贵州省六校联盟2024届高三下学期高考实用性联考（三模）数学试卷

试卷更新日期：2024-04-10 类型：高考模拟

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一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = 2 (n \in N^{*})$ 且 $a_{4} a_{5} = 4 a_{3}$ ，则 $a_{1} =$ （）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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2. 设抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，点 $A$ 为该抛物线上任意一点，若 $| A F | > 1$ 恒成立，则 $p$ 的取值范围是（）

A、 $p < 2$ B、 $p > 2$ C、 $p < 4$ D、 $p > 4$

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3. 在某学校的期中考试中，高一、高二、高三年级的参考人数分别为600，800，600．现用分层抽样的方法从三个年级中抽取样本，经计算得高一、高二、高三年级数学成绩的样本平均数分别为93，81，99，则全校学生数学成绩的总样本平均数为（）

A、92 B、91 C、90 D、89

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4. 已知m，n是不同的两条直线， $α, β$ 是不重合的两个平面，则下列命题中，真命题为（）

A、若 $m / / α, m / / n$ ，则 $n / / α$ B、若 $m ⊥ α, m ⊥ β, n \subset α$ ，则 $n / / β$ C、若 $n \subset α, m ⊥ n$ ，则 $m ⊥ α$ D、若 $m / / α, m / / β, n / / α, n / / β$ ，则 $α / / β$

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5. 2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（决赛）于2023年11月26日至12月3日在湖北省武汉市武钢三中举行，赛后来自某所学校的3名同学和2名老师站成一排合影，若两名老师之间至少有一名同学，则不同的站法有（）种．

A、48 B、64 C、72 D、120

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6. 中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设 $a, b, m (m > 0)$ 为整数，若 $a$ 和 $b$ 被 $m$ 除得的余数相同，则称 $a$ 和 $b$ 对模 $m$ 同余，记为 $a \equiv b (m o d m)$ ．若 $a = C_{20}^{1} \cdot 2 + C_{20}^{2} \cdot 2^{2} + ⋯ + C_{20}^{20} \cdot 2^{20}, a \equiv b (m o d 9)$ ，则 $b$ 的值可以是（）

A、2018 B、2020 C、2022 D、2024

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7. 过点 $A (- 6, - 8)$ 的直线 $l$ 与国 $C : x^{2} + y^{2} = 9$ 相交于不同的两点M，N，则线段MN的动点 $P$ 的轨迹是（）

A、一个半径为10的圆的一部分 B、一个焦距为10的椭圆的一部分 C、一条过原点的线段 D、一个半径为5的圆的一部分

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8. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过点 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于P，Q两点，若 $| F_{2} Q | : | F_{1} P | : | F_{1} Q | = 1 : 3 : 5$ ，则该椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）

9. 已知 $z_{1}, z_{2}$ 是复数，下列结论正确的是（）

A、 $\bar{z_{1} + z_{2}} = \bar{z_{1}} + \bar{z_{2}}$ B、 $| z_{1} + z_{2} | = | z_{1} | + | z_{2} |$ C、 $\bar{z_{1} \cdot z_{2}} = \bar{z_{1}} \cdot \bar{z_{2}}$ D、 $| z_{1} z_{2} | = | z_{1} | | z_{2} |$

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10. 已知函数 $f (x) = s i n (3 x + φ)$ ，其中 $φ \in (0, π)$ ，对于任意 $x \in R$ ，有 $f (\frac{π}{6} - x) = f (\frac{π}{3} + x)$ ，则（）

A、 $φ = \frac{3 π}{4}$ B、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{7}{12} π, 0)$ 对称 C、函数 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{12}, \frac{π}{12})$ 上单调递增 D、函数 $f (x)$ 在 $(- π, π)$ 上共有6个极值点

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11. 已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + y) = f (x) + f (y) + x^{2} y + x y^{2}, f^{^{'}} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，且 $f^{^{'}} (1) = 2$ ，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (x)$ 为奇函数 C、 $f^{^{'}} (- 2) = 7$ D、设 $b_{n} = f^{^{'}} (n) (n \in N^{*})$ ，则 $b_{2024} = 2023 \times 2025 + 2$

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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

12. 已知集合 $A = {x ∣ 3$ ≤ $2 x - 19}, B = {x ∣ a < x < a + 1}$ ，若 $A \cup B = A$ ，则实数 $a$ 的取值范围为.

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13. 已知一个圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，其顶点为 $D$ ，底面圆心为 $O$ ，点 $P$ 是线段DO上的一点， $△ A B C$ 是底面内接正三角形，且 $P A ⊥$ 平面PBC，则 $A C =$ .；三棱锥 $P - A B C$ 的外接球的表面积是.

