四川省南充市嘉陵区嘉陵第一中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题

试卷更新日期：2024-04-10 类型：月考试卷

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一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. $c o s 10 ° c o s 70 ° + s i n 70 ° s i n 10 ° =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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2. 函数 $y = s i n x + \sqrt{3} c o s x, x \in R$ 的最大值为（）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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3. 在平行四边形 $A B C D$ 中， $\vec{B C} + \vec{D C} + \vec{B A} =$ （）

A、 $\vec{B C}$ B、 $\vec{D A}$ C、 $\vec{A B}$ D、 $\vec{A C}$

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4. 已知 $180 ° < α < 360 °, c o s \frac{α}{2}$ 的值等于（）

A、 $\sqrt{\frac{1 + c o s α}{2}}$ B、 $\sqrt{\frac{1 - c o s α}{2}}$ C、 $- \sqrt{\frac{1 + c o s α}{2}}$ D、 $- \sqrt{\frac{1 - c o s α}{2}}$

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5. 将函数 $y = s i n (2 x + \frac{π}{4})$ 的图像向右平移 $\frac{3 π}{8}$ 个单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），则所得图象的函数解析式是（）

A、 $y = s i n (4 x + \frac{3 π}{8})$ B、 $y = s i n (4 x + \frac{π}{8})$ C、 $y = - c o s 4 x$ D、 $y = s i n x$

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6. 已知 $△ A B C$ 的外接圆圆心为 $O$ ，且 $\vec{A O} = \vec{A B} + \vec{A C}$ ，则 $\vec{B A}$ 在 $\vec{B C}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{B C}$ B、 $- \frac{1}{2} \vec{B C}$ C、 $\frac{1}{4} \vec{B C}$ D、 $- \frac{1}{4} \vec{B C}$

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7. $s i n 20 ° (\sqrt{3} + t a n 50 °) =$ （）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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8. 3月30号，眉山东坡半程马拉松比赛将在四川眉山举行，为了方便市民观看，万达广场大屏幕届时会滚动直播赛事，已知大屏幕下端 $B$ 离地面3.5米，大屏幕高3米，若某位观众眼睛离地面1.5米，则这位观众在距离大屏幕所在的平面多远，可以获得观看的最佳视野？（最佳视野是指看到屏幕上下夹角的最大值）（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{10}$ C、3 D、2

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二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 下列说法中错误的是（）

A、 $\vec{A B} + \vec{B A} = \vec{0}$ B、若 $\vec{a}, \vec{b}$ 为单位向量，则 $\vec{a} = \vec{b}$ C、若 $\vec{a} ∥ \vec{b} 、 \vec{b} ∥ \vec{c}$ ，则 $\vec{a} ∥ \vec{c}$ D、对于两个非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，若 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$

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10. 已知函数 $f (x) = t a n (2 x - \frac{π}{3})$ ，则（）

A、 $f (0) = \sqrt{3}$ B、 $f (x)$ 在 $(\frac{5 π}{12}, \frac{7 π}{12})$ 上单调递增 C、 $(\frac{2 π}{3}, 0)$ 为 $f (x)$ 的一个对称中心 D、 $f (x)$ 最小正周期为 $π$

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11. 对于函数 $f (x) = \frac{s i n x + c o s x - | s i n x - c o s x |}{2}$ ，下列结论正确的是（）

A、 $f (x) = {\begin{array}{l} c o s x, s i n x \geq c o s x \\ s i n x, s i n x < c o s x \end{array}$ B、 $f (x)$ 的单调递减区间为 $[\frac{π}{4} + 2 k π, π + 2 k π] (k \in Z)$ C、 $f (x)$ 的最大值为1 D、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = a$ 在 $[0, 2 π]$ 上有四个实数解，则 $- 1 < a < - \frac{\sqrt{2}}{2}$

