广东省湛江市廉江市良垌三中2023-2024学年八年级下学期数学第一次月考试卷

试卷更新日期：2024-04-10 类型：月考试卷

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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。）

1. 下列几组数不能构成直角三角形的是（）

A、 $\sqrt{1} 、 \sqrt{2} 、 \sqrt{3}$ B、2，3，4 C、3，4，5 D、6，8，10

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2. 下列二次根式中，最简二次根式是（）

A、 $\sqrt{4}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{\frac{3}{2}}$ D、 $\sqrt{0.2}$

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3. 在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 9 0^{°}$ ，若 $A C = 1, A B = 2$ ，则BC的长是（）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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4. 下列各式中，与 $\sqrt{6}$ 是同类二次根式的是（）

A、 $\sqrt{12}$ B、 $\sqrt{\frac{2}{3}}$ C、 $\sqrt{30}$ D、 $\sqrt{18}$

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5. 下列运算正确的是（）

A、 $\sqrt{(- 3)^{2}} = - 3$ B、 $4 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} = 1$ C、 $\sqrt{12} \div \sqrt{2} = 6$ D、 $\sqrt{\frac{3}{2}} \times \sqrt{24} = 6$

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中，过点 $A$ 作BC的垂线交BC的延长线于点 $D$ ，已知 $A C = 13, B C = 11$ ， $A D = 12$ ，则AB的长度为（）

A、15 B、16 C、18 D、20

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7. 估计 $\sqrt{32} \times \sqrt{\frac{1}{2}} + \sqrt{12}$ 的值在（）

A、7到8之间 B、8到9之间 C、9到10之间 D、10到11之间

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8. 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，则该三角形的面积为 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [a^{2} b^{2} - {(\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2})}^{2}]}$ ．已知 $△ A B C$ 的三边长a、b、c分别为 $1 、 \sqrt{3} 、 2$ ，则 $△ A B C$ 的面积是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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9. 如图，在四边形ABCD中，对角线分别为AC，BD，且 $A C ⊥ B D$ 交于点 $O$ ，若 $A D = 2$ ， $B C = 6$ ，则 $A B^{2} + C D^{2}$ 的值为（）

A、40 B、38 C、36 D、32

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10. 如图，在Rt $△ A B C$ 中， $∠ C = 9 0^{°}, A B = 10, A C = 8$ ，以 $A$ 为圆心，适当长为半径画弧，交AC，AB于点D，E两点，再分别以D，E为圆心，以大于 $\frac{1}{2} D E$ 的长为半径画弧，两弧交于点 $M$ ，作射线AM交BC于点 $F$ ，则线段BF的长为（）

A、 $\frac{10}{3}$ B、 $\frac{8}{3}$ C、4 D、2

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二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

11. 使代数式 $\sqrt{x - 8}$ 有意义的 $x$ 的取值范围是.

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12. 如图，一棵大树折断后倒在地上，请按图中所标的数据，计算大树没折断前的高度的结果是.

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13. 若最简二次根式 $\sqrt{1 - 2 a}$ 与 $2 \sqrt{7}$ 可以加减合并，则 $a$ 的值是.

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14. 直角 $△ A B C$ 的一条边长为3，另一条边长为4，则第三条边的长为.

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15. 已知 $| a + 2 | + \sqrt{b^{2} - 6 b + 9} = 0$ ，则 $(b - a)^{2} =$ .

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16. 已知 $a = \frac{2}{\sqrt{3} - 1}$ ，则 $a^{2} - 2 a + 7$ ＝．

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三、解答题（本大题共9小题，共72分）

17. 计算： $\sqrt{48} \div \sqrt{3} - \sqrt{\frac{1}{2}} \times \sqrt{12} + \sqrt{24}$ ．

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18. 计算： $(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{3} + \sqrt{2})^{2}$ ．

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19. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ C = 90 °$ ， BD平分 $∠ A B C$ ， $A D = 3$ ， E为 $A B$ 上一点， $A E = 4$ ， $E D = 5$ ，求证： $A D = C D$ ．

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20. 若实数a、b满足 $b = \sqrt{2 - a} + \sqrt{a - 2} + 5$ ，求 $2 a + b$ 的平方根．

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21. 为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路.如图，现从A地分别向C、D、B三地修了三条笔直的公路AC，AD和AB，C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路AC和公路CB互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路DH与公路AB在H处连接，且公路DH和公路AB互相垂直，已知AC=9千米，AB=15千米，BD=5千米.

(1)、求公路CD、AD的长度；

(2)、若修公路DH每千米的费用是2万元，请求出修建公路DH的费用．

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22. 已知： $x = 2 + \sqrt{3}, y = 2 - \sqrt{3}$ ，求：

(1)、 $x^{2} y + x y^{2}$ ，

(2)、 $x^{2} - x y + y^{2}$ 的值．

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23. 已知：如图，在Rt $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 9 0^{°}, A B = 5, A C = 3$ ，动点 $P$ 从点 $B$ 出发沿射线BC以每秒1个单位长度的速度移动，设运动的时间为 $t$ 秒．

(1)、 $B C =$ ， AB边上的高 $h =$ ；

(2)、当 $△ A B P$ 为直角三角形时，求 $t$ 的值．

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24. 像 $(\sqrt{5} + 2) (\sqrt{5} - 2) = 1, \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a (a \geq 0), (\sqrt{b} + 1) (\sqrt{b} - 1) = b - 1$ $(b \geq 0)$ ，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如： $\sqrt{5}$ 与 $\sqrt{5}, \sqrt{2} + 1$ 与 $\sqrt{2} - 1, 2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{5}$ 与 $2 \sqrt{3} - 3 \sqrt{5}$ 等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题：

(1)、化简：① $\frac{2}{3 \sqrt{2}} =$ ；
② $\frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} =$ ；

(2)、计算： $(\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} ⋯ + \frac{1}{\sqrt{2021} + \sqrt{2020}}) (\sqrt{2021} + 1)$ ；

(3)、已知 $a = \sqrt{2020} - \sqrt{2019}, b = \sqrt{2021} - \sqrt{2020}, c = \sqrt{2022} - \sqrt{2021}$ ，试比较a，b， $c$ 的大小，并说明理由．

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25. 学完勾股定理后，小宇碰到了一道题：如图1，在四边形ABCD中， $A C ⊥ B D$ ，垂足为 $O$ ，若 $A B = 5, C D = 4, B C = 6$ ，则AD的长为 ▲.
他不会做，去问同桌小轩，小轩通过思考后，耐心地对小宇讲道：“因为 $A C ⊥ B D$ ，垂足为 $O$ ，那么在四边形ABCD中有四个直角三角形，利用勾股定理可得
$A D^{2} = O A^{2} + O D^{2}, B C^{2} = O B^{2} + O C^{2}, A B^{2} = O A^{2} + O B^{2}, C D^{2} = O C^{2} + O D^{2}$ "小轩话没讲完，小宇就讲道：“我知道了，原来 $A D^{2} + B C^{2}$ 与 $A B^{2} + C D^{2}$ 之间有某种数量关系．”并对小轩表示感谢．

(1)、请你直接写出AD的长.

(2)、如图2，分别在△ABC的边BC和边AB上向外作等腰Rt $△ B C Q$ 和等腰Rt $△ A B P$ ，连接PC，PQ.
①若AC=4，BC=8，连接AQ，交PC于点 $D$ ，当 $∠ A C B = 9 0^{°}$ 时，求PQ的长；
②如图3，AB=10，BC=8， $P C = 8 \sqrt{3}$ ，当 $∠ A C B \neq 9 0^{°}$ 时，求 $△ A B C$ 的面积．

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