湖北省武汉市问津教育联合体2023-2024学年高二下学期3月联考数学试卷

试卷更新日期：2024-04-10 类型：月考试卷

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一、/span>､选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 下列求导运算结果正确的是（）

A、 ${(x + \frac{1}{x})}^{'} = 1 + \frac{1}{x^{2}}$ B、 ${(x l n x)}^{'} = l n x + 1$ C、 ${(s i n π)}^{'} = c o s π$ D、 ${(\frac{e^{x}}{\dot{x}})}^{'} = \frac{e^{x} (x + 1)}{x^{2}}$

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2. 在前 $n$ 项和为 $S_{n}$ 的等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{6} = a_{5} + S_{4}$ ， $a_{7} = 19$ ，则 $S_{5} =$ （）

A、3 B、10 C、15 D、25

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3. 设 $f^{'} (x) = x^{2} - 2 x$ 是函数 $f (x)$ 的导函数，则 $y = f (x)$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 已知直线 $l$ 过点 $A (1, 1)$ 交圆 $O : x^{2} + y^{2} = 4$ 于 $C, D$ 两点，则“ $| C D | = 2 \sqrt{3}$ 是直线 $l$ 的斜率为0”的（）

A、必要而不充分条件 B、充分必要条件 C、充分而不必要条件 D、即不充分也不必要条件

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5. 若 $f (x) = - \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + 1$ 是区间 $(m - 1, m + 4)$ 上的单调函数，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m \leq - 5$ B、 $m \geq 3$ C、 $m \leq - 5$ 或 $m \geq 3$ D、 $- 5 \leq m \leq 3$

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6. 已知双曲线 $C : x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1, O$ 为坐标原点， $F$ 是 $C$ 的左焦点，过点 $F$ 的直线与 $C$ 的两条渐近线分别交于M、N.若三角形 $O M N$ 是直角三角形，则三角形 $O M N$ 的面积 $=$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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7. 若函数 $f (x)$ 的导数 $f^{'} (x) = x - s i n x, f (x)$ 的最小值为0，则函数 $y = f (x) - c o s x$ 的零点为（）

A、0 B、 $\pm \sqrt{2}$ C、 $\pm 2$ D、 $2 k π (k \in Z)$

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8. 设三棱锥 $S - A B C$ 的三条侧棱SA ， SB ， SC两两相互垂直， $A B = 2$ ， $B C = 3$ ， $A C = \sqrt{7}$ ，其顶点都在球O的球面上，则球心O到平面ABC的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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二、/span>､多选题：（本题共3小題，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合茅目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的的0分）

9. 以下四个命题表述正确的是（）

A、直线 $(m - 1) x + (2 m - 1) y = m - 3 (m \in R)$ 恒过定点 $(5, - 2)$ B、已知过点 $(0, - 1)$ 的直线l与以点 $A (4, 2)$ ， $B (- 3, 1)$ 为端点的线段AB相交，则直线l的斜率的取值范围为 $[- \frac{2}{3}, \frac{3}{4}]$ C、圆 $x^{2} + y^{2} = 2$ 上有且仅有3个点到直线 $l : x - y + 1 = 0$ 的距离都等于 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} = 2$ ， P为直线 $x - y + 2 \sqrt{3} = 0$ 上一动点，过点P向圆C引一条切线PA ，其中A为切点，则线段PA的最小值为2

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10. 如图，八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点 $A, B, C, D$ 在同一个平面内，如果四边形 $A B C D$ 是边长为4的正方形，则（）

A、异面直线 $A E$ 与 $D F$ 所成角大小为 $\frac{π}{3}$ B、二面角 $A - E B - C$ 的平面角的余弦值为 $\frac{1}{3}$ C、存在一个体积为 $\frac{10 π}{3}$ 的圆柱体可整体放入此八面体内. D、此八面体的内切球表面积为 $\frac{8 π}{3}$

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11. 已知函数 $f (x) = | x - 3 | e^{x} + a - 1$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $y = f (x)$ 在 $(2, 3)$ 上单调递减 B、 $y = f (x)$ 恰有一个极大值 C、当 $a > 1$ 时， $y = f (x)$ 有三个零点 D、当 $a = 1$ 时， $f (f (x)) = 0$ 有三个实数解

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三、/span>､填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分）

12. 已知 $a$ 、 $b$ 为实数，函数 $y = l n x + \frac{a}{x}$ 在 $x = 1$ 处的切线方程为 $4 x - y + b = 0$ ，则 $a b$ 的值.

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13. 已知各项都为正数的等比数列 ${a_{n}}$ ，若 $a_{8} a_{2} + 5 a_{5} = 14$ ，则 $l o g_{2} a_{1} + l o g_{2} a_{2} + l o g_{2} a_{3} + \dots + l o g_{2} a_{9} =$ .

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14. 已知抛物线 $E : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，圆 $F$ 以 $F$ 为圆心，且过坐标原点.过 $F$ 作斜率为1的直线 $l$ ，与 $E$ 交于点 $A, B$ ，与圆 $F$ 交于点 $C, D$ ，其中点 $B, D$ 均在第一象限， $| B D | - | A C | = 4 \sqrt{2}$ ，则 $p =$ .

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四、/span>､解答题（本題共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）

15. 公比为 $q$ 的等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = 2^{n} + a$ .

(1)、求 $a$ 与 $q$ 的值；

(2)、若 $b_{n} = l o g_{2} a_{n}$ ，记数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，若 $\frac{1}{T_{2}} + \frac{1}{T_{3}} + ⋯ + \frac{1}{T_{n + 1}} < λ$ 恒成立.求 $λ$ 的最小值.

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16. 已知点 $A (0, - 2)$ 和直线 $l : y = - x$ ，点 $B$ 是点 $A$ 关于直线 $l$ 的对称点.

(1)、求点 $B$ 的坐标；

(2)、 $O$ 为坐标原点，且点 $P$ 满足 $| P O | = \sqrt{3} | P B |$ .若点 $P$ 的轨迹与直线 $x - m y - 1 = 0$ 没有公共点，求 $m$ 的取值范围.

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17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的菱形， $A C = 2 \sqrt{3}$ ，三角形 $P A D$ 为等边三角形，点 $M, N$ 分别为 $A B, P C$ 的中点.

(1)、证明：直线 $M N$ $∥$ 平面PAD；

(2)、当二面角 $P - A D - C$ 为 $12 0^{∘}$ 时，求直线 $M N$ 与平面 $P C D$ 所成的角的正弦值.

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18. 已知函数 $f (x) = a x - l n (x + 1)$ ，其中已知 $a > 0$

(1)、若 $f (x)$ 的零点也是其极值点，求实数 $a$ 的值；

(2)、若 $f (x) > 0$ 对所有 $x \in (0, + \infty)$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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19. 已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1} (- 1, 0) 、 F_{2} (1, 0)$ ，左､右顶点分别为 $A, B, P (x, y)$ 为椭圆 $E$ 上一点，且 $\sqrt{(x - 1)^{2} + y^{2}} + \sqrt{(x + 1)^{2} + y^{2}} = 2 \sqrt{2}$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、过 $F_{1}$ 的直线与椭圆 $E$ 交于 $C, D$ 两点（其中点 $C$ 位于 $x$ 轴上方），记直线 $A C, B D$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，试判断 $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 是否为定值，如果是定值，求出定值，若果不为定值，请说明理由.

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