河北省邯郸市大名县2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷

试卷更新日期：2024-04-10 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 函数y＝x²＋1的图像上一点(1，2)及邻近一点(1＋Δx，2＋Δy)，则 $\frac{Δ y}{Δ x}$ =（）

A、2 B、2x C、2＋(Δx)² D、2＋Δx

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2. 已知 $P (A B) = \frac{2}{15}$ ， $P (A) = \frac{2}{5}$ ，那么 $P (B | A)$ 等于（）

A、 $\frac{4}{75}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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3. 下列导数运算正确的是（）

A、 $(\sqrt{x})^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ B、 ${(a^{x})}^{^{'}} = x a^{x - 1}$ C、 ${(\frac{1}{x})}^{^{'}} = l n x$ D、 $(s i n x)^{'} = - c o s x$

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4. 已知 $m, n \in N^{*}$ ，下列排列组合公式中，不一定正确的是（）

A、 $C_{n}^{m} = C_{n}^{n - m}$ B、 $A_{n}^{m} = C_{n}^{m} A_{m}^{m}$ C、 $C_{n}^{m} = \frac{A_{n}^{m}}{n!}$ D、 $\frac{1}{n - m} A_{n}^{m + 1} = A_{n}^{m}$

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5. 某单位开展主题为“学习强国，我学习我成长”的知识竞赛活动，甲选手答对第一道题的概率为 $\frac{2}{3}$ ，连续答对两道题的概率为 $\frac{1}{2}$ .用事件A表示“甲选手答对第一道题”，事件B表示“甲选手答对第二道题”，则 $P (B | A)$ ＝（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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6. 甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行党史知识比赛，决出第1名到第5名的名次（名次无重复），其中前2名将获得参加市级比赛的资格.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你没有获得参加市级比赛的资格.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从这两个回答分析，5人的排名有（）种不同情况（）

A、24 B、36 C、60 D、72

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7. 已知函数 $f (x) = x {(x - c)}^{2}$ 在 $x = 2$ 处有极大值，则实数c的值为（）

A、2 B、6 C、2或6 D、8

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8. 拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容为：如果函数 $f (x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上的图像连续不间断，在开区间 $(a, b)$ 内的导数为 $f^{'} (x)$ ，那么在区间 $(a, b)$ 内至少存在一点c ，使得 $f (b) - f (a) = f^{'} (c) (b - a)$ 成立，其中c叫做 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数 $f (x) = s i n (2 x - \frac{π}{3})$ 在 $[\frac{π}{6}, \frac{37 π}{24}]$ 上的“拉格朗日中值点”的个数为（）

A、3 B、2 C、1 D、0

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二、多选题

9. 下列结论正确的是（）

A、若 $C_{10}^{m} = C_{10}^{3 m - 2}$ ，则 $m = 3$ B、若 $A_{n + 1}^{2} - A_{n}^{2} = 12$ ，则 $n = 6$ C、在 ${(1 + x)}^{2} + {(1 + x)}^{3} + {(1 + x)}^{4} + \cdot \cdot \cdot + {(1 + x)}^{11}$ 的展开式中，含 $x^{2}$ 的项的系数是220 D、 ${(x - 1)}^{8}$ 的展开式中，第4项和第5项的二项式系数最大

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10. 已知定义在R上的函数 $f (x)$ ，其导函数 $f^{'}$ 的大致图象如图所示，则下列叙述错误的是（）

A、 $f (c) > f (b) > f (a)$ B、函数 $f (x)$ 在 $x = c$ 处取得极小值，在 $x = e$ 处取得极大值 C、函数 $f (x)$ 在 $x = c$ 处取得极大值，在 $x = e$ 处取得极小值 D、函数 $f (x)$ 的最小值为 $f (d)$

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11. 已知 $P (A)$ ， $P (B)$ ， $P (C)$ ， $P (A C)$ ， $P (A B)$ ， $P (B C)$ 均大于0，则下列说法正确的是（）

A、 $P (A B) = P (A) P (B)$ B、若 $P (B | A) = P (B)$ ，则 $P (A | B) = P (A)$ C、若 $P (B | A) = P (A | B)$ ，则 $P (A) = P (B)$ D、 $P (A B C) = P (A) P (C | A) P (B | A C)$

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三、填空题

12. 在 $(2 x + 1)^{5} (y - 1)^{3}$ 的展开式中， $x^{3} y^{2}$ 的系数为.

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13. 已知函数 $f (x) = (x + 1) l n 2 x - x + 1$ ，则 $\underset{Δ x \to 0}{l i m} \frac{f (1 - 2 Δ x) - f (1)}{Δ x}$ 的值为

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14. 如图，用K、 $A_{1}$ 、 $A_{2}$ 三类不同的元件连接成一个系统.当K正常工作且 $A_{1}$ 、 $A_{2}$ 至少有一个正常工时，系统正常工作，已知K、 $A_{1}$ 、 $A_{2}$ 正常工作的概率依次为 $\frac{3}{4}$ ， $\frac{2}{3}$ ， $\frac{2}{3}$ ，则系统正常工作的概率为，在系统能够正常工作的前提下，只有K和 $A_{1}$ 正常工作的概率为.

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四、解答题

15. 一个袋子里放有除颜色外完全相同的2个白球、3个黑球.

(1)、采取放回抽样方式，从中依次摸出两个小球，求两个小球颜色不同的概率；

(2)、采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个小球，求在第1次摸到的是黑球的条件下，第2次摸到的是黑球的概率.

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16. 已知 $A_{n}^{5} = 56 C_{n}^{7}$ ，且 ${(1 - 2 x)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} x^{n}$ ．

(1)、求 $n$ 的值；

(2)、求 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{n}$ 的值；

(3)、求 $a_{0} + a_{2} + a_{4} + \cdot \cdot \cdot + a_{n - 1}$ 的值．

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17. 某校举办元旦晚会，现有4首歌曲和3个舞蹈需要安排出场顺序.（结果用数字作答）

(1)、如果4首歌曲相邻，那么有多少种不同的出场顺序?

(2)、如果3个舞蹈不相邻，那么有多少种不同的出场顺序?

(3)、如果歌曲甲不在第一个出场，舞蹈乙不在最后一个出场，那么有多少种不同的出场顺序?

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18. 已知 $f (x) = x^{3} + a x^{2} - a^{2} x + 2$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程.

(2)、若 $a \neq 0$ ，求函数 $f (x)$ 的单调区间.

(3)、若不等式 $2 x l n x \leq f^{'} (x) + a^{2} + 1$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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19. 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程为 $y = \frac{c (e^{\frac{x}{c}} + e^{- \frac{x}{c}})}{2}$ ，其中 $c$ 为参数．当 $c = 1$ 时，就是双曲余弦函数 $c h (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ ，类似地我们可以定义双曲正弦函数 $s h (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ ．它们与正、余弦函数有许多类似的性质．

(1)、类比正、余弦函数导数之间的关系， ${(s i n x)}^{^{'}} = c o s x$ ， ${(c o s x)}^{^{'}} = - s i n x$ ，请写出 $s h (x)$ ， $c h (x)$ 具有的类似的性质（不需要证明）；

(2)、当 $x > 0$ 时， $s h (x) > a x$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、求 $f (x) = c h (x) - c o s x - x^{2}$ 的最小值．

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