陕西省咸阳市秦都区咸阳市秦都中学2023-2024学年七年级下学期月考数学试题

试卷更新日期：2024-04-12 类型：月考试卷

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一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）

1. 某科学家研究发现人类头发的直径是0.0008分米．将0.0008用科学记数法表示为（）

A、 $0.8 \times 1 0^{- 3}$ B、 $8 \times 1 0^{- 3}$ C、 $8 \times 1 0^{- 4}$ D、 $8 \times 1 0^{4}$

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2. 下列各图中， $∠ 1$ 与 $∠ 2$ 是对顶角的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 计算： ${(- 2 x y^{2})}^{2}$ 的结果是（）

A、 $- 2 x^{2} y^{4}$ B、 $2 x^{2} y^{4}$ C、 $- 4 x^{2} y^{4}$ D、 $4 x^{2} y^{4}$

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4. 下列说法中：①同角或等角的补角相等；②过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线；③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④从直线外一点到这条直线的垂线，叫做点到直线的距离，正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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5. 已知 $9^{m} \div 3^{2 m - 2} = 3^{n}$ ，则n的值是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 如图，已知直线 $A B$ 和 $C D$ 相交于点 $O, O E ⊥ C D, O F$ 平分 $∠ B O E ， ∠ A O C = 18 °$ ，则 $∠ D O F$ 的度数为（）

A、 $36 °$ B、 $45 °$ C、 $52 °$ D、 $54 °$

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7. 已知 $2^{x} = 3 ， 2^{y} = 6 ， 2^{z} = 12$ ，则下列给出 $x, y, z$ 之间的数量关系式中，错误的是（）

A、 $x + z = 2 y$ B、 $x + y + 3 = 2 z$ C、 $4 x = z$ D、 $x + 1 = y$

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8. 如图，四边形 $A B C D$ 是长方形，四边形 $A B M N$ 是面积为15的正方形，点M、N分别在 $B C 、 A D$ 上，点E、F在 $M N$ 上，点G、H在 $C D$ 上，且四边形 $E F G H$ 是正方形，连接 $A E 、 D E 、 B F 、 C F$ ，若图中阴影部分的总面积为6，则正方形 $E F G H$ 的面积为（）

A、6 B、5 C、4 D、3

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二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）

9. 若 $3^{- n} = \frac{1}{27}$ ，则 $n =$ ．

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10. 如图，点M ， N处各安装一个路灯，点P处竖有一广告牌，测得 $P M = 7 m ， P N = 5 m$ ，则点P到直线 $M N$ 的距离可能为m．

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11. 若 $□ \cdot (- 3 x y^{2}) = - 6 x^{2} y^{3}$ ，则□内应填的代数式是．

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12. 给等式中的某些字母赋予一定的特殊值，可以解决一些问题．比如对于等式 ${(x + 3)}^{2} = a x^{2} + b x + c$ ，当 $x = 0$ 时，可得 $3^{2} = c$ ，计算得 $c = 9$ ；请你再给x赋不同的值，可计算得 $4 a + 2 b =$ ．

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13. 如图，若将三个含 $45 °$ 的直角三角板的直角顶点重合放置，若 $∠ 2 = 25 °$ ， $∠ 3 = 35 °$ ，则 $∠ 1$ 的度数为 $°$ ．

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三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）

14. 计算： ${(\frac{1}{2})}^{- 3} \div (- 2) + | - 3 | - 202 4^{0}$ ．

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15. 如图，直线 $A B$ 和直线 $C D$ 相交于点O ，若 $∠ 1 + ∠ 2 = 90 °$ ，求 $∠ A O D$ 的度数．

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16. 已知 $a^{x} \cdot a^{y} = a^{5} ， a^{x} \div a^{y} = a$ ，求 $(x + y) (x - y)$ 的值．

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17. 将如图所示的长为 $1.5 \times 1 0^{2} c m$ ，宽为 $1.2 \times 1 0^{2} c m$ ，高为 $0.8 \times 1 0^{2} c m$ 的大理石运往某地进行建设革命历史博物馆．求每块大理石的体积．（结果用科学记数法表示）

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18. 已知 $A = x ， B$ 是多项式，在计算 $B + A$ 时，小明把 $B + A$ 看成 $B \div A$ ，计算结果是 $x + 1$ ，求 $B + A$ ．

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19. 一个角的补角比这个角的余角3倍还多 $10 °$ ，求这个角的度数．

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20. 先化简，再求值： $[(3 x - y)^{2} - (3 x + y) (3 x - y) + 2 x y] \div 2 y$ ．其中 $x = - \frac{1}{2}$ ， $y = 2023$ ．

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21. 用乘法公式计算：

(1)、 $9 8^{2} - 4$ ；

(2)、 $9 \times 11 \times 101$ ．

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22. 规定新运算“ $*$ ”： $a * b = 2^{a} \times 2^{b}$ ，如： $1 * 3 = 2 \times 2^{3} = 16$ ．

(1)、求 $(- 2) * 5$ 的值；

(2)、若 $2 * (2 x + 1) = 64$ ，求x的值．

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23. 如图，某小区有一块长为 $(2 a + 3 b)$ 米，宽为 $(2 a - b)$ 米的长方形地块，管理部门规划了4块边长均为b米的正方形空地用于栽种梅、兰、竹、菊，剩余地块将铺设草坪．

(1)、用含a ， b的代数式表示铺设的草坪的面积．（结果化为最简形式）

(2)、若 $a = 10 ， b = 5$ ，预计每平方米铺设草坪的费用为30元，请预计铺设草坪所需要的费用．

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24. 阅读下面的材料：
$\frac{1}{2} \times \frac{3}{2} = (1 - \frac{1}{2}) (1 + \frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{2^{2}}$ ；
$\frac{2}{3} \times \frac{4}{3} = (1 - \frac{1}{3}) (1 + \frac{1}{3}) = 1 - \frac{1}{3^{2}}$ ；
……
利用上面材料中的方法解答下列各题：

(1)、① $\frac{3}{4} \times \frac{5}{4} = (1 - \frac{1}{4}) (1 + \frac{1}{4}) = 1 -$ ；
② $\frac{6}{7} \times \frac{8}{7} =$ $= 1 -$ ；

(2)、计算： $(1 - \frac{1}{5}) \times (1 + \frac{1}{5}) \times (1 + \frac{1}{5^{2}}) \times (1 + \frac{1}{5^{4}}) + \frac{1}{5^{8}}$ ．

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25. 如图，直线 $A B 、 C D$ 相交于点 $O, O E ⊥ A B, O F$ 平分 $∠ A O D$ ．

(1)、若 $∠ C O E = 50 °$ ，求 $∠ A O F$ 的度数；

(2)、若 $∠ C O E : ∠ A O F = 2 : 3$ ，求 $∠ B O D$ 的度数．

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26. 【知识生成】
通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．
例如：如图①是个长为 $2 a$ ，宽为 $2 b$ 的长方形，沿图中虚线用剪刀将其均分成四个小长方形，然后按如图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题：

(1)、请用两种不同的方法表示如图②中阴影部分的面积：
方法1：；方法2：；
由此可以得出 ${(a + b)}^{2}, {(a - b)}^{2} 、 a b$ 之间的等量关系是；

(2)、【知识迁移】
类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．
如图③，请用两种不同的方法表示这个几何体的体积，并写出一个恒等式；

(3)、已知 $a + b = 3 ， a b = 1$ ，利用（2）的结论求 $\frac{a^{3} + b^{3}}{2}$ 的值．

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