广东省深圳市南山区2024年中考一模数学试卷

试卷更新日期：2024-04-12 类型：中考模拟

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一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 如图，数轴上点 $A$ 表示的数是 $2023$ ， $O A = O B$ ，则点 $B$ 表示的数是（）

A、 $2023$ B、 $- 2023$ C、 $\frac{1}{2023}$ D、 $- \frac{1}{2023}$

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2. 我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘微割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（）．

A、 B、 C、 D、

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3. 2023年5月28日，我国自主研发的C919国产大飞机商业首航取得圆满成功，C919可储存约186000升燃油，将数据186000用科学记数法表示为（）

A、 $0.186 \times 1 0^{5}$ B、 $1.86 \times 1 0^{5}$ C、 $18.6 \times 1 0^{4}$ D、 $186 \times 1 0^{3}$

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4. 一技术人员用刻度尺（单位： $c m$ ）测量某三角形部件的尺寸.如图所示，已知 $∠ A C B = 90 °$ ，点 $D$ 为边 $A B$ 的中点，点 $A$ 、 $B$ 对应的刻度为1、7，则 $C D =$ （）

A、 $3.5 c m$ B、 $3 c m$ C、 $4.5 c m$ D、 $6 c m$

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5. 一元一次不等式组 $\{\begin{array}{l} x - 2 > 1 \\ x < 4 \end{array}$ 的解集为（）

A、 $- 1 < x < 4$ B、 $x < 4$ C、 $x < 3$ D、 $3 < x < 4$

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6. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心 $O$ 的光线相交于点 $P$ ，点 $F$ 为焦点．若 $∠ 1 = 155 ° ， ∠ 2 = 30 °$ ，则 $∠ 3$ 的度数为（）

A、 $45 °$ B、 $50 °$ C、 $55 °$ D、 $60 °$

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7. 下列命题是真命题的是（）

A、同位角相等 B、菱形的四条边相等 C、正五边形的其中一个内角是72° D、单项式 $\frac{π a b^{2}}{3}$ 的次数是4

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8. 某校篮球队有 $20$ 名队员，统计所有队员的年龄制成如下的统计表，表格不小心被滴上了墨水，看不清 $13$ 岁和 $14$ 岁队员的具体人数．
年龄 $($ 岁 $)$
$12$ 岁
$13$ 岁
$14$ 岁
$15$ 岁
$16$ 岁
人数 $($ 个 $)$
$2$
$8$
$3$
在下列统计量，不受影响的是（）

A、中位数，方差 B、众数，方差 C、平均数，中位数 D、中位数，众数

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9. 元朝朱世杰所著的 $《$ 算学启蒙 $》$ 中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行 $240$ 里，慢马每天行 $150$ 里，慢马先行 $12$ 天，快马几天可追上慢马？若设快马 $x$ 天可追上慢马，由题意得（）

A、 $\frac{x}{240} = \frac{x + 12}{150}$ B、 $\frac{x}{240} = \frac{x}{150} - 12$ C、 $240 (x - 12) = 150 x$ D、 $240 x = 150 (x + 12)$

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10. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $(1, m)$ ， $(3, n)$ 在抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ 上，设抛物线的对称轴为直线 $x = t .$ 若 $m < n < c$ ，则 $t$ 的取值范围是（）

A、 $\frac{3}{2} < t < 2$ B、 $1 < t < 3$ C、 $0 < t < 1$ D、 $\frac{1}{2} < t < 1$

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二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

11. 若 $\frac{a}{2} = \frac{3}{b}$ ，则 $a b =$ .

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12. 已知一元二次方程 $x^{2} - 5 x + 2 m = 0$ 有一个根为 $2$ ，则另一根为．

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13. 如图，一束光线从点 $A (- 2,5)$ 出发，经过 $y$ 轴上的点 $B (0,1)$ 反射后经过点 $C (m, n)$ ，则 $2 m - n$ 的值是．

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14. 如图，在直角坐标系中， $⊙ A$ 与 $x$ 轴相切于点 $B ， C B$ 为 $⊙ A$ 的直径，点 $C$ 在函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0 ， x > 0)$ 的图象上， $D$ 为 $y$ 轴上一点， $△ A C D$ 的面积为6，则 $k$ 的值为．

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15. 如图，在四边形 $A C B D$ 中，对角线 $A B$ 、 $C D$ 相交于点 $O$ ， $∠ A C B = 90 °$ ， $B D = C D$ 且 $s i n ∠ D B C = \frac{3}{5}$ ，若 $∠ D A B = 2 ∠ A B C$ ，则 $\frac{A D}{A B}$ 的值为.

