2024年北师大版数学八年级下册周测卷（第五章第4节）培优卷

试卷更新日期：2024-04-11 类型：同步测试

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 解分式方程 $\frac{x}{2 x - 1} + \frac{2}{1 - 2 x} = 3$ 时，去分母化为一元一次方程，正确的是（）

A、x+2＝3 B、x﹣2＝3 C、x﹣2＝3(2x﹣1) D、x+2＝3(2x﹣1)

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2. 某校学生去距离学校 $12 k m$ 的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了 $20 m i n$ 后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，汽车的速度是（）．

A、 $0.2 k m / m i n$ B、 $0.3 k m / m i n$ C、 $0.4 k m / m i n$ D、 $0.6 k m / m i n$

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3. 若分式方程 $\frac{a}{x + 2} = 1 - \frac{3}{x + 2}$ 的解为负数，则a的取值范围是（）

A、 $a < - 1$ 且 $a \neq - 2$ B、 $a < 0$ 且 $a \neq - 2$ C、 $a < - 2$ 且 $a \neq - 3$ D、 $a < - 1$ 且 $a \neq - 3$

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4. 若 $x = 4$ 是分式方程 $\frac{a - 2}{x} = \frac{1}{x - 3}$ 的根，则 $a$ 的值为（）

A、6 B、-6 C、4 D、-4

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5. 若关于 $x$ 的分式方程 $\frac{m + 4}{x - 3} = \frac{3 x}{x - 3} + 2$ 有增根，则 $m$ 的值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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6. 解分式方程 $\frac{2}{x + 1} + \frac{3}{x - 1} = \frac{6}{x^{2} - 1}$ 分以下四步，其中错误的一步是（）

A、最简公分母是(x+1)(x-1) B、去分母，得2(x-1)+3(x+1)=6 C、解整式方程，得x=1 D、原方程的解为x=1

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7. 为了缅怀革命先烈，传承红色精神，青海省某学校八年级师生在清明节期间前往距离学校 $15 k m$ 的烈士陵园扫墓.一部分师生骑自行车先走，过了 $30 m i n$ 后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时到达；已知汽车的速度是骑车师生速度的2倍，设骑车师生的速度为 $x k m / h$ .根据题意，下列方程正确的是（）

A、 $\frac{15}{x} + \frac{1}{2} = \frac{15}{2 x}$ B、 $\frac{15}{x} = \frac{15}{2 x} + \frac{1}{2}$ C、 $\frac{15}{x} + 30 = \frac{15}{2 x}$ D、 $\frac{15}{x} = \frac{15}{2 x} + 30$

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8. 对于a、b定义 $a ★ b = \frac{1}{a - b^{2}}$ ，已知分式方程 $x ★ (- 1) = \frac{x}{3 - 3 x}$ 的解满足不等式 $(2 - a) x - 3 > 0$ ，则a的取值范围是（）

A、 $a < 1$ B、 $a > 1$ C、 $a < 3$ D、 $a > 3$

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9. 小明解分式方程 $\frac{1}{x + 1} = \frac{2 x}{3 x + 3} - 1$ 的过程如下：
解：去分母，得3=2x-(3x+3).①
去括号，得3=2x-3x+3.②
移项，合并同类项，得-x=6.③
系数化为1，得x=-6.④
以上步骤中，开始出错的一步是（）

A、① B、② C、③ D、④

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10. 为了降低成本，某出租车公司实施了“油改气”措施．如图， $y_{1} 、 y_{2}$ 分别表示燃油汽车和燃气汽车所需费用 $y$ （单位：元）与行驶路程 $S$ （单位：千米）的关系，已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需的费用的3倍少0.1元，设燃气汽车每千米所需的费用为 $x$ 元，则可列方程为（　　）

A、 $\frac{25}{x} = \frac{10}{3 x - 0.1}$ B、 $\frac{25}{x} = \frac{10}{3 x + 0.1}$ C、 $\frac{25}{3 x + 0.1} = \frac{10}{x}$ D、 $\frac{25}{3 x - 0.1} = \frac{10}{x}$

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二、填空题（每题3分，共18分）

11. 对实数a，b定义一种新运算 $@ α^{'^{'}}$ ， $a @ b = \frac{1}{a^{2} - b}$ ，这里等式右边是实数运算.例如 $1 @ 3 = \frac{1}{1^{2} - 3} =$ $\frac{1}{1 - 3} = - \frac{1}{2} ，$ 则方程 $(- 3) @ x = \frac{1}{x - 9} - 2$ 的解是.

