2024年浙教版数学八年级下册5.3正方形课后培优练

试卷更新日期：2024-04-10 类型：同步测试

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一、选择题

1. 下列命题中，假命题是（）

A、平行四边形的对角线相等 B、正方形的对角线互相垂直平分 C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D、有一个角为 $90 °$ 的平行四边形是矩形

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2. 在周长为 $8$ 的正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是 $A B$ 边的中点，点 $P$ 为对角线 $A C$ 上的一个动点，则 $P E + P B$ 的最小值为（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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3. 如图，点M是正方形ABCD内位于对角线BD下方的一点， $∠ 1 = ∠ 2$ ，则 $∠ A M B$ 为（）

A、120° B、130° C、125° D、135°

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4. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 3$ ， $B C = 4 .$ 分别以 $A B$ 、 $A C$ 、 $B C$ 为边在 $A B$ 的同侧作正方形 $A B E F$ 、 $A C P Q$ 、 $B C M N$ ，四块阴影部分的面积分别为 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3}$ 、 $S_{4} .$ 则 $S_{1} + S_{2} + S_{3} + S_{4}$ 等于（）

A、 $16$ B、 $18$ C、 $20$ D、 $22$

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5. 如图，分别沿长方形纸片 $A B C D$ 和正方形纸片 EFGH 的对角线 $A C$ ， $E G$ 剪开，拼成如图2所示的四边形 $A L M N$ ，若中间空白部分四边形恰好是正方形 $O P Q R$ ，且四边形 $K L M N$ 的面积为50，则正方形 $E F G H$ 的面积是（）

A、 $23$ B、 $24$ C、 $25$ D、 $36$

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6. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 、 $F$ 分别是边 $A B$ 、 $B C$ 上的两个动点 $($ 不与顶点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 重合 $)$ ，在运动中始终保持 $A E = B F$ ， $D E$ 与 $A C$ 交于点 $G$ ，当 $∠ A F B = 67.5 °$ 时， $∠ C G D$ 的度数为（）

A、 $22.5 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $67.5 °$

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，以 $△ A B C$ 的各边为边作三个正方形，点G落在 $H I$ 上，若 $A C + B C = 6$ ，空白部分面积为10.5，则 $A B$ 的长为（）

A、 $\sqrt{26}$ B、 $\sqrt{20}$ C、 $\sqrt{19}$ D、 $\sqrt{18}$

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8. 如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，点H在边AD上，CE＝DH ， CH交BE于点F ，交BD于点G ，连接GE ．下列结论：①CH＝BE；②CH⊥BE；③S_△_GCE＝S_△_GDH；④当E是CD的中点时， $\frac{G F}{G E} = \frac{4}{5}$ ；⑤当EC＝2DE时，S_正方形_ABCD＝6S_四边形_DEGH ．其中正确结论的序号是（　　）

A、①②③④ B、①②③⑤ C、①③④⑤ D、②④⑤

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二、填空题

9. 由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形 $A B C D$ 如图所示．将小正方形对角线 $E F$ 双向延长，分别交边 $A B$ ，和边 $B C$ 的延长线于点G，H．若大正方形与小正方形的面积之比为5， $G H = 2 \sqrt{10}$ ，则大正方形的边长为．

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10. $2002$ 年国际数学家大会在北京召开，大会的会标是由我国古代数学家赵爽的“弦图”演变而来，体现了数学研究中的继承和发展 $.$ 如图是用八个全等的直角三角形拼接而成的“弦图” $.$ 记图中正方形 $A B C D$ 、正方形 $E F G H$ 、正方形 $M N K T$ 的面积分别为 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3} .$ 若正方形 $E F G H$ 的边长为 $\sqrt{10}$ ，则 $S_{1} + S_{2} + S_{3} =$ ．

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11. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为8，点 $E$ 为 $B C$ 边上一点，且 $B E = 2$ ，点 $F$ 为 $A B$ 边上的一个动点，连接 $E F$ ，以 $E F$ 为一条直角边向右侧作等腰 $R t △ E G F$ ，且使 $∠ E F G = 90 °$ ，连接 $C G$ ，则 $C G$ 的最小值是．

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12. 如图正方形 $A B C D$ 的边长为3，E是 $B C$ 上一点且 $C E = 1$ ， F是线段 $D E$ 上的动点．连接 $C F$ ，将线段 $C F$ 绕点C逆时针旋转 90°得到 $C G$ ，连接 $E G$ ，则 $E G$ 的最小值是．

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三、解答题

13. 如图，已知在正方形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ，点 $E$ 为线段 $A C$ 上一点 $($ 点 $E$ 不与 $A$ 、 $C$ 重合 $)$ ，连接 $D E$ ，过点 $E$ 作 $E F ⊥ D E .$ 交射线 $B C$ 于点 $F$ ，以 $D E$ 、 $E F$ 为邻边作矩形 $D E F G$ ．

(1)、求证： $D E = E F$ ；

(2)、连接 $E G$ ，设 $A E = x$ ， $△ E C G$ 的面积为 $y .$ 求 $y$ 关于 $x$ 的函数关系式并写出自变量的取值范围；

(3)、当 $∠ C E F = 20 °$ 时，求 $∠ E F C$ 的度数．

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14. 如图1，两张纸片正方形 $A B C D$ 与正方形 $B E F G$ 拼在一起，在 $A B$ 边上取 $A M = B E$ ，沿 $D M$ ， $M F$ 分别剪一刀，将 $△ D A M$ 拼至 $△ D C N$ ， $△ M E F$ 拼至 $△ N G F$ ，无缝隙无重叠，如图2．

(1)、求证： $D M = M F$ ．

(2)、求证：四边形 $D M F N$ 是正方形．

(3)、仿照题中的剪拼方法，剪两刀把图3中两个正方形剪拼成一个更大的正方形，在图中作出剪拼线，并完成拼图．

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15. 如图1，矩形ABCD中，过对角线AC的中点O画EF⊥AC分别交AB，CD于点E，F，连结AF，CE．

(1)、[证明体验]
求证：四边形AECF是菱形．

(2)、[基础巩固]
若AB=8，BC=6，求菱形AECF的边长．

(3)、[拓展延伸]
如图2，在对角线AC上取点G，H，使得四边形EHFG是正方形，若正方形EHFG的边长为 $3 \sqrt{2}$ ，且AE=5CH，求矩形ABCD的面积．

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