湖北省荆州市2023-2024学年八年级下学期月考数学试题

试卷更新日期：2024-04-10 类型：月考试卷

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一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1. 下列四组数中，勾股数是（）

A、2，3，5 B、6，8，10 C、0.3，0.4，0.5 D、 $\sqrt{3}$ ， $\sqrt{6}$ ， 3

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2. 使代数式 $\frac{\sqrt{x - 1}}{2 - x}$ 有意义的x的取值范围是（）

A、 $x > 1$ B、 $x > 1$ 且 $x \neq 2$ C、 $x ≥ 1$ 且 $x \neq 2$ D、 $x ≥ 1$

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3. 下列各式是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{18}$ B、 $\sqrt{\frac{2}{3}}$ C、 $\sqrt{5 x^{2}}$ D、 $\sqrt{10}$

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4. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{(- 5)^{2}} = 5$ B、 $\sqrt{3} + \sqrt{2} = \sqrt{5}$ C、 $\sqrt{6} \div \sqrt{3} = 2$ D、 $3 \sqrt{5} - \sqrt{5} = 3$

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5. 在Rt△ABC中，若 $∠ C = 90 °$ ， $A C = 8$ ， $B C = 6$ ，则点C到直线AB的距离为（）

A、8 B、4.8 C、6 D、10

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6. 若一块正方形草坪的面积为 $30 m^{2}$ ，则它的边长（）

A、在3m和4m之间 B、在4m和5m之间 C、在5m和6m之间 D、在6m和7m之间

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7. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵大风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部四尺远，问竹子折断处离地有多高？（）

A、4.2尺 B、4.5尺 C、5.2尺 D、5.5尺

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8. 如图，已知四边形ABCD中， $A D = 4$ ， $C D = 3$ ， $∠ A D C = 90 °$ ， $A B = 13$ ， $B C = 12$ ，则这个图形的面积为（）

A、48 B、54 C、24 D、60

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9. 如图，已知△ABC中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = B C$ ，三角形的顶点在相互平行的三条直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{3}$ 上，且 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 之间的距离为1， $l_{2}$ ， $l_{3}$ 之间的距离为2，则 $A C^{2}$ 的值是（）

A、10 B、13 C、20 D、26

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10. 化简 $(\sqrt{1 - a})^{2} - \sqrt{a^{2} - 4 a + 4} + | 3 - a |$ 的结果是（）

A、 $6 - 3 a$ B、 $2 - a$ C、 $- a$ D、 $a - 4$

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二、填空题（共5题，每题3分，共15分）

11. 计算 $\sqrt{18} - \sqrt{32} + \sqrt{8} =$ ．

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12. 若 $\sqrt{12}$ 与最简二次根式 $5 \sqrt{2 a - 1}$ 可以合并，则a＝．

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13. 如图， $O A = 6$ ， $O B = 8$ ， $A B = 10$ ，点B在点O的北偏东50°方向，则点A在点O的方向．

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14. 若 $\sqrt{a + 3} + (2 a - b)^{2} = 0$ ，则 $\sqrt{a - 5 b}$ 的值是．

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15. 如图，圆柱形玻璃杯的杯高为25cm，底面周长为20cm，在杯内壁离杯底4cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿3cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为cm．（杯壁厚度不计）

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三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16. 计算： $(2 \sqrt{3} - \sqrt{2}) (2 \sqrt{3} + \sqrt{2}) - (\sqrt{\frac{3}{2}} + 2 \sqrt{6}) \div \sqrt{2}$

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17. 已知 $x = \sqrt{2023} + 2$ ，求代数式 $x^{2} - 4 x + 5$ 的值．

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18. 先化简，再求值： $\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + x y} \div \frac{x y - y^{2}}{x + y}$ ，其中 $x = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ ， $y = \sqrt{3} + \sqrt{2}$ ．

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19. 如图，直线l为一条公路，A ， D两处各有一个村庄， $A B ⊥ l$ 于点B ， $D C ⊥ l$ 于点C ， $A B = 4$ 千米， $B C = 8$ 千米， $C D = 6$ 千米．现需要在BC上建立一个物资调运站E ，使得E到A ， D两个村庄距离相等，请求出E到C的距离．

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20. 已知实数x ， y满足关系式 $y = \sqrt{2 x - 6} + \sqrt{3 - x} - 2$ ，求 $\frac{2}{\sqrt{x} + y} \div \frac{1}{\sqrt{x} - y}$ 的值．

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21. 定义：如图，点M ， N把线段AB分割成AM ， MN ， NB ，若以AM ， MN ， NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M ， N是线段AB的勾股分割点．

(1)、已知M ， N把线段AB分割成AM ， MN ， NB ，若 $A M = 2$ ， $M N = 4$ ， $N B = 3$ ，则点M ， N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．

(2)、已知点M ， N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若 $A M = 4$ ， $A B = 12$ ，求BN的长．

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22. 校车安全是社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某校八年级数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C ，再在笔直的车道l上确定点D ，使CD与l垂直，测得CD长为15米，在l上点D的同侧取点A ， B ，使 $∠ C A D = 30 °$ ， $∠ C B D = 60 °$ ．

(1)、求AB的长（精确到0.1米，参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）；

(2)、已知本路段对校车限速30千米／小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．

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23. 阅读材料：像 $(2 - \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3}) = 1$ ， ……这样两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如 $\sqrt{5}$ 与 $\sqrt{5}$ ， $\sqrt{2} + 1$ 与 $\sqrt{2} - 1$ ， $2 \sqrt{3} + \sqrt{6}$ 与 $2 \sqrt{3} - \sqrt{6}$ 等都是互为有理化因式．
在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
例如： $\frac{1}{3 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{3 \sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{6}$ ； $\frac{7}{2 \sqrt{3} + \sqrt{5}} = \frac{7 (2 \sqrt{3} - \sqrt{5})}{(2 \sqrt{3} + \sqrt{5}) (2 \sqrt{3} - \sqrt{5})} = 2 \sqrt{3} - \sqrt{5}$ ．
解答下列问题：

(1)、 $3 - \sqrt{5}$ 与互为有理化因式；

(2)、计算： $\frac{6}{\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6} + 2}$ ；

(3)、已知有理数a ， b满足 $\frac{a}{\sqrt{2} - 1} - \frac{b}{\sqrt{2}} = 3 - \sqrt{2}$ ，求a ， b的值．

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24. 探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．（注：长方形的对边平行且相等，四个角都是直角）

(1)、【初步感知】如图1，在三角形纸片ABC中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 18$ ， $B C = 12$ ，将其沿DE折叠，使点A与点B重合，折痕与AC交于点E ，求CE的长；

(2)、【深入探究】如图2，将长方形纸片ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C'处，BC'交AD于E ，若 $A B = 8$ ， $B C = 16$ ，求AE的长；

(3)、【拓展延伸】如图3，在长方形纸片ABCD中， $A B = 10$ ， $B C = 16$ ，点E从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿射线AD运动，把△ABE沿直线BE折叠，当点A的对应点F刚好落在线段BC的垂直平分线上时，直接写出运动时间t（秒）的值．

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