四川省绵阳市三台中学校2023-2024学年高三下学期第二学月测试文科数学试题

试卷更新日期：2024-04-10 类型：月考试卷

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一、/span>､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.

1. 已知集合 $A = {x ∣ 3 - x > 1}, B = {0, 1, 2, 3, 4}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${3, 4}$ B、 ${2, 3, 4}$ C、 ${0, 1}$ D、 ${0, 1, 2}$

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2. 已知 $z = \frac{a - i}{1 + 2 i}$ 为纯虚数，则实数 $a$ 的值为（）

A、2 B、1 C、-1 D、-2

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3. 已知 $s i n (θ - \frac{π}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $c o s 2 θ =$ （）

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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4. 已知点 $(x, y)$ 满足不等式组 ${\begin{array}{l} x + y - 4 \leq 0 \\ x - y + 2 \geq 0 \\ y \geq 1 \end{array}$ ，则 $z = 2 x + y$ 的最小值为（）

A、-3 B、-1 C、5 D、7

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5. 已知命题 $p$ ：若 $a > b$ ，则 $3^{a} > 3^{b}$ ；命题 $q : \forall x \in (0, 1)$ ，不等式 $l o g_{2} x < l o g_{3} x$ 恒成立，则下列命题是真命题的是（）

A、 $p \land q$ B、 $(\neg p) \land q$ C、 $(\neg p) \lor (\neg q)$ D、 $p \land (\neg q)$

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6. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{15} = 4 S_{5} = 20$ ，则 $a_{2} + a_{9} =$ （）

A、2 B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{7}{3}$

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7. 已知平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左顶点和上顶点分别为 $A, B$ ，过椭圆 $C$ 左焦点 $F$ 且平行于直线 $A B$ 的直线交 $y$ 轴于点 $D$ .若 $\vec{O D} = 2 \vec{D B}$ ，则陏圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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8. 如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = 2 A B, D$ 为棱 $A_{1} C_{1}$ 的中点，则直线 $A D$ 与平面 $B_{1} B C C_{1}$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{51}}{34}$ B、 $\frac{\sqrt{51}}{17}$ C、 $\frac{\sqrt{17}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{17}}{6}$

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9. 在区间 $[- 4, 2]$ 上随机取一个实数 $x$ ，使得 $x \leq s i n x$ 成立的概率是（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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10. 设圆 $C : (x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 36$ 和不过第三象限的直线 $l : 4 x + 3 y - a = 0$ ，若圆 $C$ 上恰有三点到直线 $l$ 的距离为3，则实数 $a =$ （）

A、2 B、4 C、26 D、41

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11. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且 $f (1) = 3, f (5 - x) = - f (1 - x)$ ，则 $f (2024) + f (2023) =$ （）

A、-3 B、0 C、3 D、6

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12. 已知函数 $f (x) = | l n | x | |, a = f (l n \frac{1}{2}), b = f (l n \frac{e^{2}}{2}), c = f (l n \frac{3}{2})$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $c < a < b$ D、 $a < c < b$

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二、/span>､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接填答题卷的横线上.

13. 已知向量 $\vec{m} = (x, 1), \vec{n} = (- 3, 2)$ ，若 $2 \vec{m} + \vec{n} = (1, 4)$ ，则 $\vec{m} \cdot \vec{n} =$ .

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14. 已知圆锥的母线长为5，侧面积为 $20 π$ ，则此圆锥的体积为（结果中保留 $π$ ）.

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15. 在 $△ A B C$ 中， $B C = 2 \sqrt{6}, S_{△ A B C} = \frac{\sqrt{2}}{2} \vec{A B} \cdot \vec{A C}$ ，则 $△ A B C$ 外接圆半径为.

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16. 已知函数 $f (x) = 2 c o s (ω x + φ) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π, f (x)$ 的图像关于点 $(\frac{π}{12}, 0)$ 对称， $f (0) > 0$ .若 $f (x)$ 在 $[0, m]$ 上存在最大值2，则实数 $m$ 的最小值是.

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三、/span>､解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23为选考题，考生根据要求作答.

17. 随着科学技术飞速发展，科技创新型人才需求量增大，在2015年，国家开始大力推行科技特长生招生扶持政策，教育部也出台了《关于“十三五”期间全面深入推进教育信息化工作的指导意见（征求意见稿）》为选拔和培养科技创新型人才做好准备.某调研机构调查了 $A, B$ 两个参加国内学科竞赛的中学，从 $A, B$ 两个中学的参赛学员中随机抽取了60人统计其参赛获奖情况，并将结果整理如下：

未获得区前三名及以上名次
获得区前三名及以上名次
A中学
11
6
B中学
34
9
附： $K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.10
0.05
0.025
0.010
$k_{0}$
2.706
3.841
5.024
6.635

(1)、试判断是否有 $90 %$ 的把握认为获得区前三名及以上名次与所在的学校有关？

(2)、用分层抽样的方法，从样本中获得区前三名及以上名次的学生中抽取5人，再从这5人中任选3人进行深度调研，求所选的3人中恰有2人来自 $B$ 中学的概率.

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18. 如图，多面体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ 为菱形， $∠ B A D = \frac{π}{3}, B D = D E = 2 B F = 2, D E ⊥ A C, B F$ $∥$ $D E$ .

(1)、求证：平面 $A C F ⊥$ 平面 $B D E F$ ；

(2)、当 $B F ⊥ C D$ 时，求三棱锥 $D - A C F$ 的体积.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = \frac{3}{2} (a_{n} - 1) (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、在 $a_{n}$ ，与 $a_{n + 1}$ 之间插入 $n$ 个数，使这 $n + 2$ 个数组成一个公差为 $b_{n}$ 的等差数列，若 $c_{n} = \frac{b_{n}}{3^{n}}$ ，求数列 ${c_{n} c_{n + 1}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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20. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $P (- 1, 2)$ 在 $C$ 的渐近线上，且满足 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、点 $Q$ 为 $C$ 的左顶点，过 $P$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A, B$ 两点，直线 $A Q$ 与 $y$ 轴交于点 $M$ ，直线 $B Q$ 与 $y$ 轴交于点 $N$ ，证明：线段 $M N$ 的中点为定点.

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21. 已知函数 $f (x) = a x - \frac{1}{x} - (a + 1) l n x (a \in R)$ .

(1)、当 $a = - 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(e, f (e))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 既存在极大值，又存在极小值，求实数 $a$ 的取值范围.

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四、请考生在22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目记分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.

22. [选修4-4：极坐标与参数方程]
在平面直角坐标系中，直线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + t c o s α, \\ y = t s i n α \end{array}$ （ $t$ 为参数），以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} = \frac{4}{3 - c o s 2 θ}$ .

(1)、求曲线 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、若直线 $C_{1}$ 与曲线 $C_{2}$ 交于点 $A, B$ ，且 $P (1, 0)$ ，求 $\frac{1}{| P A |} + \frac{1}{| P B |}$ 的值.

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23. [选修4-5：不等式选讲]
已知 $f (x) = | 2 x - 1 | + | 2 x - 2 | + | x |$ .

(1)、求 $f (x) \geq 2$ 的解集；

(2)、记 $f (x)$ 的最小值为 $t$ ，且 $a + b = \frac{2}{3} t (a > 0, b > 0)$ ，求证： $(\frac{1}{a} + a) (\frac{1}{b} + b) \geq \frac{25}{4}$ .

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	未获得区前三名及以上名次	获得区前三名及以上名次
A中学	11	6
B中学	34	9

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.05	0.025	0.010
$k_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635