广西南宁市武鸣区2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷

试卷更新日期：2024-04-10 类型：月考试卷

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一、单项选择题 (本题共8小题，每题5分，共40分）

1. 已知集合 $M = \{- 2, - 1,0, 1,2\}$ ， $N = \{x |x^{2} - x - 6 \geq 0 \}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $\{- 2, - 1,0, 1\}$ B、 $\{0,1, 2\}$ C、 $\{- 2\}$ D、 $\{2\}$

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2. 已知向量 $\overset{⃑}{a} = (- 3,2)$ ， $\overset{⃑}{b} = (4, - 2 λ)$ ，若 $(\overset{⃑}{a} + 3 \overset{⃑}{b})$ ∥ $(\overset{⃑}{a} - \overset{⃑}{b})$ ，则实数 $λ$ 的值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{7}{4}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{7}{5}$

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3. 已知平面向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ，若 $|\vec{b}| = 3$ ， $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{13}$ ，则 $|\vec{a}| =$ （）

A、2 B、3 C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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4. 已知 $a = e^{0.1}$ ， $b = 1 - 2 l g 2$ ， $c = 2 - {l o g}_{3} 10$ ，则a ， b ， c的大小关系是（）

A、 $b > c > a$ B、 $a > b > c$ C、 $a > c > b$ D、 $b > a > c$

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5. 若 $\vec{a} = (1, \sqrt{3})$ ， $|\vec{b}| = \sqrt{3}$ ， $|\vec{a} - 2 \vec{b}| = 2$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $30 °$ B、 $60 °$ C、 $120 °$ D、 $150 °$

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6. 若 $α \in (0, π)$ ，且 $c o s α + s i n α = - \frac{1}{3}$ ，则 $s i n α =$ （）

A、 $\frac{- 1 \pm \sqrt{17}}{6}$ B、 $\frac{- 1 + \sqrt{17}}{6}$ C、 $\pm \frac{\sqrt{17}}{9}$ D、 $\frac{\sqrt{17}}{9}$

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7. 在 $Δ A B C$ 中， $A B = \sqrt{3}$ ， $A C = 2$ ，若O为 $Δ A B C$ 内部的一点，且满足 $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ ，则 $\vec{A O} \cdot \vec{B C} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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8. $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $B C = 2 \sqrt{6}$ ， $A C = 4$ ，点 $O$ 为 $△ A B C$ 的外心，若 $\overset{⃑}{A O} = m \overset{⃑}{A B} + n \overset{⃑}{A C}$ ，则实数 $\frac{m + n}{m - n}$ 的值为（）

A、 $7$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $- \frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{7}$

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二、多项选择题 (本题共3小题，每题6分，共18分）

9. 已知 $x$ ， $y$ 是正数，且 $x + y = 2$ ，下列叙述正确的是（）

A、 $x y$ 最大值为1 B、 $2^{x} + 2^{y}$ 有最大值4 C、 $\sqrt{x} + \sqrt{y}$ 的最大值为2 D、 $\frac{1}{x} + \frac{4}{y}$ 的最小值为9

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10. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图，大正方形 $A B C D$ 由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成，其中小正方形的边长为1，E为 $D F$ 的中点，则（）

A、 $c o s ∠ E A D = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $|\overset{⃑}{A D} + \overset{⃑}{A E}| = \sqrt{17}$ C、 $\overset{⃑}{A E} = \frac{4}{5} \overset{⃑}{A D} + \frac{2}{5} \overset{⃑}{A B}$ D、 $\overset{⃑}{A B} \cdot \overset{⃑}{A E} = \frac{8}{5}$

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11. 关于函数 $f (x) = s i n 2 x - c o s 2 x$ ，下列命题中为真命题的是（）

A、函数 $y = f (x)$ 的周期为π B、直线 $x = \frac{π}{4}$ 是 $y = f (x)$ 的一条对称轴 C、点 $(\frac{π}{8}, 0)$ 是 $y = f (x)$ 的图案的一个对称中心 D、将 $y = f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度，可得到 $y = \sqrt{2} s i n 2 x$ 的图象

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三、填空题 (本题共3小题，每题5分，共15分）

12. 函数 $f (x) = lg \frac{1 + 2 x}{x}$ 的定义域是.

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13. 在 $△ A B C$ 中，点D ， E ， F分别是边 $A B$ ， $B C$ ， $C A$ 的中点，则 $\overset{⃑}{D B} + \overset{⃑}{E C} + \overset{⃑}{F A} =$ .

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14. 若函数 $f (x) = \{\begin{matrix} a x + a - 1, x > 0, \\ - x^{2} - (a - 2) x, x \leq 0 \end{matrix}$ 是 $R$ 上的单调递增函数，则实数a的取值范围是.

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四、解答题 (本题共5小题，共77分）

15. 在 $△ A B C$ 中， $\overset{⃑}{C D} = 2 \overset{⃑}{D B}$ ，设 $\overset{⃑}{A D} = x \overset{⃑}{A B} + y \overset{⃑}{A C}$ （ $x$ 、 $y$ 为实数）.

(1)、求 $x$ ， $y$ 的值；

(2)、若 $\overset{⃑}{A B} = (1 ， 3)$ ， $\overset{⃑}{A C} = (4 ， 3)$ ，求 $\overset{⃑}{A D} \cdot \overset{⃑}{B C}$ .

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16. 已知平面向量 $\overset{⃑}{a} = (3,4)$ ， $\overset{⃑}{b} = (9, x)$ ， $\overset{⃑}{c} = (4, y)$ ，且 $\overset{⃑}{a} // \overset{⃑}{b}$ ， $\overset{⃑}{a} ⊥ \overset{⃑}{c}$

(1)、求 $\overset{⃑}{b}$ 和 $\overset{⃑}{c}$ ；

(2)、若 $\overset{⃑}{m} = 2 \overset{⃑}{a} - \overset{⃑}{b}$ ， $\overset{⃑}{n} = \overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{c}$ ，求向量 $\overset{⃑}{m}$ 在向量 $\overset{⃑}{n}$ 的投影向量的坐标．

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17. 已知 $△ A B C$ 中， $A C = 1, B C = 2, ∠ A B C = 30 °$ ，且边 $A B, B C$ 上的中线 $C D, A E$ 交于点 $M$ .

(1)、求 $A B$ 的长；

(2)、求 $c o s ∠ A M C$ 的值.

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18. 已知三角形ABC中，内角A ， B ， C所对边分别为a ， b ， c ，且 $(2 a - c) c o s B - b c o s C = 0$ ．

(1)、求角B；

(2)、若b＝2，求 $a + c$ 的取值范围．

(3)、若b＝2，求三角形ABC面积的最大值．

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19. 世界范围内新能源汽车的发展日新月异，电动汽车主要分三类：纯电动汽车、混合动力电动汽车和燃料电池电动汽车.这3类电动汽车目前处在不同的发展阶段，并各自具有不同的发展策略.中国的电动汽车革命也早已展开，以新能源汽车替代汽（柴）油车，中国正在大力实施一项将重新塑造全球汽车行业的计划.2024年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2000万元，每生产 $x$ （百辆），需另投入成本 $C (x)$ （万元），且 $C (x) = \{\begin{matrix} 10 x^{2} + 100 x, 0 < x < 40 \\ 501 x + \frac{10000}{x} - 4500, x \geq 40 \end{matrix}$ ；已知每辆车售价5万元，由市场调研知，全年内生产的车辆当年能全部销售完.

(1)、求出2024年的利润 $L (x)$ （万元）关于年产量 $x$ （百辆）的函数关系式；

(2)、2024年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.

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