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14. 以 $m a x M (m i n M)$ 表示数集 $M$ 中最大（小）的数．设 $a > 0, b > 0, c > 0$ ，已知 $a^{2} c + b^{2} c = 1$ ，则 $m i n {m a x {\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}}} =$ .

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四、解答题（其77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15. 已知函数 $f (x) = (x + a) \cdot e^{x} + b (a, b \in R)$ 的图象经过点 $(1, 1)$ ，且 $x = 0$ 是 $f (x)$ 的极值点．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间和最值．

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16. “村超”是贵州省榕江县举办的“和美乡村足球超级联赛”的简称．在2023年火爆“出圈”后，“村超”热度不减.2024年1月6日，万众瞩目的2024年“村超”新赛季在“村味”十足的热闹中拉开帷幕，一场由乡村足球发起的“乐子”正转化为乡村振兴的“路子”．为了解不同年龄的游客对“村超”的满意度，某组织进行了一次抽样调查，分别抽取年龄超过35周岁和年龄不超过35周岁各200人作为样本，每位参与调查的游客都对“村超”给出满意或不满意的评价．设事件 $A =$ “游客对“村超”满意”，事件 $B =$ “游客年龄不超过35周岁”，据统计，
$P (A ∣ B) = \frac{4}{5}, P (B ∣ A) = \frac{8}{15} .$

(1)、根据已知条件，填写下列2×2列联表并说明理由：
年龄
满意度
合计
满意
不满意
年龄不超过35周岁
年龄超过35周岁
合计

(2)、由（1）中 $2 \times 2$ 列联表数据，依据小概率值 $α = 0.01$ 的独立性检验，能否认为游客对“村超”的满意度与年龄有关联?
附： $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ．
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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17. 如图，在正四校锥 $P - A B C D$ 中， $A C \cap B D = O, \vec{P F} = \frac{1}{2} \vec{A D}, \vec{P E} = \frac{1}{2} \vec{D C}$ ，已知 $A B = 2, P C = 3$ ，其中G，H分别为BC，CD的中点.

(1)、证明： $E G / / F H$ ；

(2)、求二面角 $E - P C - F$ 的正弦值.

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18. 已知双曲线 $C : x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ ，过点 $P (1, 1)$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 相交于A，B两点.

(1)、点P能否是线段AB的中点?请说明理由；

(2)、若点A，B都在双曲线 $C$ 的右支上，直线 $l$ 与 $x$ 轴交于点 $Q$ ，设 $\vec{P A} = λ \vec{A Q}, \vec{P B} = μ \vec{B Q} (λ, μ \in R)$ ，求 $\frac{μ}{λ} + \frac{λ}{μ}$ 的取值范围．

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19. 差分密码分析（Differential Cryptanalysis）是一种密码分析方法，旨在通过观察密码算法在不同输入差分下产生的输出差分，来推断出密码算法的密钥信息．对于数列 ${a_{n}} (n \in N^{*})$ ，规定 ${Δ a_{n}}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的一阶差分数列，其中 $Δ a_{n} = a_{n + 1} - a_{n}$ ；规定 ${Δ^{2} a_{n}}$ 为 ${a_{n}}$ 的二阶差分数列，其中 $Δ^{2} a_{n} = Δ a_{n + 1} - Δ a_{n}$ ．如果 ${a_{n}}$ 的一阶差分数列满足 $| Δ a_{i} | \neq | Δ a_{j} | (\forall i, j \in N^{*}, i \neq j)$ ，则称 ${a_{n}}$ 是“绝对差异数列”；如果 ${a_{n}}$ 的二阶差分数列满足 $| Δ^{2} a_{i} | = | Δ^{2} a_{j} | (\forall i, j \in N^{*})$ ，则称 ${a_{n}}$ 是“累差不变数列”．

(1)、设数列A：1，3，7，9，13，15，判断数列 $A$ 是否为“绝对差异数列”或“累差不变数列”，请说明理由；

(2)、设数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n} = 2 n^{2} + n (n \in N^{*})$ ，分别判断 ${Δ a_{n}}, {Δ^{2} a_{n}}$ 是否为等差数列，请说明理由；

(3)、设各项均为正数的数列{C_n}为“累差不变数列”，其前n项和为S_n ，且对 $\forall n \in N^{*}$ ，都有 $\sum_{k = 1}^{n} Δ^{2} c_{k} = Δ^{2} c_{n + 1}$ ，对满足 $n + m = 2 k (m \neq n)$ 的任意正整数n，m，k都有 $c_{m} \neq c_{n}$ ，且不等式 $S_{n} + S_{m} > t S_{k}$ 恒成立，求实数 $t$ 的最大值．

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年龄	满意度		合计
年龄	满意	不满意	合计
年龄不超过35周岁
年龄超过35周岁
合计

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828