浙江省杭州市余杭区2023-2024学年八年级下学期3月月考数学试题

试卷更新日期：2024-04-10 类型：月考试卷

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一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求．

1. 式子 $\sqrt{x + 2}$ 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

A、 $x > - 3$ B、 $x ≥ - 2$ C、 $x < - 3$ D、 $x ≤ - 2$

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2. 无理数 $\sqrt{5}$ 的倒数是（）

A、 $- \sqrt{5}$ B、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $- 5$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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3. 下列各式正确的是（）

A、 $\sqrt{a^{2}} = a$ B、 $\sqrt{a^{2}} = \pm a$ C、 ${(\sqrt{a^{2}})}^{2} = \pm a$ D、 $\sqrt{a^{2}} = | a |$

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4. 下列二次根式中能与 $\sqrt{3}$ 合并的是（）

A、 $\sqrt{8}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $\sqrt{12}$ D、 $\sqrt{13}$

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5. 已知 $x = 1$ 是关于x的一元二次方程 $x^{2} + x + 2 a = 0$ 的一个解，则a的值为（）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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6. 若 $x_{1} ， x_{2}$ 是方程 $x^{2} - 6 x - 7 = 0$ 的两个根，则（）

A、 $x_{1} + x_{2} = 6$ B、 $x_{1} + x_{2} = - 6$ C、 $x_{1} \cdot x_{2} = \frac{7}{6}$ D、 $x_{1} \cdot x_{2} = 7$

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7. 下列选项中的整数，与 $\sqrt{15}$ 最接近的是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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8. 如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为3和9，则阴影部分的面积（）

A、6 B、3 C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{3} - 3$

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9. 若a ， b ， c为常数，且 ${(a - c)}^{2} > a^{2} + c^{2}$ ，则关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 根的情况是（）

A、有两个相等的实数根 B、无实数根+ C、有两个不相等的实数根 D、有一根为0

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10. 已知方程 $x^{2} - 6 x + q = 0$ 可以配方成 ${(x - p)}^{2} = 7$ 的形式，那么 $x^{2} - 6 x + q = 2$ 可以配方成下列各式中的哪一个？（）

A、 ${(x - p)}^{2} = 5$ B、 ${(x - p)}^{2} = 9$ C、 ${(x - p + 2)}^{2} = 9$ D、 ${(x - p + 2)}^{2} = 5$

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二、填空题：本题有6个小题，每小题3分，共18分．

11. 当 $x = 1$ 时，二次根式 $\sqrt{10 - x}$ 的值为．

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12. 计算： $\sqrt{{(3 - π)}^{2}}$ 的结果等于．

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13. 若关于x的一元二次方程 $a x^{2} - 2 a x + b + 1 = 0$ （ $a b \neq 0$ ）的根为 $x_{1} = x_{2} = k$ ，则k的值为．

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14. 已知 $m = 2 + \sqrt{2}$ ， $n = 2 - \sqrt{2}$ ，则代数式 $\sqrt{m^{2} + n^{2} + 3 m n}$ 的值为．

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15. 如图，一块长5米、宽4米的地毯，为了美观，设计了两横、两纵的配色条纹（图中阴影部分），已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的 $\frac{2}{5}$ ，则配色条纹的宽度是米．

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16. 若关于x的一元二次方程 $(x - 2) (x - 3) = m$ 有实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，有下列结论：
① $m ≥ - \frac{1}{4}$ ；
②若 $x_{1} = 1$ ，则 $x_{2} = 4$ ；
③关于x的方程 $(x - 3) (x - 4) = m$ 的根为 $x_{1} - 1$ ， $x_{2} - 1$ ；
④关于x的方程 $(x - x_{1}) (x - x_{2}) + m = 0$ 的根为2，3．
其中正确结论的有．

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三、解答题：本题有8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 计算：