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三、解答题：本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16. 计算： $| - \sqrt{3} | - (4 - π)^{0} - 2 s i n 60 ° + (\frac{1}{5})^{- 1}$ ．

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17. 先化简 $(x - 1 - \frac{3}{x + 1}) \div \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 2 x + 1}$ ，然后从 $- 1$ ， $1$ ， $- 2$ ， $2$ 中选一个合适的数代入求值．

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18. 2022年4月21日新版《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》正式颁布，优化了课程设置，其中将劳动教育从综合实践活动课程中独立出来．某校为了初步了解学生的劳动教育情况，对九年级学生“参加家务劳动的时间”进行了抽样调查，并将劳动时间x分为如下四组（A： $x < 70$ ；B： $70 \leq x < 80$ ；C： $80 \leq x < 90$ ；D： $x \geq 90$ ，单位：分钟）进行统计，绘制了如下不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：

(1)、本次抽取的学生人数为人，扇形统计图中m的值为；

(2)、补全条形统计图；

(3)、已知该校九年级有600名学生，请估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在80分钟（含80分钟）以上的学生有多少人？

(4)、若D组中有3名女生，其余均是男生，从中随机抽取两名同学交流劳动感受，请用列表法或树状图法，求抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的概率．

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19. 低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，人们的环保观念也在逐渐加深． $“$ 低碳环保，绿色出行 $”$ 成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行．某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台 $500$ 元，乙型自行车进货价格为每台 $800$ 元．该公司销售 $3$ 台甲型自行车和 $2$ 台乙型自行车，可获利 $650$ 元，销售 $1$ 台甲型自行车和 $2$ 台乙型自行车，可获利 $350$ 元．

(1)、该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？

(2)、为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共 $20$ 台，且资金不超过 $13000$ 元，最少需要购买甲型自行车多少台？

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20. 麻城市思源实验学校自从开展“高效课堂”模式以来，在课堂上进行当堂检测效果很好．每节课40分钟教学，假设老师用于精讲的时间x（单位：分钟）与学生学习收益量y的关系如图1所示，学生用于当堂检测的时间x（单位：分钟）与学生学习收益y的关系如图2所示（其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点），且用于当堂检测的时间不超过用于精讲的时间．

(1)、求老师精讲时的学生学习收益量y与用于精讲的时间x之间的函数关系式；

(2)、求学生当堂检测的学习收益量y与用于当堂检测的时间x的函数关系式；

(3)、问此“高效课堂”模式如何分配精讲和当堂检测的时间，才能使学生在这40分钟的学习收益总量最大？

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21. 陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一 $.$ 如图是从正面看到的一个“老碗”，其横截面可以近似的看成是如图 $(1)$ 所示的以 $A B$ 为直径的半圆 $O$ ， $M N$ 为台面截线，半圆 $O$ 与 $M N$ 相切于点 $P$ ，连结 $O P$ 与 $C D$ 相交于点 $E .$ 水面截线 $C D = 6 \sqrt{3} c m$ ， $M N / / C D$ ， $A B = 12 c m$ ．

(1)、如图 $(1)$ 求水深 $E P$ ；

(2)、将图 $(1)$ 中的老碗先沿台面 $M N$ 向左作无滑动的滚动到如图 $(2)$ 的位置，使得 $A$ 、 $C$ 重合，求此时最高点 $B$ 和最低点 $P$ 之间的距离 $B P$ 的长；

(3)、将碗从 $(2)$ 中的位置开始向右边滚动到图 $(3)$ 所示时停止，若此时 $∠ B O P = 75 °$ ，求滚动过程中圆心 $O$ 运动的路径长．

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22. “转化”是解决数学问题的重要思想方法，通过构造图形全等或者相似建立数量关系是处理问题的重要手段．

(1)、【问题情景】：如图 $(1)$ ，正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是线段 $B C$ 上一点 $($ 不与点 $B$ 、 $C$ 重合 $)$ ，连接 $E A .$ 将 $E A$ 绕点 $E$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到 $E F$ ，连接 $C F$ ，求 $∠ F C D$ 的度数．
以下是两名同学通过不同的方法构造全等三角形来解决问题的思路，
①小聪：过点 $F$ 作 $B C$ 的延长线的垂线；
②小明：在 $A B$ 上截取 $B M$ ，使得 $B M = B E$ ；
请你选择其中一名同学的解题思路，写出完整的解答过程．

(2)、【类比探究】：如图 $(2)$ 点 $E$ 是菱形 $A B C D$ 边 $B C$ 上一点 $($ 不与点 $B$ 、 $C$ 重合 $)$ ， $∠ A B C = α$ ，将 $E A$ 绕点 $E$ 顺时针旋转 $α$ 得到 $E F$ ，使得 $∠ A E F = ∠ A B C = α (α \geq 90 °)$ ，则 $∠ F C D$ 的度数为 $($ 用含 $α$ 的代数式表示 $)$ ．

(3)、【学以致用】：如图 $(3)$ ，在 $(2)$ 的条件下，连结 $A F$ ，与 $C D$ 相交于点 $G$ ，当 $α = 120 °$ 时，若 $\frac{D G}{C G} = \frac{1}{2}$ ，求 $\frac{B E}{C E}$ 的值．

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年龄 $($ 岁 $)$	$12$ 岁	$13$ 岁	$14$ 岁	$15$ 岁	$16$ 岁
人数 $($ 个 $)$	$2$			$8$	$3$