陕西省西安市西咸新区2024年九年级下学期中考一模数学试题

试卷更新日期：2024-04-12 类型：中考模拟

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一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）

1. 目前正值冬春交替季节，昼夜温差较大．青青所在的城市某天上午气温上升8℃记作 $+ 8 ℃$ ，那么该城市这天傍晚气温下降6℃应记作（）

A、 $+ 14 ℃$ B、14℃ C、 $+ 6 ℃$ D、 $- 6 ℃$

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2. 如图，在点A处，有一个牧童在放牛，牛吃饱后要到河边饮水，牧童把牛牵到河边，沿AB的路径走才能使所走的路程最少，其依据是（）

A、经过一点有无数条直线 B、垂线段最短 C、两点之间，线段最短 D、两点确定一条直线

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3. 下列计算正确的是（）

A、 $x^{2} + x^{3} = x^{5}$ B、 $x^{2} \cdot x^{3} = x^{5}$ C、 $x^{2} - x = x$ D、 $x^{6} \div x^{2} = x^{3}$

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4. 将一次函数 $y = - 2 x + 4$ 向左平移 $m$ 个单位后得到一个正比例函数，则 $m$ 的值为（）

A、2 B、 $- 2$ C、4 D、 $- 4$

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5. 五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐，如图，一条直线上的三个点 $A 、 B 、 C$ 都在五线谱的线上，若 $A B$ 的长为3，则 $A C$ 的长为（）

A、3 B、6 C、9 D、12

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6. 如图，点 $O$ 为正方形 $A B C D$ 的对角线 $B D$ 的中点，点 $E$ 为线段 $O B$ 上一点，连接 $C E, △ C D E$ 是以 $C E$ 为底边的等腰三角形，若 $A B = 4$ ，则 $O E$ 的长为（）

A、 $4 \sqrt{2} - 4$ B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、 $4 - 2 \sqrt{2}$

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7. 在源远流长的岁月中，小小的扇子除日用外，还孕育着中华文化艺术的智慧，凝聚了古今工艺美术之精华．将如图①所示的扇子完全打开后可近似看成如图②所示的几何图形，外侧两根竹条 $O A 、 O B$ 的夹角 $∠ A O B = 120 °$ ，点 $O$ 为 $\overset{⌢}{A B}$ 和 $\overset{⌢}{C D}$ 所在圆的圆心，点 $C 、 D$ 分别在 $O A$ 、 $O B$ 上，经测量， $O A = 27 c m, A C = 18 c m$ ，则贴纸部分（即图②中阴影部分）的面积为（）

A、 $243 π c m^{2}$ B、 $240 π c m^{2}$ C、 $216 π c m^{2}$ D、 $108 π c m^{2}$

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8. 在平面直角坐标系中，将二次函数 $y = a x^{2} + 2 a x + 3 (a \neq 0)$ 的图象向右平移2个单位长度后得到一个新的二次函数图象，当 $0 \leq x \leq 3$ 时，平移后所得的新二次函数的最大值为9，则 $a$ 的值为（）

A、6 B、 $- 2$ C、2或 $- 6$ D、 $- 2$ 或6

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二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）

9. 数轴上点 $M$ 表示的数是-1，则与点 $M$ 相距4个单位长度的点表示的数是．

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10. 如图，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成一个大五边形，则图中等腰三角形的顶角 $∠ B A C =$ °．

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11. 我国古代数学名著《增删算法统宗》中有题如下：一千官军一千布，一官四疋无零数，四军才分布一疋，请问官军多少数．其大意为：今有1000官兵分1000疋布，1官分4疋，4兵分1疋，请问官、兵各几人？若设官 $x$ 人，兵 $y$ 人，依题意可列方程组为．

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12. 如图，在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点，点 $A$ 在反比例函数 $y = \frac{8}{x}$ 的图象上，连接 $A O$ 并延长交该反比例函数图象于另一点 $B$ ，点 $C$ 在 $y$ 轴正半轴上，连接 $A C 、 B C, B C = O B$ ，则 $△ A B C$ 的面积为．