(1)、 $\sqrt{12} \times \sqrt{3}$ ；

(2)、 $\sqrt{5} \times \sqrt{10} - \sqrt{10} \div \sqrt{5}$ ．

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18. 解方程：

(1)、 $x^{2} - 3 = 0$ ；

(2)、 $x^{2} - 4 x - 7 = 0$ ．

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19. 如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，请在所给网格中按下列要求画出图形．

(1)、已知点A在格点（即小正方形的顶点）上，画一条线段AB ，长度为 $\sqrt{10}$ ，且点B在格点上．

(2)、以（1）中所画的线段AB为一边，另外两条边长分别为 $\sqrt{5}$ ， $\sqrt{13}$ ．画一个△ABC ，使点C在格点上（只需画出符合条件的一个三角形）．

(3)、所画出的△ABC的边AB上的高线长为．

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20. 关于x的一元二次方程 $(m - 1) x^{2} - 2 m x + m + 1 = 0$ （ $m \neq 1$ ）．

(1)、求证：方程总有两个不相等的实数根．

(2)、求证： $x = 1$ 是该方程的根．

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21.

(1)、求代数式 $a + \sqrt{1 - 2 a + a^{2}}$ 的值，其中 $a = 1012$ ．
如图是小亮和小芳的解答过程：
（填“小亮”或“小芳”）的解法是错误的，错误的原因在于未能正确的运用二次根式的性质：（填字母）．
A． $\sqrt{a^{2}} = | a |$ B． ${(\sqrt{a})}^{2} = a$

(2)、化简： $\sqrt{a^{2} - 6 a + 9}$ ．

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22. 某合作社2021年到2023年每年种植土豆100亩，2021年土豆的平均亩产量为1000千克，2022年到2023年引进先进的种植技术，2023年土豆的平均亩产量达到1440千克．

(1)、若2022年和2023年土豆的平均亩产量的年增长率相同，求土豆平均亩产量的年增长率为多少？

(2)、2024年该合作社计划在保证土豆种植的总成本不变的情况下，增加土豆的种植面积，经过统计调查发现，2023年每亩土豆的种植成本为1200元，若土豆的种植面积每增加1亩，则每亩土豆的种植成本将下降10元，求该合作社增加土豆种植面积多少亩，才能保证土豆种植的总成本不变？

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23. 【综合与实践】
【问题情境】课堂上，老师让同学们复习一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ （ $a \neq 0$ ）的多种解法，在讨论这些解法之间的关系时，小组同学发言如下：

(1)、【操作判断】小彬：分解因式法可以解特殊结构的一元二次方程，基本思路是通过分解因式将方程变形为 $(x - m) (x - n) = 0$ 的形式，这样就可以将原方程化为两个一元一次方程 $x - m = 0$ 或，进而得到原方程的根为 $x_{1} = m$ ， $x_{2} =$ ．

(2)、【实践探究】小文：分解因式法虽好，但是有些方程用这个方法不太方便，比如 $x^{2} - 4 x + 2 = 0$ ，这个方程利用公式法或者配方法可得： $x_{1} = 2 + \sqrt{2}$ ， $x_{2} = 2 - \sqrt{2}$ ，但我们能反过来利用这两个解帮助我们对 $x^{2} - 4 x + 2$ 进行因式分解得到 $(x - 2 - \sqrt{2}) (x - 2 + \sqrt{2})$ ，请你利用这个方法对 $x^{2} + 2 x - 1$ 进行因式分解．

(3)、【问题解决】小彬：从特殊到一般，是否所有的代数式 $a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ）都能进行因式分解呢？请说明能进行因式分解的代数式 $a x^{2} + b x + c$ 中的a ， b ， c要满足什么条件，因式分解的结果是什么？

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24. 若m ， n为正实数， $\frac{m}{n} = k$ ， t是关于x的方程 $x^{2} + 2 m x = n^{2}$ 的一正实根．

(1)、求证： ${(t + m)}^{2} = m^{2} + n^{2}$ ．

(2)、若 $k = 2$ ，求 $\frac{t}{n}$ 的值．

(3)、用含k的代数式表示 $\frac{t}{n}$ ．

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