浙江省杭州市余杭区2023-2024学年九年级下学期3月月考数学试题

试卷更新日期：2024-04-10 类型：月考试卷

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一、选择题：本题有10小题，每题3分，共30分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选或错选均不得分.

1. 下列实数中，是有理数的是（）

A、 $\sqrt{8}$ B、 $\sqrt{9}$ C、 $\sqrt{12}$ D、 $\sqrt{27}$

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2. 下列运算正确的是（）

A、 $(x - 1) (x + 1) = x^{2} - x - 1$ B、 $x^{2} - 2 x + 3 = {(x - 1)}^{2} + 4$ C、 ${(x - 1)}^{2} = x^{2} - 2 x - 1$ D、 $(x - 1) (- 1 - x) = 1 - x^{2}$

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3. 我国古代科举制度始于隋成于唐，兴盛于明.明代会试分南卷、北卷、中卷，按 $11 : 7 : 2$ 的比例录取，若某年会试录取人数为100，则中卷录取人数为（）

A、10 B、35 C、55 D、75

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4. 若实数 $a$ ， $b$ 满足 $\frac{a - 12}{b} = 0$ ，则（）

A、 $a + b > 0$ B、 $a - b > 0$ C、 $a + b^{2} > 0$ D、 $a - b^{2} < 0$

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5. 《庄子・天下》云：“一尺之捶，日取其半，万世不竭”.若设捶长为1，天数为 $n$ ，则（）

A、 $\frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{2^{n}} < 1$ B、 $\frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{2^{n}} = 1$ C、 ${(\frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{2^{n}})}^{n} > 1$ D、 $n \times (\frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{2^{n}}) = 1$

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6. 已知一组样本数据 $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{n}$ 为不全相等的 $n$ 个正数，其中 $n ⩾ 4$ .若把数据 $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{n}$ 都扩大 $m$ 倍再减去 $l$ （其中 $m$ 是实数， $l \neq 0$ ），生成一组新的数据 $m x_{1} - l, m x_{2} - l, \cdot \cdot \cdot, m x_{n} - l$ ，则这组新数据与原数据相比较，（）

A、平均数相等 B、中位数相等 C、方差相等 D、标准差可能相等

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7. 如图，矩形 $A B C D$ 是由4块矩形拼接而成，矩形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 是由4个直角三角形和一个平行四边形拼接而成.则（）

A、 $a c + b d = a d + b c$ B、 $a^{2} + d^{2} = b^{2} + c^{2}$ C、 ${(a c + b d)}^{2} ⩾ (a^{2} + d^{2}) (b^{2} + c^{2})$ D、 ${(a c + b d)}^{2} ⩽ (a^{2} + d^{2}) (b^{2} + c^{2})$

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8. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的 $y$ 与 $x$ 的部分对应值如下表，则下列判断中错误的是（）
$x$
…
$- 1$
0
2
3
4
…
$y$
…
5
0
$- 4$
$- 3$
0
…

A、抛物线开口向上 B、抛物线的对称轴是直线 $x = 2$ C、当 $0 < x < 4$ 时， $y < 0$ D、若 $A (x_{1}, 2)$ ， $B (x_{2}, 3)$ 是图象上两点，则 $x_{1} < x_{2}$

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9. 如图，以正八边形 $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6} A_{7} A_{8}$ 的一条边 $A_{1} A_{2}$ 为边，向形外作一个正方形.在正八边形内作两条对角线，交于点 $B$ .则 $∠ A B C =$ （）

A、 $22.5 °$ B、 $25 °$ C、 $25.5 °$ D、 $30 °$

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10. 设函数 $y_{1} = x^{2} + b x + c$ 的图象与 $x$ 轴交点的横坐标分别为 $α_{1}$ ， $β_{1}$ ，函数 $y_{2} = x^{2} + d x + e$ 的图象与 $x$ 轴交点的横坐标分别为 $α_{2}$ ， $β_{2}$ .当 $x = α_{2}$ 和 $β_{2}$ 时，函数 $y_{1}$ 的值分别为 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ；当 $x = α_{1}$ 和 $β_{1}$ 时，函数 $y_{2}$ 的值分别为 $A_{2}$ ， $B_{2}$ ，则（）

A、 $A_{1} B_{1} = A_{2} B_{2}$ B、 $A_{1} + B_{1} = A_{2} + B_{2}$ C、 $A_{1} B_{2} = A_{2} B_{1}$ D、 $A_{1} + B_{2} = A_{2} + B_{1}$

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二、填空题：本题有6小题，每题3分，共18分.