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12. 代数式 $\frac{3}{x + 2}$ 与代数式 $\frac{2}{x - 1}$ 的值相等，则x＝．

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13. 若关于x的分式方程 $\frac{1}{x - 2} + \frac{2}{x + 2} = \frac{x + 2 m}{x^{2} - 4}$ 的解大于1，则m的取值范围是．

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14. 如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的x的值是．

先化简，再求值： $\frac{3 - x}{x - 4} + 1$ ，其中 $x =$

解：原式 $= \frac{3 - x}{x - 4} \cdot (x - 4) + (x - 4) \dots ①$

$= 3 - x + x - 4$

$= - 1$

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15. 若关于x的方程 $\frac{a}{x + 1} + 1 = \frac{x + a}{x - 1}$ 的解为负数，且关于x的不等式组 ${\begin{array}{l} - \frac{1}{2} (x - a) > 0 \\ x - 1 \geq \frac{2 x - 1}{3} \end{array}$ 无解．则所有满足条件的整数a的值之和是．

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16. 若关于x的方程 $\frac{4 x}{x - 2}$ ﹣5＝ $\frac{m x}{2 - x}$ 无解，则m的值为．

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三、解答题（共10题，共72分）

17. 解方程： $\frac{1}{x - 1} + 1 = \frac{3}{2 x - 2}$ ．

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18. 解方程： $\frac{2 x}{x + 5} - 1 = \frac{x + 5}{x}$ ．

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19. 解方程： $\frac{x}{2 x - 3} + \frac{5}{3 - 2 x} = 4$

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20. 解分式方程： $\frac{x}{x + 1} = \frac{x}{3 x + 3} + 1$ .

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21. 解方程： $\frac{x - 1}{x + 1} - \frac{3}{x^{2} - 1} = 1$ .

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22. 解分式方程： $\frac{x - 2}{x} - \frac{3}{x - 2} = 1$ .

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23. “人间烟火味，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源．某经营者购进了 $A$ 型和 $B$ 型两种玩具，已知用520元购进 $A$ 型玩具的数量比用175元购进 $B$ 型玩具的数量多30个，且 $A$ 型玩具单价是 $B$ 型玩具单价的 $1.6$ 倍．

(1)、求两种型号玩具的单价各是多少元？
根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程：

甲： $\frac{520}{1.6 x} = \frac{175}{x} + 30$ ，解得 $x = 5$ ，经检验 $x = 5$ 是原方程的解．

乙： $\frac{520}{x} = 1.6 \times \frac{175}{x - 30}$ ，解得 $x = 65$ ，经检验 $x = 65$ 是原方程的解．

则甲所列方程中的 $x$ 表示，乙所列方程中的 $x$ 表示；

(2)、该经营者准备用1350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，则最多可购进 $A$ 型玩具多少个？

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24. 为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下：

信息—

工程队	每天施工面积（单位： $m^{2}$ ）	每天施工费用（单位：元）
甲	$x + 300$	3600
乙	x	2200

信息二

甲工程队施工 $1800 m^{2}$ 所需天数与乙工程队施工 $1200 m^{2}$ 所需天数相等．

(1)、求x的值；

(2)、该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于

15000 m^{2}

．该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用?

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25. 端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克．根据以上信息，解答下列问题：

(1)、该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？

(2)、如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？

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26. 端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售，经了解．每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同．

(1)、甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？

(2)、该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子m个，两种粽子全部售完时获得的利润为w元．
①求w与m的函数关系式，并求出m的取值范围；
②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？

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