广东省深圳市2023-2024学年九年级下学期数学3月（一模）质量检测试卷

试卷更新日期：2024-04-10 类型：中考模拟

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 2024的倒数是（）

A、2024 B、 $- 2024$ C、 $\frac{1}{2024}$ D、 $- \frac{1}{2024}$

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2. 2023年“亚运 $+$ 双节”让杭州火出圈，相关数据显示，国庆期间杭州共接待游客约13000000人次，将数据13000000用科学记数法表示为（）

A、 $1.3 \times 1 0^{6}$ B、 $1.3 \times 1 0^{7}$ C、 $0.13 \times 1 0^{8}$ D、 $13 \times 1 0^{6}$

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3. 第19届亚运会于9月23日至10月8日在杭州成功举办，下列图形中是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 如图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为（）

A、 B、 C、 D、

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5. “立身以立学为先，立学以读书为本．”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆200人次，前三个月累计进馆728人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为 $x$ ，依题意可列方程（）

A、 $200 (1 + x)^{2} = 728$ B、 $200 (1 + x) + 200 (1 + x)^{2} = 728$ C、 $200 (1 + x + x^{2}) = 728$ D、 $200 + 200 (1 + x) + 200 (1 + x)^{2} = 728$

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6. 下列计算正确的是（）

A、 $3 a^{2} \cdot 2 a^{3} = 6 a^{6}$ B、 $2^{0} = 0$ C、 $(4 x^{3})^{2} = 16 x^{6}$ D、 $3^{- 2} = - \frac{1}{9}$

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7. 对一组数据：4、6、 $- 4$ 、6、8，描述正确的是（）

A、中位数是 $- 4$ B、平均数是5 C、众数是6 D、方差是7

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8. 如图， $Δ A B C$ 与 $Δ D E F$ 位似，点 $O$ 为位似中心， $A D = 2 A O$ ，若 $Δ A B C$ 的周长是5，则 $Δ D E F$ 的周长是（）

A、10 B、15 C、20 D、25

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9. $A$ ， $B$ 两地相距60千米，一艘轮船从 $A$ 地顺流航行至 $B$ 地所用时间比从 $B$ 地逆流航行至 $A$ 地所用时间少45分钟，已知船在静水中航行的速度为20千米 $/$ 时．若设水流速度为 $x$ 千米 $/$ 时 $(x < 20)$ ，则可列方程为（）

A、 $\frac{60}{20 - x} - \frac{60}{20 + x} = \frac{3}{4}$ B、 $\frac{60}{20 + x} - \frac{60}{20 - x} = \frac{3}{4}$ C、 $\frac{60}{20 + x} - \frac{60}{20 - x} = 45$ D、 $\frac{60}{20 - x} - \frac{60}{20 + x} = 45$

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10. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $Δ B P C$ 是等边三角形， $B P$ ， $C P$ 的延长线分别交 $A D$ 于点 $E$ ， $F$ ，连接 $B D$ ， $D P$ ； $B D$ 与 $C F$ 相交于点 $H$ ．给出下列结论：① $A E = \frac{1}{2} F C$ ；② $∠ P D E = 15 °$ ；③ $\frac{S_{Δ P B C}}{S_{Δ P C D}} = \sqrt{3}$ ；④ $\frac{S_{Δ D H C}}{S_{Δ B H C}} = \frac{1}{2}$ ；⑤ $D E^{2} = P F \cdot F C$ ．其中正确的结论有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题（共5小题）

11. 在实数范围内分解因式： $3 a^{2} - 18 =$ ．

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12. 在平面直角坐标系中，对于平面内任一点 $(a, b)$ ，若规定以下三种变换：①△ $(a$ ， $b) = (- a$ ， $b)$ ；②〇 $(a$ ， $b) = (- a$ ， $- b)$ ；③ $Ω (a$ ， $b) = (a$ ， $- b)$ ，按照以上变换例如：△ $($ 〇 $(1$ ， $2)) = (1$ ， $- 2)$ ，则〇 $(Ω (3, 4))$ 等于．

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13. 如图， $A$ 是反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上一点，过点 $A$ 作 $A B ⊥ y$ 轴于点 $B$ ，点 $C$ 在 $x$ 轴上，且 $S_{Δ A B C} = 2$ ，则 $k$ 的值为．

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14. 如图，已知 $∠ A O B$ ，以点 $O$ 为圆心，以任意长为半径画弧，与 $O A$ 、 $O B$ 分别于点 $C$ 、 $D$ ，再分别以点 $C$ 、 $D$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} C D$ 为半径画弧，两弧相交于点 $E$ ，过 $O E$ 上一点 $M$ 作 $M N / / O A$ ，与 $O B$ 相交于点 $N$ ， $∠ M N B = 50 °$ ，则 $∠ A O M =$ ．