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13. 如图，在 $R t △ A B M$ 中， $∠ A M B = 90 °, B M = 1, A M = 2$ ，点 $C$ 为 $A M$ 延长线上一动点，连接 $B C$ ，以 $A B 、 B C$ 为一组邻边作平行四边形 $A B C D$ ，连接 $B D$ 交 $A C$ 于点 $P$ ，则 $△ B C D$ 周长的最小值为．

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三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）

14. 计算： $| 3 - \sqrt{24} | + \sqrt{6} (\sqrt{6} + 1) + {(- \frac{1}{3})}^{- 1}$ ．

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15. 解不等式组： ${\begin{array}{l} x + 3 > 8, \\ \frac{x + 1}{4} - 3 < 1 . \end{array}$

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16. 先化简，再求值： $(2 - \frac{m - 1}{m + 2}) \div \frac{m^{2} + 10 m + 25}{m^{2} - 4}$ ，其中 $m = - 4$ ．

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17. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ，点 $E$ 为边 $A D$ 的中点，请用尺规作图法在边 $B C$ 上求作一点 $F$ ，连接 $E F$ ，使得四边形 $A E F B$ 和四边形 $D E F C$ 的面积相等．（保留作图痕迹，不写作法）

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18. 如图， $△ A B C$ 的边 $B C$ 与 $△ D E F$ 的边 $E F$ 在一条直线上，点 $A$ 恰好在边 $D E$ 的延长线上，且 $A B = A E = D E, ∠ A C B = ∠ F$ ，求证： $A C = D F$ ．

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19. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °, t a n B = \frac{1}{2}, A C = 6$ ，点 $D$ 为边 $B C$ 上一点， $B D = 4$ ，连接 $A D$ ，点 $E$ 为 $A D$ 的中点，连接 $C E$ ，求 $C E$ 的长．

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20. 2024年元宵节，西安城墙灯会深挖春节文化、诗词文化内核，将非遗制灯工艺与经典古诗词有机融合，营造出“一步一绝句，一灯一诗词；龙行五千年，华灯满城彩”的节庆文化氛围．中国古诗词作为中国文化的瑰宝，承载了丰富的历史和文化内涵，喜欢古诗词的宋宇和赵云两人制作了4张背面完全相同的卡片，并在卡片正面写上四首古诗（其中三首是李白的诗，一首是杜甫的诗），如图，现将卡片背面朝上洗匀后，宋宇从4张卡片中随机抽取一张进行朗诵后，放回，洗匀后，赵云再从4张卡片中随机抽取一张进行朗诵

(1)、宋宇朗诵的是李白的诗的概率为；

(2)、请用列表法或画树状图的方法求宋宇和赵云两人朗诵的是同一首诗的概率．

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21. 为实现核心素养导向的教学目标，走向综合性、实践性的课程教学变革，某中学推进项目式学习，组织九年级数学研学小组，进行了“测量古树高度”的项目式学习活动．其中甲、乙两个研学小组分别设计了不同的测量方案，他们各自设计的测量方案示意图及测量数据如下表所示：

活动课题	测量古树AB的高度
研学小组	甲组	乙组
测量示意图
测量说明	$C E ⊥ A B$ 于点 $E, B E C D$ 为一个矩形架，图中所有的点都在同一平面内	$C D ⊥ A B$ 于点 $D$ ，图中所有的点都在同一平面内
测量数据	$C D = 4 m, C E = 12 m, ∠ A C E = 30 °$	$∠ A C D = 45 °, ∠ B C D = 60 °, C D = 4 m$

请你选择其中的一种测量方案，求古树AB的高度．（结果保留根号）

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22. “千里游学、古已有之”，为传承红色基因，激发学生的爱国热情，提高学生的社会责任感，小苏和小李两家周末带孩子前往某爱国主义教育基地进行参观．已知小苏家、小李家和爱国主义教育基地在同一条笔直的道路上，如图．小苏和家人从家出发，开车以60km/h的速度前往爱国主义教育基地，同时，小李和家人骑自行车从家出发，匀速前往爱国主义教育基地，小李到小苏家的距离y（km）与行驶时间x（h）之间满足一次函数关系，其图象如图所示，根据图象解答下列问题：

