地面积为 $m^{2}$ ．

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14. 如果单项式 $3 x^{a + 3} y^{2 b + 10}$ 与 $- 6 x^{1 - b} y^{4 - a}$ 能合并成一个单项式，那么 $a =$ ， $b =$ ．

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15. 已知：如图，点D是射线AB上一动点，连接CD，过点D作 $D E ∥ B C$ 交直线AC于点E，若 $∠ A B C = 84 °$ ， $∠ C D E = 20 °$ ，则 $∠ A D C$ 的度数为．

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16. 数学课上，老师出示关于x，y的方程组 ${\begin{array}{l} 3 x - 5 y = 2 a \\ x - 2 y = a - 5 \end{array}$ ，让学生以小组形式展开讨论．展示环节有下列结论：①当 $a = 10$ 时，方程组的解是 ${\begin{array}{l} x = 15 \\ y = 5 \end{array}$ ；②当x，y的值互为相反数时， $a = 20$ ；③不存在一个实数a使得 $x = y$ ；④若 $x - 3 a = 5$ ，则 $a = 5$ ．上述结论中正确的个数有个．

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三、解答题（本题有8小题，共66分）

17. 解方程组

(1)、 ${\begin{array}{l} 2 x - y = 3 \\ x + y = 6 \end{array}$

(2)、 ${\begin{array}{l} \frac{x}{2} - \frac{y + 1}{3} = 1 \\ 3 x + 2 y = 10 \end{array}$

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18. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，三角形 $A B C$ 的顶点，点 $A_{1}$ 都在正方形网格的格点上.

(1)、平移三角形 $A B C$ ，使点A与 $A_{1}$ 重合，画出平移后得到的三角形 $A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、连接 $A A_{1}$ ， $C C_{1}$ ，则线段 $A A_{1}$ 与 $C C_{1}$ 的关系是；

(3)、四边形 $A A_{1} C_{1} C$ 的面积是（平方单位）.

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19. 已知：如图， $∠ 1 = ∠ 2$ ， $∠ 3 = ∠ E$ ，试说明： $∠ A = ∠ E B C$ （请按图填空，并补充理由）：
证明： $∵ ∠ 1 = ∠ 2$ （已知），
$∴$     ▲         $∥$     ▲         ，（               ）
$∴ ∠ E = ∠$         ，（两直线平行，内错角相等）
又 $∵ ∠ E = ∠ 3$ （已知）
$∴ ∠ 3 = ∠$     ▲         ，（等量代换）
$∴$     ▲         $∥$     ▲         ，（内错角相等，两直线平行）
$∴ ∠ A = ∠ E B C$ ．（               ）

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20. 我们定义一个新运算，规定： $a ※ b = 4 a - 3 b$ ，例如： $5 ※ 6 = 4 \times 5 - 3 \times 6 = 2$ ．若 $x ※ y = 1$ ， $x ※ 2 y = - 2$ ，分别求出x和y的值．

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21. 如图， $∠ 1 = ∠ B D C$ ， $∠ 2 + ∠ 3 = 180 °$ ．

(1)、 $A D$ 与 $E C$ 平行吗？试说明理由；

(2)、若 $D A$ 平分 $∠ B D C$ ， $C E ⊥ A E$ 于点 $E$ ， $∠ 1 = 80 °$ ，求 $∠ F A B$ 的度数．

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22. 某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱（加工时接缝材料不计）．

(1)、若该厂购进正方形纸板1500张，长方形纸板3000张，问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完；

(2)、该工厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板80张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且 $150 < a < 171$ ，试求在这一天加工两种纸盒时，a的所有可能值．

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23. 综合与实践
问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：
解方程组： ${\begin{array}{l} \frac{4 x + 3 y}{3} + \frac{6 x - y}{8} = 8 \\ \frac{4 x + 3 y}{6} + \frac{6 x - y}{2} = 11 \end{array}$ ．

(1)、观察发现：如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的 $(4 x + 3 y)$ 看成一个整体，把 $(6 x - y)$ 看成一个整体，通过换元，可以解决问题．
设 $4 x + 3 y = m$ ， $6 x - y = n$ ，则原方程组可化为，解关于m，n的方程组，得 ${\begin{array}{l} m = 18 \\ n = 16 \end{array}$ ，
所以 ${\begin{array}{l} 4 x + 3 y = 18 \\ 6 x - y = 16 \end{array}$ ，解方程组，得．

(2)、探索猜想：运用上述方法解下列方程组： ${\begin{array}{l} 3 (2 x + y) - 2 (x - 2 y) = 26 \\ 2 (2 x + y) + 3 (x - 2 y) = 13 \end{array}$ ．

(3)、拓展延伸：已知关于x，y的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{array}$ 的解为 ${\begin{array}{l} x = 4 \\ y = - 3 \end{array}$ ，求关于x，y的方程组 ${\begin{array}{l} 2 a_{1} x + 3 b_{1} y = 5 c_{1} \\ 2 a_{2} x + 3 b_{2} y = 5 c_{2} \end{array}$ 的解．

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24. 钱塘江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况.如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视.若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣3b|+（a+b﹣4）²＝0.假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°.

(1)、求a、b的值；

(2)、若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？

(3)、如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前，若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围.

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