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15. 如图，在直角坐标系中，已知点 $A (4, 0)$ ，点 $B$ 为 $y$ 轴正半轴上一动点，连接 $A B$ ，以 $A B$ 为一边向下作等边 $Δ A B C$ ，连接 $O C$ ，则 $O C$ 的最小值为．

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三、解答题（共55分）

16. 计算： $| \sqrt{3} - 2 | - (- \frac{1}{4})^{- 1} + (2024 - π)^{0} - 6 c o s 30 °$ ．

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17. 化简求值： $\frac{x^{2} + 2 x + 1}{2 x - 4} \div (x - \frac{1 - 2 x}{x - 2})$ ，其中 $x$ 为数据4，5，6，5，3，2的众数．

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18. 某校为了调查本校学生对航空航天知识的知晓情况，开展了航空航天知识竞赛，从参赛学生中，随机抽取若干名学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计图表：
成绩 $/$ 分
频数 $/$ 人
频率
$60 ⩽ x < 70$
10
0.1
$70 ⩽ x < 80$
15
$b$
$80 ⩽ x < 90$
$a$
0.35
$90 ⩽ x ⩽ 100$
40
$c$
请根据图表信息解答下列问题：

(1)、求 $a$ ， $b$ ， $c$ 的值；

(2)、补全频数分布直方图；

(3)、某班有2名男生和1名女生的成绩都为100分，若从这3名学生中随机抽取2名学生参加演讲，用列表或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好为1男1女的概率．

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19. 如图， $⊙ O$ 是 $Δ A B C$ 的外接圆，直径 $B D$ 与 $A C$ 交于点 $E$ ，点 $F$ 在 $B C$ 的延长线上，连接 $D F$ ， $∠ F = ∠ B A C$ ．

(1)、求证： $D F$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、从以下三个选项中选一个作为条件，使 $D F / / A C$ 成立，并说明理由；
① $A B = A C$ ；
② $\hat{A D} = \hat{D C}$ ；
③ $∠ C A D = ∠ A B D$ ；
你选的条件是： ▲ ．

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20. 某经销商销售一种成本价为10元 $/ k g$ 的商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不得高于18元 $/ k g$ ．如图，在销售过程中发现销量 $y (k g)$ 与售价 $x$ （元 $/ k g)$ 之间满足一次函数关系．

(1)、求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式，并写出自变量 $x$ 的取值范围；

(2)、设销售这种商品每天所获得的利润为 $W$ 元，求 $W$ 与 $x$ 之间的函数关系式，并求出该商品售价定为多少元 $/ k g$ 时，才能使经销商所获利润最大？最大利润是多少？

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21. 如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口 $H$ 离地竖直高度为 $h = 1.2$ 米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形 $D E F G$ ，其水平宽度 $D E = 2$ 米，竖直高度 $E F = 0.7$ 米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点 $A$ 离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.4米，灌溉车到绿化带的距离 $O D$ 为 $d$ 米．

(1)、求上边缘抛物线喷出水的最大射程 $O C$ ；

(2)、求下边缘抛物线与 $x$ 轴交点 $B$ 的坐标；

(3)、若 $d = 3.2$ 米，灌溉车行驶时喷出的水（填“能”或“不能” $)$ 浇灌到整个绿化带，并说明理由．

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22. 在矩形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是射线 $B C$ 上一动点，连接 $A E$ ，过点 $B$ 作 $B F ⊥ A E$ 于点 $G$ ，交直线 $C D$ 于点 $F$ ．

(1)、当矩形 $A B C D$ 是正方形时，以点 $F$ 为直角顶点在正方形 $A B C D$ 的外部作等腰直角三角形 $C F H$ ，连接 $E H$ ．
①如图1，若点 $E$ 在线段 $B C$ 上，则线段 $A E$ 与 $E H$ 之间的数量关系是 ▲ ，位置关系是 ▲ ；
②如图2，若点 $E$ 在线段 $B C$ 的延长线上，①中的结论还成立吗？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；

(2)、如图3，若点 $E$ 在线段 $B C$ 上，以 $B E$ 和 $B F$ 为邻边作平行四边形 $B E H F$ ， $M$ 是 $B H$ 中点，连接 $G M$ ， $A B = 3$ ， $B C = 2$ ，求 $G M$ 的最小值．

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成绩 $/$ 分	频数 $/$ 人	频率
$60 ⩽ x < 70$	10	0.1
$70 ⩽ x < 80$	15	$b$
$80 ⩽ x < 90$	$a$	0.35
$90 ⩽ x ⩽ 100$	40	$c$