(1)、求y与x之间的函数关系式；

(2)、出发多久后，小苏与小李在途中相遇，相遇时他们距离小苏家多远？

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23. 据中国乘用车市场信息联席会整理的海关数据显示，2023年全年中国汽车出口的数量和金额均达到世界第一，首次超越日本成为全球最大汽车出口国．为保护中国汽车出口的大好形势，各大品牌严把质量关．某品牌汽车计划对该品牌下其中一种型号某一批次新能源汽车的电池续航里程进行检测，随机抽取20辆这种型号汽车，将其电池续航里程的检测结果绘制成如下统计图，请根据统计图中的信息，解答下列问题：

(1)、所抽取汽车电池续航里程的众数是km，中位数是km；

(2)、求所抽取汽车电池续航里程的平均数；

(3)、若该种型号新能源汽车本批次共生产了150辆，请估计电池续航里程能达到500km的有多少辆？

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24. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 为边 $A B$ 的中点，以 $B D$ 为直径的 $⊙ O$ 切 $A C$ 于点 $G$ ，点 $E$ 是 $\overset{⌢}{B G}$ 上一点，且 $\overset{⌢}{E G} = \overset{⌢}{D G}$ ，连接 $D E$ ．

(1)、求证： $D E ∥ A C$ ；

(2)、若 $A D = 6$ ，求 $D E$ 的长．

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25. 为了弘扬耕读文化，进一步引导中学生树立正确的劳动价值观，提升劳动技能，某校搭建了一座劳动实践基地．基地中某一根黄瓜藤在钢圈的支撑下，其形状近似呈如图所示的抛物线形，黄瓜藤的藤根 $O$ 和藤梢 $A$ 均在地面上，以点 $O$ 为坐标原点， $O A$ 所在直线为 $x$ 轴，过点 $O$ 且垂直于 $O A$ 的竖直线为 $y$ 轴建立如图所示的平面直角坐标系，矩形 $B C D E$ 是钢圈的支架，边 $B C$ 在 $x$ 轴上，顶点 $D 、 E$ 均在抛物线上，经测量， $O A = 6 d m, B C = 2 d m, B E = \frac{16}{3} d m$ ，已知图中所有的点都在同一平面内．

(1)、求该抛物线的函数表达式；

(2)、已知在瓜藤上的点 $P$ 处有一根黄瓜，点 $P$ 到 $y$ 轴的距离为 $\frac{1}{2} d m$ ，为使黄瓜不长成弯曲状（黄瓜长度大于点 $P$ 到 $x$ 轴的距离时，黄瓜会长成弯曲状），在黄瓜不超过多长时就应该从瓜藤上摘下？

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26.

(1)、【问题提出】
如图1，点 $D$ 为 $△ A B C$ 的边 $B C$ 上一点，连接 $A D, ∠ B D A = ∠ B A C, \frac{B D}{A B} = \frac{2}{3}$ ，若 $△ A B D$ 的面积为4，则 $△ A C D$ 的面积为；

(2)、【问题探究】
如图2，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6, B C = 5$ ，在射线 $B C$ 和射线 $C D$ 上分别取点 $E 、 F$ ，使得 $\frac{B E}{C F} = \frac{6}{5}$ ，连接 $A E 、 B F$ 相交于点 $P$ ，连接 $C P$ ，求 $C P$ 的最小值；

(3)、【问题解决】
如图3，菱形 $A B C D$ 是某社区的一块空地，经测量， $A B = 120$ 米， $∠ A B C = 60 °$ ．社区管委会计划对该空地进行重新规划利用，在射线 $A D$ 上取一点 $E$ ，沿 $B E 、 C E$ 修两条小路，并在小路 $B E$ 上取点 $H$ ，将 $C H$ 段铺设成某种具有较高观赏价值的休闲通道（通道宽度忽略不计），根据设计要求， $∠ B H C = ∠ B C E$ ，为了节省铺设成本，要求休闲通道 $C H$ 的长度尽可能小，问 $C H$ 的长度是否存在最小值？若存在，求出 $C H$ 长度的最小值；若不存在，请说明理由．

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