11. 若二次根式 $\sqrt{1 - 2 x}$ 有意义，写出一个满足条件的 $x$ 的值：.

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12. 若某个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是边形（用数字作答）.

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13. 国内生产总值（GDP）是衡量某一地区经济状况的指标。统计显示，某市2023年间四个季度的GDP逐季增长，第一个季度和第四季度的GDP分别为232亿元241亿元.若四个季度GDP的中位数和平均数相等，则该市2023年全年的GDP为亿元.

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14. 已知函数 $y = x^{2} - 8 x + 10$ ，设实数 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ 满足 $a_{2} = a_{1} + 1$ ， $a_{3} = a_{2} + 1$ ，当 $x$ 取 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ 时，对应的函数值分别为 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ .当 $y_{1} + y_{2} + y_{3}$ 的值最小时，则 $a_{1} =$ .

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15. 设 $x > 1$ ，若 $10 \sqrt{2} x = x^{2} + 1$ ，则 $\frac{14 x}{x^{2} - 1} =$ .

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16. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A D = 2$ ， $A B = \sqrt{3}$ ，点 $P$ 为 $B C$ 边上一点，则 $A P + \frac{1}{2} P C$ 的最小值等于.

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三、解答题：本题有8小题，共72分.

17. 已知 $a = 3 - \sqrt{5}$ ， $b = \sqrt{5} - 1$ ，求 $\frac{a}{b^{2}} - \frac{b^{2}}{a}$ 的值.

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18. 如图，某无人机爱好者在可飞行区域放飞无人机，当无人机飞行到一定高度 $A$ 点处时，无人机测得操控者 $B$ 的俯角约为 $53 °$ ，测得某建筑物 $C D$ 顶端点 $C$ 处的俯角约为 $45 °$ .已知操控者 $B$ 和建筑物 $C D$ 之间的水平距离为 $40 m$ ，此时无人机距地面 $B C$ 的高度为 $32 m$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 在同一平面内，求建筑物 $C D$ 的高度（计算结果保留整数）.
（参考数据： $s i n 53 ° \approx 0.799$ ， $c o s 53 ° \approx 0.602$ ， $t a n 53 ° \approx 1.33$ ）

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19. 在一项科学实验中，研究人员对不同形状的物体进行了压力测试，这些物体的质量相同，但形状各异.研究人员将这些物体放置在水平的测试平台上，并记录了测试平台受到的压力（单位： $P a$ ）与受力面积（单位： $m^{2}$ ）之间的关系，结果如下表所示.
桌面所受压强 $P (P a)$
50
100
200
400
受力面积 $S (m^{2})$
2
1
0.5
0.25

(1)、根据如表数据，求桌面所受压强 $P (P a)$ 与受力面积 $S (m^{2})$ 之间的函数表达式.

(2)、现将相同质量，且边长为 $0.2 m$ 的正方体放置于该水平玻璃桌面上.若该玻璃桌面能承受的最大压强为 $5000 P a$ ，请你判断这种摆放方式是否安全？并说明理由.

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20. 公司在购买某种机器时，往往会给每台机器分别一次性额外购买若干次维修服务，每次维修服务费为2000元.此类机器一般使用期为五年，如果维修次数未超过购机时购买的维修服务次数，则每次实际维修时还需支付工时费500元；如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，超出部分每次维修服务费为5000元（含工时费）.甲公司计划购买1台该种机器，为决策在购买机器时应同时一次性额外购买几次维修服务，搜集并整理了100台这种机器在五年使用期内的维修次数，整理得下表：
维修次数
8
9
10
11
12
频数（台数）
10
20
30
30
10

(1)、以这100台机器为样本，估计“1台机器在五年使用期内维修次数不大于10”的概率.

