吉林省通化市辉南县第六中学2023-2024学年高二下学期3月半月考数学试卷

试卷更新日期：2024-04-10 类型：月考试卷

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 函数 $y = x^{3} - 12 x + 16$ 在 $[- 3,3]$ 上的最大值、最小值分别是（）

A、 $6$ ， $0$ B、 $32$ ， $0$ C、 $25$ ， $6$ D、 $32$ ， $16$

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2. 已知函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）

A、曲线 $y = f (x)$ 在点 $(- 2, f (- 2))$ 处的切线斜率小于零 B、函数 $f (x)$ 在区间 $(- 1,1)$ 上单调递增 C、函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极大值 D、函数 $f (x)$ 在区间 $(- 3,3)$ 内至多有两个零点

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3. 设函数 $f (x) = l n x - 2 x + 6$ ，则 $f (x)$ 零点的个数为（）

A、 $3$ B、 $2$ C、 $1$ D、 $0$

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4. 已知函数 $f (x) = a + x l n x$ ，若对任意 $x \in [1, + \infty)$ ，使得 $f (x) \geq 1$ 成立，则实数 $a$ 的最小值为（）

A、 $1$ B、 $- 1$ C、 $2$ D、 $- 2$

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5. 若函数 $f (x) = l n x + x^{2} - b x$ 在 $[1, + \infty)$ 上单调递增，则 $b$ 的最大值是（）

A、 $3$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2$ D、 $2 \sqrt{6}$

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6. $f (x) = a x + s i n x$ 是 $R$ 上的增函数，则实数 $a$ 的范围是（）

A、 $(- \infty, 1]$ B、 $(- \infty, 1)$ C、 $(1, + \infty)$ D、 $[1, + \infty)$

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7. 已知函数 $f (x) = x + \frac{a}{x} ($ 其中 $0 < a \leq 1)$ ， $g (x) = x - l n x$ ，若对任意 $x_{1}, x_{2} \in [1, e]$ ， $f (x_{1}) \geq g (x_{2})$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0,1)$ B、 $(1 - \frac{1}{e}, 1]$ C、 $(0, e - 2]$ D、 $[e - 2,1]$

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8. 函数 $f (x)$ 是定义是在 $R$ 上的可导函数，其导函数 $f' (x)$ 满足 $2 f (x) + x f' (x) < 0$ ，则 $f (x) < 0$ 的解集是（）

A、 $(- \infty, 0)$ B、 $(- \infty, 1)$ C、 $(0, + \infty)$ D、 $(- \infty, + \infty)$

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二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9. 下列命题中是真命题有（）

A、若 $f' (x_{0}) = 0$ ，则 $x_{0}$ 是函数 $f (x)$ 的极值点 $;$ B、函数 $y = f (x)$ 的切线与函数图象可以有两个公共点 $;$ C、函数 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程为 $2 x - y = 0$ ，则当 $△ x \to 0$ 时， $\frac{f (1) - f (1 + Δ x)}{2 Δ x} = 1;$ D、已知定义在区间 $(- π, π)$ 上的函数 $f (x) = x s i n x + c o s x$ ，则 $f (x)$ 的单调递增区间是 $(- π, - \frac{π}{2})$ 和 $(0, \frac{π}{2})$ ．

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10. 对于函数 $f (x) = \frac{l n x}{x}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 在 $x = e$ 取得极小值 $\frac{1}{e}$ B、 $f (x)$ 有一个零点 C、 $f (1) < f (3) < f (π)$ D、若 $f (x) < x - k$ 在 $(0, + \infty)$ 上恒成立，则 $k < 1$

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11. 已知函数 $f (x) = x e^{x}$ ，则（）

A、曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0,0)$ 处的切线方程为 $y = x$ B、函数 $f (x)$ 的极小值为 $- e$ C、当 $\frac{2}{3 e^{2}} ⩽ a < \frac{1}{2 e}$ 时， $f (x) < a (x - 1)$ 仅有一个整数解 D、当 $2 e^{2} < a ⩽ \frac{3 e^{3}}{2}$ 时， $f (x) < a (x - 1)$ 仅有一个整数解

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12. 定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ ，满足 $f (x) = \frac{e^{x}}{x^{2}}$ ，则下列说法正确的有（）

A、若 $x > 0$ ，则 $x^{2} f (x) > x + 1$ B、 $f (x)$ 在 $x = 2$ 处取得极小值 $\frac{e^{2}}{4}$ C、 $f (x)$ 只有一个零点 D、若对任意的 $x \in (0, + \infty)$ ， $f (x) > k + \frac{1}{x^{2}}$ 恒成立，则 $k > e - 1$

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三、填空题：本题共4小题，共20分。

13. 若 $f (x) = x^{3} - 3 x$ 在区间 $(a^{2} - 5, a)$ 上有最大值，则实数 $a$ 的取值范围是．

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14. 已知函数 $f (x) = 2 e f^{'} (e) \ln x - \frac{x}{e}$ ，则函数 $f (x)$ 的极大值为．

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15. 某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量 $x (t)$ 与每吨产品的价格 $p ($ 元 $/ t)$ 之间的关系式为 $p = 24200 - \frac{1}{5} x^{2}$ ，且生产 $x (t)$ 产品的成本为 $R = 50000 + 200 x ($ 元 $)$ ，则该厂每月生产 $(t)$ 产品才能使利润达到最大． $($ 利润 $=$ 收入 $-$ 成本 $)$

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16. 若二次函数 $f (x) = 2 x^{2} + 3$ 的图象与曲线 $C$ ： $g (x) = a e^{x} + 3 (a > 0)$ 存在公切线，则实数 $a$ 的取值范围是

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四、解答题：本题共2小题，共32分；其中17题14分，18题18题。

17. 已知函数 $f (x) = - x^{3} + a x^{2} + b x$ 在区间 $(- 2,1)$ 内，当 $x = - 1$ 时取极小值，当 $x = \frac{2}{3}$ 时取极大值．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = - 2$ 时的对应点处的切线方程；

(2)、求函数 $y = f (x)$ 在 $[- 2,1]$ 上的最大值与最小值．

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{2 a x - a^{2} + 1}{x^{2} + 1} (x \in R)$ ，其中 $a \in R$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2 ， f (2))$ 处的切线方程；

(2)、当 $a \neq 0$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间与极值．

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