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12. 若函数 $f (x) = s i n (2 ω x + \frac{π}{6}) - \frac{1}{2} (ω > 0)$ 在区间 $(0 ， \frac{π}{24})$ 上单调递增，则（）

A、存在 $ω$ ，使得函数 $f (x)$ 为奇函数 B、函数 $f (x)$ 的最大值为 $\frac{1}{2}$ C、 $ω$ 的取值范围为 $(0 ， 4]$ D、存在4个不同的 $ω$ ，使得函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称

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三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 不共线， $\vec{m} = \vec{a} - 3 \vec{b}, \vec{n} = 2 \vec{a} + x \vec{b}, \vec{m} ∥ \vec{n}$ ，则实数 $x =$ ．

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14. 若 $α \in (0, \frac{π}{2}), t a n 2 α = \frac{c o s α}{2 - s i n α}$ ，则 $t a n α =$ ．

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15. 已知， $0 < β < α < \frac{π}{4}, c o s (α - β) = \frac{12}{13}$ ，且 $s i n (α + β) = \frac{4}{5}$ ，则 $s i n 2 α$ 的值为．

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16. 函数的 $y = s i n x + c o s x + s i n x c o s x$ 值域是．

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四、解答题：本大题6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程，并答在答题卡相应的位置上．

17.

(1)、化简： $\frac{1}{3} (\vec{a} - 2 \vec{b}) - \frac{1}{4} (3 \vec{a} - 2 \vec{b}) - \frac{1}{2} (\vec{a} - \vec{b})$ ；

(2)、已知两个非零向量 $\vec{e_{1}}$ 和 $\vec{e_{2}}$ 不共线， $\vec{A B} = 2 \vec{e_{1}} + 3 \vec{e_{2}}, \vec{B C} = 6 \vec{e_{1}} + 23 \vec{e_{2}}, \vec{C D} = 4 \vec{e_{1}} - 8 \vec{e_{2}}$ ．
求证： $A, B, D$ 三点共线

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18. 已知在 $△ A B C$ 中， $N$ 是边 $A B$ 的中点，且 $4 \vec{B M} = \vec{B C}$ ，设 $A M$ 与 $C N$ 交于点 $P$ ．记 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A C} = \vec{b}$ ．

(1)、用 $\vec{a}, \vec{b}$ 表示向量 $\vec{A M}, \vec{C N}$ ；

(2)、若 $2 | \vec{a} | = | \vec{b} |$ ，且 $\vec{C P} ⊥ \vec{A B}$ ，求 $⟨ \vec{a}, \vec{b} ⟩$ 的余弦值．

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19. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) + B$ 的一部分图象如图所示，如果 $A > 0, ω > 0, | φ | < \frac{π}{2}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、当 $x \in [- \frac{π}{6}, \frac{π}{6}]$ 时，求函数 $f (x)$ 的取值范围．

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20. 已知函数 $f (x) = s i n^{2} x - c o s^{2} x - 2 \sqrt{3} s i n x c o s x (x \in R)$ ．

(1)、求 $f (\frac{π}{12})$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的最小正周期及单调递增区间．

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21. 已知 $c o s (α + β) = \frac{2 \sqrt{5}}{5}, t a n β = \frac{1}{7}$ ，且 $α, β \in (0, \frac{π}{2})$ ．

(1)、求 $c o s^{2} β - 2 s i n^{2} β + s i n β c o s β$ 的值；

(2)、求 $2 α + β$ 的值．

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22. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n (ω x + φ)$ ，其中 $ω > 0, 0 < φ < π$ ．如图是函数 $f (x)$ 在一个周期内的图象， $A$ 为图象的最高点， $B, C$ 为图象与 $x$ 轴的交点， $△ A B C$ 为等边三角形，且 $f (x + \frac{1}{3})$ 是偶函数．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若不等式 $3 s i n^{2} x - \sqrt{3} m \cdot f (\frac{2}{π} x + \frac{1}{3}) \leq 4 - m$ 对任意 $x \in R$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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