浙江省宁波市镇海区蛟川书院2023-2024学年九年级（下）开学数学试卷

试卷更新日期：2024-04-10 类型：开学考试

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一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 若2x＝5y，则 $\frac{x}{y}$ 的值是（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{5}{4}$

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2. 如图，一块矩形ABCD绸布的长AB=a，宽AD=1，按照图中的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形ABCD绸布相似，则a的值等于（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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3. 如图，边长为1的菱形ABCD绕点A旋转，当B、C两点恰好落在扇形AEF的弧EF上时，弧BC的长度等于（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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4. 为测量操场上篮筐的高AB，小明站在点Q处的眼睛P与地面的距离PQ为1.7米，与AB的距离PC为2.5米，若仰角∠APC为θ，则篮筐的高AB可表示为（）

A、（1.7+2.5tanθ）米 B、（1.7+ $\frac{2.5}{\tan θ}$ ）米 C、（1.7+2.5sinθ）米 D、（1.7+ $\frac{2.5}{\sin α}$ ）米

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5. 如图，在⊙O中，AB是弦，C是弧AB上一点．若∠OAB＝25°，∠OCA＝40°，则∠BOC的度数为（）

A、30° B、40° C、50° D、60°

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6. ⊙O的半径为5，M是圆外一点，MO＝6，∠OMA＝30°，则弦AB的长为（　　）

A、4 B、6 C、6 $\sqrt{3}$ D、8

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7. 如图，正六边形 $A B C D E F$ 外作正方形 $D E G H$ ，连接 $A H$ 交 $D E$ 于点 $O$ ，则 $\frac{O A}{O H}$ 等于（）

A、 $3$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2$ D、 $\sqrt{2}$

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8. 如图 $(1)$ ，一只圆形平盘被同心圆划成 $M$ ， $N$ ， $S$ 三个区域，随机向平盘中撒一把豆子，计算落在 $M$ ， $N$ ， $S$ 三个区域的豆子数的比，多次重复这个试验，发现落入三个区域的豆子数的比显示出一定的稳定性，总在三个区域的面积之比附近摆动 $.$ 如图 $(2)$ 将一根筷子放在该盘中 $A B$ 位置，发现三个圆弧刚好将 $A B$ 五等分，我们把豆子落入三个区域的概率分别记作 $P (M)$ ， $P (N)$ ， $P (S)$ ，已知 $P (S) = \frac{1}{5}$ ，则 $P (M)$ 等于（）

A、 $\frac{8}{15}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{4}{15}$ D、 $\frac{1}{5}$

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9. 如果一个圆的内接三角形有一边的长度等于半径，那么称其为该圆的“半径三角形” $.$ 给出下面四个结论：
$①$ 一个圆的“半径三角形”有无数个； $②$ 一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形； $③$ 当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是 $30 °$ ， $120 °$ 或 $150 °$ ； $④$ 若一个圆的半径为 $2$ ，则它的“半径三角形”面积最大值为 $2 \sqrt{3}$ ．
上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A、 $① ②$ B、 $② ③$ C、 $① ② ③$ D、 $① ② ④$

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10. 当 $a \neq b$ 时，将 $(a, b)$ ， $(b, a)$ 两个点称为一对“关联的对称点” $.$ 若抛物线 $y = - x^{2} + x + c (c$ 是常数 $)$ 总存在一对“关联的对称点”，则 $c$ 的取值范围是（）

A、 $c < 2$ B、 $c < 1$ C、 $c > 2$ D、 $c > 1$

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二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。

11. 二次函数 $y = 2 x^{2} + 4 x + 5$ 的顶点坐标为

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12. 如图，AB、CD为 $⊙ O$ 的两条弦，若 $∠ B + ∠ C = 90^{°} ， A B^{2} + C D^{2} = 100$ ，则 $⊙ O$ 的半径为..

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13. 如图， $D$ 、 $E$ 分别是 $△ A B C$ 的边 $A B$ 、 $B C$ 上的点， $D E / / A C$ ，若 $S_{△ D O E}$ ： $S_{△ C O A} = 1$ ： $25$ ，则 $S_{△ B D E}$ ： $S_{△ C D E} =$ ．

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14. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于半径为 $2 \sqrt{3}$ 的圆， $∠ A = 120 °$ ， $∠ B = 45 °$ ， $A B = A D$ ，则四边形 $A B C D$ 的周长为．

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15. 贴春联是中国传统习俗，晓红老家有个圆形拱门，每年都会贴上长长的春联，看上去非常喜庆 $.$ 晓红用圆弧近似模拟拱门，经测量发现， $\overset{⏜}{A D B}$ 的拱高 $C D$ 和其所对的弦 $A B$ 都是 $2 m$ ， $\overset{⏜}{E B}$ 所对的圆心角是 $150 °$ ，弦 $A B$ 与春联的底端平齐， $E$ 点正好是春联外侧最高点，则春联的外侧长度大约是 $m . ($ 参考数据 $\sqrt{3} = 1.732$ ，结果按四舍五入法精确到 $0.1)$

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16. 已知抛物线 $y = x^{2} - 3 m x + 2 m^{2} - 1 (m > 0)$ 与直线 $y = - 1$ 相交于点 $A$ ， $B ($ 点 $B$ 在点 $A$ 右侧 $)$ ，且 $A B = 2$ ．

(1)、 $m$ 的值是．

(2)、直线 $x = n (2 \leq n \leq 4)$ 与抛物线 $y = x^{2} - 3 m x + 2 m^{2} - 1$ 相交于点 $P$ ，与直线 $y = k x - 2 (k > 0)$ 相交于点 $Q$ ， $l = P Q .$ 若 $l$ 随 $n$ 的增大而增大，则 $k$ 的取值范围是．

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三、解答题：本题共3小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. 求下列各式的值：

(1)、 $s i n 45 ° c o s 45 ° + 4 t a n 30 ° s i n 60 °$ ；

(2)、 $c o s 60 ° - 2 s i n^{2} 45 ° + \frac{2}{3} {t a n}^{2} 60 ° - s i n 30 °$ ．

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18. 如图1，已知二次函数图象与 $y$ 轴交点为 $C (0,3)$ ，其顶点为 $D (1,2)$ ．

(1)、求二次函数的表达式；

(2)、将二次函数图象平移，使其顶点与原点重合，然后将其图象绕 $O$ 点顺时针旋转 $90 °$ 得到抛物线 $G$ ，如图，直线 $y = - x + 2$ 与 $G$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $P$ 为 $G$ 上位于直线 $A B$ 左侧一点，求 $△ A B P$ 面积最大值，及此时点 $P$ 的坐标．

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19. 已知锐角 $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ， $B E ⊥ A C$ 于点 $E$ ，交 $A D$ 于点 $G$ ，交 $⊙ O$ 于点 $F$ ，连结 $A F .$ 连结 $C F$ ， $A D = B D$ ．

(1)、直接写出 $C F$ 与 $G D$ 的数量关系；

(2)、如图，连结 $O D$ ， $O G$ ，在 $B G$ 上取点 $M$ ，使得 $∠ B D M = ∠ A C F$ ， $D M = 2 \sqrt{2}, B G = 5$ ，求 $△ O D G$ 的面积．

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