2014年高考理数真题试卷（上海卷）

试卷更新日期：2016-09-29 类型：高考真卷

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一、填空题

1. 函数y=1﹣2cos²（2x）的最小正周期是．

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2. 若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+ $\frac{1}{\bar{z}}$ ）• $\bar{z}$ = ．

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3. 若抛物线y²=2px的焦点与椭圆 $\frac{x^{2}}{9}$ + $\frac{y^{2}}{5}$ =1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为．

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4. 设f（x）= ${\begin{matrix} x ， x \in (- \infty ， a) \\ x^{2} ， x \in [a ， + \infty) \end{matrix}$ ，若f（2）=4，则a的取值范围为．

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5. 若实数x，y满足xy=1，则x²+2y²的最小值为．

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6. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为（结果用反三角函数值表示）．

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7. 已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是．

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8. 设无穷等比数列{a_n}的公比为q，若a₁= $\lim_{n \to \infty}$ （a₃+a₄+…a_n），则q= ．

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9. 若f（x）= $x^{\frac{2}{3}}$ ﹣ $x^{- \frac{1}{2}}$ ，则满足f（x）＜0的x的取值范围是．

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10. 为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表示）．

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11. 已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a² ， b²}，则a+b= ．

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12. 设常数a使方程sinx+ $\sqrt{3}$ cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x₁ ， x₂ ， x₃ ，则x₁+x₂+x₃= ．

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13. 某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E（ξ）=4.2，则小白得5分的概率至少为．

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14. 已知曲线C：x=﹣ $\sqrt{4 - y^{2}}$ ，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得 $\vec{A P}$ + $\vec{A Q}$ = $\vec{0}$ ，则m的取值范围为．

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二、选择题，每题有且只有一个正确答案

15. 设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分又非必要条件

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16. 如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，P_i（i=1，2，…8）是上底面上其余的八个点，则 $\vec{A B}$ • $\vec{A P_{i}}$ （i=1，2，…，8）的不同值的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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17. 已知P₁（a₁ ， b₁）与P₂（a₂ ， b₂）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组 ${\begin{matrix} a_{1} x + b_{1} y = 1 \\ a_{2} x + b_{2} y = 1 \end{matrix}$ 的解的情况是（）

A、无论k，P₁ ， P₂如何，总是无解 B、无论k，P₁ ， P₂如何，总有唯一解 C、存在k，P₁ ， P₂ ，使之恰有两解 D、存在k，P₁ ， P₂ ，使之有无穷多解

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18. 设f（x）= ${\begin{matrix} {(x - a)}^{2} ， x \leq 0 \\ x + \frac{1}{x} + a ， x > 0 \end{matrix}$ ，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）

A、[﹣1，2] B、[﹣1，0] C、[1，2] D、[0，2]

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三、解答题

19. 底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其表面展开图是三角形P₁P₂P₃ ，如图，求△P₁P₂P₃的各边长及此三棱锥的体积V．

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20. 设常数a≥0，函数f（x）= $\frac{2^{x} + a}{2^{x} - a}$ ．

(1)、若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f^﹣¹（x）；

(2)、根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由．

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21. 如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β．

(1)、设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？

(2)、施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）．

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22. 在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P₁（x₁ ， y₁），P₂（x₂ ， y₂），记η=（ax₁+by₁+c）（ax₂+by₂+c），若η＜0，则称点P₁ ， P₂被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P₁、P₂被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线．

(1)、求证：点A（1，2），B（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔；

(2)、若直线y=kx是曲线x²﹣4y²=1的分隔线，求实数k的取值范围；

(3)、动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．

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23. 已知数列{a_n}满足 $\frac{1}{3}$ a_n≤a_n+1≤3a_n ， n∈N^* ， a₁=1．

(1)、若a₂=2，a₃=x，a₄=9，求x的取值范围；

(2)、设{a_n}是公比为q的等比数列，S_n=a₁+a₂+…a_n ，若 $\frac{1}{3}$ S_n≤S_n+1≤3S_n ， n∈N^* ，求q的取值范围．

(3)、若a₁ ， a₂ ， …a_k成等差数列，且a₁+a₂+…a_k=1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a₁ ， a₂ ， …a_k的公差．

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