湖北省荆州市2023-2024学年九年级下学期月考数学试题

试卷更新日期：2024-04-10 类型：月考试卷

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一、选择题（每小题3分，共30分）

1. 下列各数中，为有理数的是（）

A、 $\sqrt{2024}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、π D、 $\sqrt[3]{25}$

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2. 下面哪个图象不是正方体的表面展开图（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列说法正确的是（）

A、射击运动员射击一次，命中十环是必然事件． B、两个负数相乘，积是正数是不可能事件． C、了解某品牌手机电池待机时间用全面调查 D、了解荆州市中学生目前的睡眠情况用抽样调查．

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4. 下列运算正确的是（）

A、 $\sqrt{{(- 2)}^{2}} = - 2$ B、 $a^{8} \div a^{2} = a^{4}$ C、 ${(a - 1)}^{2} = a^{2} - 1$ D、 ${(a^{5})}^{2} = a^{10}$

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5. 已知 $m > n$ ，下列不等式不一定成立的是（）

A、 $m^{2} > n^{2}$ B、 $m + 3 > n + 3$ C、 $- 3 m < - 3 n$ D、 $\frac{m}{3} > \frac{n}{3}$

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6. 如图， $l_{1} ∥ l_{2}$ ， $A B ⊥ C D$ ，若 $∠ 1 = 35 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数是（）

A、35° B、45° C、55° D、65°

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7. 如图，在四边形ABCD中，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）

A、 $A B ∥ D C$ ， $A B = D C$ B、 $A B = D C$ ， $A D = B C$ C、 $A B ∥ D C$ ， $A D = B C$ D、 $O A = O C$ ， $O B = O D$

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8. 已知一次函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 的图象如图所示，则 $y = b x - k$ 的图象一定不经过（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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9. 若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（）

A、4∶1 B、5∶1 C、6∶1 D、7∶1

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10. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ （a ， b ， c为常数， $a \neq 0$ ）的图象如图所示，有如下结论：① $a b c > 0$ ；② $2 a + b = 1$ ；③ $3 a + c > 0$ ；④方程 $a x^{2} + b x + c = \frac{1}{2}$ 有两个不相等的实数根；其中正确的个数为（）个．

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题（每小题3分，共15分）

11. 据统计，2024年春节假日期间，荆州市累计接待游客4095000人次，4095000用科学记数法可表示为．

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12. 若代数式 $\frac{\sqrt{2 x - 1}}{x - 3}$ 有意义，则实数x的取值范围为

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13. 分解因式： $3 a x^{2} - 12 a x y + 12 a y^{2} =$ ．

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14. 已知 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ ， $C (x_{3}, y_{3})$ 都在反比例函数 $y = - \frac{6}{x}$ 图象上，且满足 $x_{1} < 0 < x_{2} < x_{3}$ ，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系是．（用“<”连接）

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15. 如图，将圆形纸片折叠使弧AB经过圆心O ，过点O作半径 $O C ⊥ A B$ 于点E ，点P为圆上一点，则 $∠ A P C$ 的度数为．

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三、解答题（共75分）

16. 计算： ${(\frac{1}{2})}^{- 1} - {(π - 2024)}^{0} + 2 \sqrt{3} \cdot c o s 60 ° - \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ ．

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17. 已知m ， n是方程 $x^{2} + 3 x - 4 = 0$ 的两根，求 $2 m^{2} + 5 m - n - 3$ 的值。

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18. A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg，A型机器人搬运900kg所用时间与B型机器人搬运600kg所用时间相等，求A型机器人每小时搬运多少化工原料．

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19. “除夕”是我国最重要的传统佳节，某市市民历来有“除夕”夜吃饺子的习俗，某食品厂为了解该市市民对去年销售较好的猪肉馅饺、素菜馅饺、羊肉馅饺、牛肉馅饺（以下分别用A，B，C，D表示）这四种不同口味饺子的喜爱情况，在节前对某居民区进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．

(1)、本次参加抽样调查的居民有人；

(2)、将两幅不完整的统计图补充完整；

(3)、若有外形完全相同的A，B，C，D饺子各一个，煮熟后，小王吃了两个，用画树状图的方法，求他两个都吃到肉馅饺（A，C，D）的概率．

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20. 如图，在 $6 \times 6$ 的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点， $△ A B C$ 的顶点均在格点上．按要求完成下列画图．（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法）

(1)、在图①中画出一个 $△ A B D$ ，使 $S_{△ A B D} = S_{△ A B C}$ ， D为格点（点D不在点C处）：

(2)、在图②中的边BC上找一点E ，连接AE ，使 $A E ⊥ B C$ ；

(3)、在图③中的边BC上找一点F ，使点F到AB和AC所在直线的距离相等．

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21. 如图，已知D为 $⊙ O$ 上一点，点C在直径BA的延长线上，BE与 $⊙ O$ 相切，交CD的延长线于点E ，且 $B E = D E$ ．

(1)、证明：CE是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A C = 2$ ， $s i n C = \frac{1}{3}$ ， ①求 $⊙ O$ 的半径；②求BD的长．

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22. 某公司电商平台，在元旦期间举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数，下表列出了该商品的售价x ，周销售量y ，周销售利润W（元）的三组对应数据．
x
40
70
90
y
240
120
40
w
4800
6000
2800

(1)、求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）：

(2)、若该商品进价a（元/件），售价x为多少时，周销售利润W最大?并求出此时的最大利润；

(3)、后来，该商品进价提高了m（元/件）（m＞0），公司为回馈消费者，规定该商品售价x不得超过55（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是5400元，求m的值．

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23.

(1)、如图1，已知正方形AEFG与正方形ABCD ，将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转，求证： $B E = D G$ ，且 $B E ⊥ D G$ ；

(2)、如图2，将（1）中的两个正方形分别改成矩形AEFG和矩形ABCD ，且 $\frac{A E}{A G} = \frac{A B}{A D} = \frac{2}{3}$ ， $A E = 2$ ， $A B = 4$ ，将矩形AEFG绕点A顺时针方向旋转，连接DE ， BG ，在旋转过程中， $D E^{2} + B G^{2}$ 的值是定值，请求出这个定值．

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24. 如图，直线 $y = x - 3$ 与x轴、y轴分别交于点B、点C ，经过B ， C两点的抛物线 $y = - x^{2} + m x + n$ 与x轴的另一个交点为A ，顶点为P ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使以C ， P ， Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

(3)、将该抛物线在x轴上方的部分沿x轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M”形状的图象，若直线 $y = x + b$ 与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，求b的值。

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x	40	70	90
y	240	120	40
w	4800	6000	2800