(2)、试以这100台机器维修费用的平均数作为决策依据，说明购买1台该机器的同时应一次性额外购10次还是11次维修服务更省钱？

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21. 已知一次函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 的图象经过点 $A (1, 3)$ ，且与 $y$ 轴交于点 $B (0, 5)$ .

(1)、求该函数表达式.

(2)、若一次函数 $y = c x - 1 (c \neq 0)$ 的图象与一次函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 图象交于点 $C (a, 1)$ ，求 $a$ ， $c$ 的值.

(3)、当 $x > 3$ 时，对于 $x$ 的每一个值，函数 $y = m (x - 2) + 1 (m \neq 0)$ 的值都大于 $y = k x + b (k \neq 0)$ 的值，求 $m$ 的取值范围.

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22. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是 $A B$ 的中点，连结 $E C$ ， $E D$ ，过点 $C$ 作 $D E$ 的垂线交 $D E$ ， $A D$ 于点 $G$ ， $F$ .

(1)、求证： $F$ 是 $A D$ 的中点.

(2)、求 $\frac{E G}{C G}$ 的值.

(3)、求 $△ E C G$ 与四边形 $A E G F$ 的面积比.

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23. 【问题背景】
水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂.图1是某学校兴趣小组制做出的一款简易弹射水火箭.
【实验操作】
为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离 $x$ （单位： $m$ ）与飞行时间 $t$ （单位： $s$ ）的数据，并确定了函数表达式为： $x = 3 t$ .同时也收集了飞行高度 $y$ （单位： $m$ ）与飞行时间 $t$ （单位： $s$ ）的数据，发现其近似满足二次函数关系.数据如表所示：
飞行时间 $t / s$
0
2
4
6
8
…
飞行高度 $y / m$
0
10
16
18
16
…

(1)、任务1：【建立模型】
求 $y$ 关于 $t$ 的函数表达式.

(2)、任务2：【反思优化】
图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为 $P Q$ ），当弹射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段 $A B$ 为水火箭回收区域，已知 $A P = 42 m$ ， $A B = (18 \sqrt{2} - 24) m$ .
探究飞行距离，当水火箭落地（高度为 $0 m$ ）时，求水火箭飞行的水平距离.

(3)、任务3：在（2）的条件下，当水火箭落到 $A B$ 内（包括端点 $A$ ， $B$ ），求发射台高度 $P Q$ 的取值范围.

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24. 已知点 $A$ ， $B$ ， $E$ ， $F$ 是 $⊙ O$ 上的四个点，且弦 $E B > B F$ ， $A M ⊥ E B$ 于点 $M$ .

(1)、如图1，点 $A$ 是 $\overset{⌢}{E B F}$ 的中点，在探究 $E M$ ， $B M$ ， $B F$ 之间的数量关系时，圆圆同学提出解决的思路：在 $E B$ 上截取 $E C = B F$ ，连结 $A C$ ，可以通过证明三角形全等，从而得到有关线段的等量关系.请你帮圆圆同学写出完整的探究过程.

(2)、如图2， $△ A E F$ 是等边三角形，若 $A E = 20$ ， $∠ A E B = 45 °$ ，利用（1）的结论，求 $△ B E F$ 的周长.

(3)、如图3，若 $∠ E B F = 58 °$ ， $E B = 25$ ， $F B = 19$ ， $B M = 3$ ，连结 $E A$ ，求 $∠ A E F$ 的度数.

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桌面所受压强 $P (P a)$	50	100	200	400
受力面积 $S (m^{2})$	2	1	0.5	0.25

飞行时间 $t / s$	0	2	4	6	8	…
飞行高度 $y / m$	0	10	16	18	16	…

维修次数	8	9	10	11	12
频数（台数）	10	20	30	30	10