吉林省长春市博硕学校2022-2023学年高一（下）期初数学试卷

试卷更新日期：2024-04-10 类型：开学考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知全集 $U = R$ ，设集合 $A = {x | x > 1}$ ，集合 $B = {x | x > 2}$ ，则 $A \cap (∁_{U} B) =$ （）

A、 ${x | 1 \leq x \leq 2}$ B、 ${x | 1 < x < 2}$ C、 ${x | 1 < x \leq 2}$ D、 ${x | 1 \leq x < 2}$

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2. 命题“ $\forall x \in (1, + \infty)$ ， $e^{2 x} \geq x + 1$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in (1, + \infty)$ ， $e^{2 x} < x + 1$ B、 $\forall x \notin (1, + \infty)$ ， $e^{2 x} < x + 1$ C、 $\exists x \notin (1, + \infty)$ ， $e^{2 x} \geq x + 1$ D、 $\exists x \in (1, + \infty)$ ， $e^{2 x} < x + 1$

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3. 函数 $f (x) = e^{x} + x + 1$ 零点所在的区间是（）

A、 $(- 2, - 1)$ B、 $(- 1,0)$ C、 $(0,1)$ D、 $(1,2)$

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4. 若 $a = 2 . 1^{- 2}$ ， $b = l n 0.3$ ， $c = t a n 46 °$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $a < c < b$ D、 $b < a < c$

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5. 函数 $f (x) = x ln | x |$ 的图象大致为 $($ $)$

A、 B、 C、 D、

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6. 已知 $s i n (α + β) = \frac{2}{3}, s i n (α - β) = \frac{2}{9}$ ，则 $\frac{t a n α}{t a n β} =$ （）

A、 $2$ B、 $4$ C、 $6$ D、 $8$

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7. 屏风文化在我国源远流长，可追溯到汉代 $.$ 某屏风工艺厂设计了一款造型优美的扇环形屏风，如图，扇环外环弧长为 $3.2 m$ ，内环弧长为 $0.8 m$ ，径长 $($ 外环半径与内环半径之差 $)$ 为 $1.2 m$ ，若不计外框，则扇环内需要进行工艺制作的面积的估计值为（）

A、 $1.2 m^{2}$ B、 $1.8 m^{2}$ C、 $2.4 m^{2}$ D、 $3.0 m^{2}$

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x_{}^{2} - a x + 5 ， (x \leq 1) \\ \frac{a}{x} ， (x > 1) \end{array}}$ 满足对任意实数 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{2}^{}) - f (x_{1}^{})}{x_{2}^{} - x_{1}^{}} < 0$ 成立，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $0 < a \leq 3$ B、 $a \geq 2$ C、 $a > 0$ D、 $2 \leq a \leq 3$

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二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9. 已知不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集为 ${x | - \frac{1}{2} < x < 2}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a > 0$ B、 $b > 0$ C、 $c > 0$ D、 $a + b + c > 0$

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10. 已知角 $α$ ， $β$ ， $γ$ 满足 $α + β + γ = π$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $s i n (α + β) = s i n γ$ B、 $c o s (α + β) = c o s γ$ C、 $s i n \frac{α + β}{2} = c o s \frac{γ}{2}$ D、 $c o s \frac{α + β}{2} = s i n \frac{γ}{2}$

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11. 下列说法错误的是（）

A、函数 $y = 2 s i n (\frac{1}{2} x + \frac{π}{4})$ 的周期是 $4 π$ B、函数 $y = | s i n x |$ 是周期为 $π$ 的奇函数 C、函数 $y = t a n x$ 最小正周期为 $2 π$ D、若对 $\forall x \in R$ ，满足 $f (x + a) = - f (x)$ ，其中 $a \in R$ 且 $a \neq 0$ ，则 $2 a$ 为函数 $f (x)$ 的周期

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12. 已知 $f (x)$ 定义域为 $R$ ，其函数图象关于直线 $x = - 3$ 对称，且 $f (x + 3) = f (x - 3)$ ，若当 $x \in [0,3]$ 时， $f (x) = 2^{x} + 2 x - 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 为偶函数 B、 $f (x)$ 的图象关于 $x = 3$ 对称 C、 $f (x)$ 在 $[- 6, - 3]$ 上单调递减 D、 $f (2023) = 3$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 已知在半径为4的圆上，有一条弧所对的圆心角的弧度数为3，则这条弧的弧长为.

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14. 已知 $t a n α = - 5$ ，则 $\frac{s i n α - 2 c o s α}{3 s i n α + c o s α} =$ ．

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15. 若不等式 $x^{2} + m x + 1 \geq 0$ 的解集为 $R$ ，则实数 $m$ 的取值范围是．

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} | \log_{2} x | ， x > 0 ， \\ - x^{2} - 4 x + 4 ， x < 0. \end{matrix}$ 若函数 $g (x) = f (x) - m$ 有四个不同的零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ，则 $x_{1} x_{2} x_{3} x_{4}$ 的取值范围是．

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四、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. 已知集合 $A = {x | x^{2} + x - 2 < 0}$ ， $B = {x | 2 m + 1 \leq x \leq m + 3}$ $(m \in R)$ ．

(1)、当 $m = - 1$ 时，求 $A ∩ B$ ， $A ∪ B$ ；

(2)、若 $x \in A$ 是 $x \in B$ 的充分不必要条件，求实数 $m$ 的取值范围．

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18. 已知 $f (x) = \frac{s i n (3 π - x) s i n (x - π) c o s (π + x)}{c o s (π - x) c o s (\frac{π}{2} + x) s i n (x - \frac{3 π}{2})}$ ．

(1)、化简函数 $f (x)$ ，并求 $f (\frac{5 π}{3})$ 的值；

(2)、若 $f (α - β) = \frac{1}{2}$ ， $f (α) = \frac{1}{3}$ ，求 $f (2 α - β)$ 的值．

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19. 某企业准备投入适当的广告费对某产品进行促销，在一年内预计销售量 $Q ($ 万件 $)$ 与广告费 $x ($ 万元 $)$ 之间的关系式为 $Q = \frac{3 x + 1}{x + 1} (x \geq 0) .$ 已知生产此产品的年固定投入为 $3$ 万元，每生产 $1$ 万件此产品仍需再投入 $32$ 万元，若该企业产能足够，生产的产品均能售出，且每件销售价为“年平均每件生产成本的 $150 %$ ”与“年平均每件所占广告费的 $50 %$ ”之和．

(1)、试写出年利润 $W ($ 万元 $)$ 与年广告费 $x ($ 万元 $)$ 的关系式；

(2)、当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大年利润为多少？

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20. 已知实数 $t < 0$ ，函数 $f (x) = \frac{b - 3^{x}}{3^{x + 1} + t}$ 是定义域为 $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ 的奇函数．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、已知 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，若对于 $\forall x_{1}^{}$ ， $x_{2} \in [1,4]$ ，使得 $f (x_{1}) + \frac{11}{3} \geq a^{x_{2} - 2}$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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