河北省邯郸市大名县2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷

试卷更新日期：2024-04-10 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知复数z满足 $(2 - i) z = 3 + i$ ，则 $z$ 的虚部是（）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- i$ D、i

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2. 若 $| \sqrt{x} - i | = | 1 - 2 i |$ ，则实数 $x =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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3. 下列说法错误的是（）

A、 $| \vec{C D} | = | \vec{D C} |$ B、 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是单位向量，则 $| \vec{e_{1}} | = | \vec{e_{2}} |$ C、若 $| \vec{A B} | > | \vec{C D} |$ ，则 $\vec{A B} > \vec{C D}$ D、任一非零向量都可以平行移动

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4. 已知向量 $\vec{a} = (- 1, 1), \vec{b} = (2, 0)$ ，向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量 $\vec{c} =$ （）

A、 $(- 2, 0)$ B、 $(2, 0)$ C、 $(- 1, 0)$ D、 $(1, 0)$

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5. 已知点 $A (- 4, - 2 \sqrt{3})$ ， $B (- 2, 0)$ ， $C (\sqrt{3}, m)$ ， O为坐标原点，若 $\vec{O A} + \vec{O B}$ 与 $\vec{O C}$ 共线，则 $m =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、3

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6. 千岛湖是我国一处著名旅游景区，因湖内星罗棋布的一千多个小岛而得名.若已知其中三个小岛 $A, B, C$ 满足： $A C = 5$ ， $A B = 5 \sqrt{3}$ ， $B = 30 °$ ，则 $A =$ （）

A、 $30 °$ B、 $90 °$ C、 $30 °$ 或 $90 °$ D、 $60 °$ 或 $90 °$

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7. 已知 $1 + 2 i$ 是关于 $x$ 的实系数一元二次方程 $x^{2} - 2 x + m = 0$ 的一个根，则 $m =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、5

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8. 在 $△ A B C$ 中，已知 $A = 30 °, b = 18$ ，设 $a = x (x > 0)$ 以下说法错误的是（）

A、若 $△ A B C$ 有两解， $x \in (9, 18)$ B、若 $△ A B C$ 有唯一解， $x \in [18, + \infty)$ C、若 $△ A B C$ 无解， $x \in (0, 9)$ D、当 $x = 10$ ， $△ A B C$ 外接圆半径为10

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二、多选题

9. 下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是（）

A、 $\vec{a} = (- 2, 3), \vec{b} = (4, 6)$ B、 $\vec{a} = (2, 3), \vec{b} = (3, 2)$ C、 $\vec{a} = (1, - 2), \vec{b} = (7, 14)$ D、 $\vec{a} = (- 3, 2), \vec{b} = (6, - 4)$

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10. 下列选项正确的是（）

A、 $s i n 15 ° + c o s 15 ° = \frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $s i n^{2} \frac{π}{8} - c o s^{2} \frac{π}{8} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $A > C$ ，则 $s i n A > s i n C$ D、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a c o s A = b c o s B$ ，则 $△ A B C$ 一定是等腰三角形

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11. 下列命题中，正确的有（）

A、若 $\vec{A B}$ 与 $\vec{C D}$ 是共线向量，则 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四点共线 B、若 $\vec{M N} + \vec{N P} + \vec{P M} = \vec{0}$ ，则 $M$ ， $N$ ， $P$ 三点共线 C、对非零向量 $\vec{a}$ ，若 $| λ | > 1$ ，则 $| λ \vec{a} | > | \vec{a} |$ D、平面内任意一个向量都可以用另外两个不共线向量表示

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三、填空题

12. 若复数 $z$ 满足 $| z | = 1$ ，则 $| z - 1 |$ 的取值范围是．

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13. 已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上， $\vec{A F} = 2 \vec{F D}$ ，则 $\vec{B E} \cdot \vec{C F} =$ .

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14. 设 $t$ 为实数，满足 $t$ ， $t + 1$ ， $t + 2$ 构成一个钝角 $△ A B C$ 的三边长，则 $t$ 的取值范围为．

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四、解答题

15. 设复数 $z_{1} = 1 - a i (a \in R), z_{2} = 3 - 4 i$ ．

(1)、若 $z_{1} + z_{2}$ 是实数，求 $z_{1} \cdot z_{2}$ ；

(2)、若 $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ 是纯虚数，求 $z_{1}$ ．

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16. 已知向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ ，则 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 2$ ， $〈 \vec{a}, \vec{b} 〉 = 60 °$ 求：

(1)、 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的值；

(2)、 $| \vec{2 a} + \vec{b} |$ 的值；

(3)、 $2 \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角θ的余弦值．

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17. 如图， $△ A B C$ 是等边三角形， $D$ 是 $B C$ 边上的动点(含端点)，记 $∠ B A D ＝ α$ ， $∠ A D C ＝ β$ .

(1)、求 $2 c o s α - c o s β$ 的最大值；

(2)、若 $B D ＝ 1$ ， $c o s β = \frac{1}{7}$ ，求 $△ A B D$ 的面积．

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18. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $a (s i n B + c o s B) = c$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $c = \sqrt{2} ， a = \sqrt{5} ， D$ 为 $B C$ 的中点，求 $A D$ ．

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19. 设a ， b ， c分别为 $△ A B C$ 内角A ， B ， C的对边，已知 $b = 2$ ， $\frac{1}{2} c + 2 = a c o s C$ .

(1)、求A的值；

(2)、若 $5 \vec{A D} = 2 \vec{A B} + 3 \vec{A C}$ ， $C D = b$ ，求c的值.

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