广东省韶关市2023-2024学年九年级下学期数学月考试卷

试卷更新日期：2024-04-10 类型：月考试卷

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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）

1. －2024的倒数是（）

A、－2024 B、 $\frac{1}{2024}$ C、 $- \frac{1}{2024}$ D、2024

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2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 函数 $y = \sqrt{x - 2}$ 中，自变量x的取值范围是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 下列计算正确的是（）

A、 $2 a \times a^{2} = 3 a^{3}$ B、 $a^{6} \div a^{2} = a^{3}$ C、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$ D、 $a^{- 2} = \frac{1}{a^{2}} (a \neq 0)$

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5. 已知一组数据2，3，5，3，7，关于这组数据，下列说法不正确的是（）

A、众数是3 B、平均数是4 C、中位数是5 D、极差是5

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6. 如图所示的几何体的左视图为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知 $a > b$ ，下列不等式一定成立的是（）

A、 $a + 1 < b + 1$ B、 $\frac{a}{3} > \frac{b}{3}$ C、 $- 3 a > - 3 b$ D、 $a - c < b - c$

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8. 如图，烧杯内液体表面 $A B$ 与烧杯下底部 $C D$ 平行，光线 $E F$ 从液体中射向空气时发生折射，光线变成 $F H$ ，点 $G$ 在射线 $E F$ 上．已知 $∠ H F B = 20 °$ ， $∠ F E D = 60 °$ ，则 $∠ G F H$ 的度数为（）

A、 $20 °$ B、 $40 °$ C、 $60 °$ D、 $80 °$

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9. 如图，在 $⊙ O$ 中，AB为直径， $∠ D A C = 20 °$ ，弦 $C D = C B$ ，则 $∠ A D C =$ （）

A、100° B、110° C、120° D、150°

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10. 如图所示，边长为4的正方形ABCD中，对角线AC ， BD交于点O ，点E在线段OD上，连接CE ，作 $E F ⊥ C E$ 交AB于点F ，则① $E F = E C$ ；② $C F^{2} = C G \cdot C A$ ；③ $C O \cdot C G = E H \cdot E B$ ；④若 $D E = 1$ ，则 $B F = 4 - \sqrt{2}$ 正确的是（）

A、①②③ B、①③④ C、①②④ D、①②③④

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二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，满分28分）

11. $\sqrt{9}$ 的平方根是

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12. 若 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 是方程 $x^{2} - 3 x - 2 = 0$ 的两个实数根，则 $(x_{1} + 1) (x_{2} + 1)$ 的值为．

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13. 分式方程 $\frac{3}{x - 1} = \frac{2}{x - 1}$ 的解是．

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14. 已知反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 经过点 $A (1, 6)$ 、 $B (- 3, m)$ ，则m为．

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15. 一个n边形的内角和为 $1080 °$ ，则这个n是．

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16. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ B = 44 °$ ，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当的长为半径作弧，分别交AC ， AB于M ， N两点；②分别以点M ， N为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线AP ，交BC于点E ．则 $∠ C A E =$ °．

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17. 如图，四边形ABCD是正方形，曲线 $D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} A_{2} B_{2} \cdot \cdot \cdot$ 叫做“正方形的渐开线”，其中 $\overset{⌢}{D A_{1}}$ 的圆心为点A ，半径为AD； $\overset{⌢}{A_{1} B_{1}}$ 的圆心为点B ，半径为 $B A_{1}$ ； $\overset{⌢}{B_{1} C_{1}}$ 的圆心为点C ，半径为 $C B_{1}$ ； $\overset{⌢}{C_{1} D_{1}}$ 的圆心为点D ，半径为 $D C_{1}$ ；… $\overset{⌢}{D A_{1}}$ 、 $\overset{⌢}{A_{1} B_{1}}$ 、 $\overset{⌢}{B_{1} C_{1}}$ 、 $\overset{⌢}{C_{1} D_{1}}$ …的圆心依次按A、B、C、D循环．当 $A B = 1$ 时，则 $\overset{⌢}{A_{2024} B_{2024}}$ 的长是．

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三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，满分18分）

18. 计算： ${(\frac{1}{2})}^{- 1} - 4 \sin 60 ° - {(1 - \sqrt{3})}^{0} + \sqrt{12}$ ．

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19. 先化简，再求值： $\frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 6 x + 9} - \frac{x}{x - 3}$ ，其中 $x = 4$ ．

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20. 如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把 $△ A C D$ 沿CA方向平移得到 $△ A^{'} C^{'} D^{'}$ ．

(1)、求证： $△ A^{'} A D^{'} ≌ △ C C^{'} B$ ；

(2)、若 $∠ A C B = 30 °$ ，试问当点 $C^{'}$ 在线段AC上的什么位置时，四边形 $A B C^{'} D^{'}$ 是菱形，并请说明理由．

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四、解答题（二）（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

21. 我国的教育方针是：教育必须为社会主义现代化建设服务，为人民服务，与生产劳动和社会实践相结合，培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人．为培养德智体美劳全面发展的优秀人才，某中学开展了一系列精品课程，其中有一门课程《研学旅行》，九年级（2）班数学兴趣小组对本班同学对《研学旅行》课的喜欢程度进行了调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题：

(1)、九年级（2）班共有学生名；

(2)、九年级共有学生300人，根据上述调查结果，估计九年级学生选择D类的大约有多少人？

(3)、该校德育处决定从九年级（2）班调查的A类的4人中，抽2人到八年级开展研学宣讲，若在调查的A类4人中，刚好有2名男生2名女生，用画树状图或列表的方法求抽到的一男一女的概率．

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22. 仁化县传统土特产品“红山白毛茶”汤色清淡、口味甘甜，为我国三大白毛茶之首；“石塘堆花米酒”集色清、气香、味醇、质好于一身，在粤北颇有名气．已知2件红山白毛茶和3件石塘堆花米酒进货价为240元，3件红山白毛茶和4件石塘堆花米酒进货价为340元．

(1)、分别求出每件红山白毛茶、石塘堆花米酒的进价；

(2)、某特产店计划用不超过10440元购进红山白毛茶、石塘堆花米酒共200件，且红山白毛茶的数量不低于石塘堆花米酒数量的 $\frac{3}{2}$ ，该特产店有哪几种进货方案？

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五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，满分24分）

23. 如图，AB是 $⊙ O$ 的直径，C为圆上一点，D是劣弧BC的中点， $D E ⊥ A B$ 于E ，过点D作BC的平行线DM ，连接AC并延长与DM相交于点G ，连接AD与BC交于点H ．

(1)、求证：GD是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、求证： $A D^{2} = A B \cdot A G$ ；

(3)、若 $C D = 6$ ， $A D = 8$ ，求AH的值．

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24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 2$ 与x轴交点为 $A (- 4, 0)$ 、 $B (1, 0)$ ，与y轴交于点C ， P为抛物线上一动点且在AC上方，过点P作 $P D ⊥ A C$ 于点D ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、过P作 $P E ⊥ x$ 轴于E ，交AC于F ．求① $s i n ∠ P F D$ 的值；②PD的最大值；

(3)、连接PC ，是否存在一点P ，使得 $△ P C D$ 与 $△ A C O$ 相似，若存在，求出P的坐标；若不存在，请说明理由．

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