湖北省十堰市郧西县2023-2024学年九年级下学期期中数学试题

试卷更新日期：2024-04-12 类型：期中考试

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一、选择题（本大题10 小题，每小题3分，共30分）

1. 若a与-2互为相反数，则a的值是（）

A、-2 B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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2. 由七个相同的小立方块搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 把不等式组 ${\begin{array}{l} x > - 1 \\ x + 2 \leq 3 \end{array}$ 的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 下列计算正确的是（）

A、 ${(x y^{2})}^{2} = x y^{4}$ B、 ${(3 x y)}^{3} = 9 x^{3} y$ C、 ${(- 3 a b^{2})}^{2} = 9 a^{2} b^{4}$ D、 ${(- 2 a^{2})}^{2} = - 4 a^{2}$

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5. 一块三角板和一根直尺的位置如图所示，若 $∠ 1 = 110 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（）

A、 $30 °$ B、 $20 °$ C、 $60 °$ D、 $70 °$

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6. 已知点 $A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2})$ 在反比例函数 $y = - \frac{2}{x}$ 的图像上，且 $x_{1} < 0 < x_{2}$ ，则下列结论一定正确的是（）

A、 $y_{1} + y_{2} < 0$ B、 $y_{1} + y_{2} > 0$ C、 $y_{1} - y_{2} < 0$ D、 $y_{1} - y_{2} > 0$

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7. 今年2月，某班准备从《在希望的田野上》《我和我的祖国》《十送红军》三首歌曲中选择两首进行排练，参加永州市即将举办的“唱响新时代，筑梦新征程”合唱选拔赛，那么该班恰好选中前面两首歌曲的概率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、1

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8. 一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知 $B C = 6 m$ ， $∠ A B C = α$ ，则房顶A离地面 $E F$ 的高度为（）

A、 $(4 + 3 s i n α) m$ B、 $(4 + 3 t a n α) m$ C、 $(4 + \frac{3}{s i n α}) m$ D、 $(4 + \frac{3}{t a n a}) m$

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9. 如图，⊙O的弦CD交直径AB于E，OD＝DE，CE：DE＝3：5，若OE＝5，则CD的长为（）

A、4 $\sqrt{10}$ B、4 $\sqrt{5}$ C、3 $\sqrt{10}$ D、3 $\sqrt{5}$

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10. 抛物线 $y = a x ² + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，对称轴为直线 $x = - 2$ . 下列说法：① $a b c < 0$ ；② $c < 3 a$ ； ③ $4 a^{2} - 2 a b \geq a t (a t + b)$ （ $t$ 为全体实数）；④若图象上存在点 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ ，当 $m < x_{1} < x_{2} < m + 3$ 时，满足 $y_{1} = y_{2}$ ，则m的取值范围为 $- 5 < m < - 2$ ，其中正确的个数有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题（本大题10 小题，每小题3分，共30分）

11. 化简： $\frac{2}{1 - x} - \frac{2 x}{1 - x}$ 的结果为．

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12. 若关于x的一元二次方程 $k x^{2} - 2 x + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．

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13. 若正n边形的一个外角等于 $45 °$ ，那么 $n =$ ．

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14. 我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人 $7$ 两，还剩 $4$ 两；若每人 $9$ 两，还差 $8$ 两；则 $①$ 人数为人； $②$ 银子共有两．

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15. 如图，在平面直角坐标中，矩形 $A B C D$ 的边 $A D = 5$ ， $O A : O D = 1 : 4$ ，将矩形 $A B C D$ 沿直线 $O E$ 折叠到如图所示的位置，线段 $O D$ 恰好经过点B ，点 C落在y轴的点 $C_{1}$ 位置，点 E 的坐标是．

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三、解答题

16. 计算： $(- 2)^{2} + | - \sqrt{3} | - \sqrt{25} + (3 - \sqrt{3})^{0}$

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17. 如图，矩形 $A B C D$ 中，过对角线 $B D$ 的中点O作 $B D$ 的垂线 $E F$ ，分别交 $A D$ ， $B C$ 于点E ， F；连接 $B E$ 、 $D F$ ．求证：四边形 $E B F D$ 是菱形．

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18. 随着我国科技事业的不断发展，国产无人机大量进入快递行业．现有A，B两种型号的无人机都被用来运送快件，A型机比B型机平均每小时多运送20件，A型机运送700件所用时间与B型机运送500件所用时间相等，两种无人机平均每小时分别运送多少快件？

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19. 近年，“青少年视力健康”受到社会的广泛关注．某校综合实践小组为了解该校学生的视力健康状况，从全校学生中随机抽取部分学生进行视力调查．根据调查结果和视力有关标准，绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题：

(1)、所抽取的学生人数为；

(2)、补全条形统计图，并求出扇形统计图中“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数；

(3)、该校共有学生 $3000$ 人，请估计该校学生中近视程度为“轻度近视”的人数．

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20. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = k x + b$ 与 $x$ 轴交于点 $A (4, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $B (0, 2)$ ，与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 在第四象限内的图象交于点 $C (6, a)$ ．

(1)、求一次函数和反比例函数的表达式：

(2)、当 $k x + b > \frac{m}{x}$ 时，直接写出 $x$ 的取值范围．

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21. 如图， $△ A B C$ 中，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $B C$ 于点E． $A E$ 平分 $∠ B A C$ ，过点E作 $E D ⊥ A C$ 于点D，延长 $D E$ 交 $A B$ 的延长线于点P．

(1)、求证： $P E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $s i n ∠ P = \frac{1}{3} ， B P = 4$ ，求 $C D$ 的长．

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22. 某企业投入60万元（只计入第一年成本）生产某种产品，按网上订单生产并销售（生产量等于销售量）.经测算，该产品网上每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y＝24－x，第一年除60万元外其他成本为8元/件.

(1)、求该产品第一年的利润w（万元）与售价x之间的函数关系式；

(2)、该产品第一年利润为4万元，第二年将它全部作为技改资金再次投入（只计入第二年成本）后，其他成本下降2元/件.①求该产品第一年的售价；②若第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件，则第二年利润最少是多少万元？

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23. 【问题呈现】
$△ C A B$ 和 $△ C D E$ 都是直角三角形， $∠ A C B = ∠ D C E = 90 ° ， C B = m C A ， C E = m C D$ ，连接 $A D$ ， $B E$ ，探究 $A D$ ， $B E$ 的位置关系．

(1)、如图1，当 $m = 1$ 时，直接写出 $A D$ ， $B E$ 的位置关系：；

(2)、如图2，当 $m \neq 1$ 时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．

(3)、【拓展应用】
当 $m = \sqrt{3} ， A B = 4 \sqrt{7} ， D E = 4$ 时，将 $△ C D E$ 绕点C旋转，使 $A ， D ， E$ 三点恰好在同一直线上，求 $B E$ 的长．

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24. 抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3$ 交 $x$ 轴于 $A (- 3, 0)$ ， $B (1, 0)$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C$ ．

(1)、直接写出 $a ， b$ 的值；

(2)、点 $P$ 是抛物线上位于 $A C$ 上方的一动点，连接 $O P$ ，交 $A C$ 于点 $Q$ ，设 $P$ 的的横坐标为 $m$ ，试用含 $m$ 的式子表示代数式 $\frac{P Q}{O Q}$ 的值，并求 $\frac{P Q}{O Q}$ 的最大值；

(3)、如图 $1$ ，连接 $A C ， B C$ ，点 $P$ 在抛物线上，且 $∠ P C A = ∠ B C O$ ，求点 $P$ 的坐标．

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