贵州省新高考协作体2023-2024学年高二（下）入学数学试卷

试卷更新日期：2024-04-10 类型：开学考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知区间 $M = (- 1,3)$ ， $N = (- 1,1)$ ，则 $∁_{M} N =$ （）

A、 $(- 1,1)$ B、 $(1,3)$ C、 $[1,3)$ D、 $(3, + \infty]$

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2. 已知 $t a n θ = - \frac{1}{2}$ ，则 $s i n 2 θ =$ （）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $- \frac{2}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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3. 若函数 $y = a^{x} + b - 1$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象经过第二、三、四象限，则一定有（）．

A、 $0 < a < 1$ 且 $b > 0$ B、 $a > 1$ 且 $b > 0$ C、 $0 < a < 1$ 且 $b < 0$ D、 $a > 1$ 且 $b < 0$

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4. 已知非零复数 $z$ 满足 $z^{2} = \bar{z} (\bar{z}$ 为 $z$ 的共轭复数 $)$ ，则 $z$ 的模为（）

A、 $1$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{4}$

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5. 已知双曲线 $C$ 的中心在坐标原点，焦点在 $y$ 轴上，其中一条渐近线的方程为 $3 x + 4 y = 0$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{3 \sqrt{7}}{7}$

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6. 在 $△ A B C$ 中，已知 $c o s A = \frac{12}{13}$ ， $s i n B = \frac{3}{5}$ ，则 $c o s C$ 等于（）

A、 $- \frac{33}{65}$ B、 $\frac{63}{65}$ C、 $- \frac{33}{65}$ 或 $\frac{63}{65}$ D、 $\frac{33}{65}$ 或 $\frac{63}{65}$

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7. 我校高二 $(1)$ 班周一有语文、数学、英语、物理、化学、体育和班会共 $7$ 节课，已知体育不能排在第一、二节，且数学课的前一节课不能是体育课，班会课只能在第六、七节，则该班周一的排课方法共有（）

A、 $840$ 种 B、 $868$ 种 C、 $912$ 种 D、 $936$ 种

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8. 如图， $O_{1}$ 是正四面体的内切球，球 $O_{2}$ ， $O_{3}$ ， $O_{4}$ ， $O_{5}$ 分别是四个角处与球 $O_{1}$ 及正四面体的三个侧面都相切的球 $.$ 则球 $O_{1}$ 的体积与球 $O_{2}$ ， $O_{3}$ ， $O_{4}$ ， $O_{5}$ 的体积之和的比为（）

A、 $1$ ： $2$ B、 $1$ ： $1$ C、 $3$ ： $2$ D、 $2$ ： $1$

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二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9. 已知向量 $\vec{a} = (- 1,2)$ ， $\vec{b} = (1, m)$ ，则（）

A、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $m$ 的值为 $- 2$ B、与 $\vec{a}$ 方向相同的单位向量 $\vec{e} = (- \frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ C、若 $m = 3$ ，则 $< \vec{a}$ ， $\vec{b} > = 45 °$ D、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角为钝角的充要条件是 $m < \frac{1}{2}$

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10. 已知 $m$ ， $n$ 为两条不同的直线， $α$ ， $β$ 两个不同的平面，且 $m ⊥ α$ ， $n / / β$ ，则（）

A、若 $m / / n$ ，则 $α ⊥ β$ B、若 $m / / β$ ，则 $m ⊥ n$ C、若 $m ⊥ β$ ，则 $m ⊥ n$ D、若 $m / / n$ ，则 $m / / β$

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11. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）

A、 $ω = 2$ B、函数 $y = f (x - \frac{π}{6})$ 为偶函数 C、函数 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{5 π}{12}$ 对称 D、函数 $y = f (x)$ 在 $[- \frac{π}{3} ， \frac{π}{12}]$ 上的最小值为 $- \sqrt{3}$

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12. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (1) = 1$ 且 $f (x + y) + f (x - y) = f (x) f (y)$ ，则（）

A、 $f (0) = 2$ B、 $f (2) = 0$ C、 $f (x)$ 为偶函数 D、 $f (x)$ 为周期函数

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 已知直线 $l$ 过点 $(0,1)$ 和 $(- \sqrt{2}, 3)$ ，则直线 $l$ 的一般式方程为．

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14. 已知关于 $x$ 的不等式 $m x^{2} + 3 m x - 12 < 0$ 的解集为 $R$ ，则实数 $m$ 的取值范围是．

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15. 在 $(x^{2} - 4 x + 4)^{5}$ 的展开式中，含 $x^{7}$ 项的系数为 $($ 用数字作答 $)$ ．

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16. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $| A B | = 9$ ， $| A F | < | B F |$ 若点 $A$ 的坐标为 $(1, - 2 \sqrt{2})$ ，则 $\frac{| A F |}{| B F |}$ 的值为 $.$ 过点 $B$ 作 $C$ 的准线的垂线，垂足为 $B_{1}$ ，则 $| B_{1} A | =$ ．

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四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. 近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理、将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱 $.$ 为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计 $1000 t$ 生活垃圾，整理数据后得到如下统计图．

(1)、根据统计图信息，完善下表并估计厨余垃圾投放正确的概率；
垃圾箱种类
“厨余垃圾”箱
“可回收物”箱
“其他垃圾”箱
投放量 $/ t$
厨余垃圾
可回收物

$30$

$81$
其他垃圾

$70$

$99$

(2)、求厨余垃圾分别在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量的方差 $. ($ 结果保留整数 $)$

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18. 已知与平面直角坐标系两坐标轴都相切的圆 $C$ 过点 $M (6,3)$ ．

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若圆 $C$ 的半径 $r$ 满足 $r < | O M | ($ 其中 $O$ 为原点 $)$ ，且过点 $N (2,1)$ 的直线与圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，求 $| A B |$ 的最小值．

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19. 如图，四边形 $A B C D$ 为正方形， $E D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $F B / / E D$ ， $A B = E D = 2 F B = 2$ ．

(1)、求证： $F C / /$ 平面 $A E D$ ；

(2)、求三棱锥 $D - A E F$ 的体积．

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20. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $b c o s C - c c o s B = a$ ．

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若平面内一点 $D$ 满足 $\vec{B D} = \frac{1}{3} \vec{B C} + \frac{2}{3} \vec{B A}$ ，且 $| B D | = \sqrt{2}$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值．

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21. 如图， $O$ 是棱长为 $2$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的中心， $E$ 是棱 $B_{1} C_{1}$ 的中点， $P$ 是正方体表面满足 $O P ⊥ C E$ 的动点．

(1)、举出 $3$ 个点 $P$ 的位置 $($ 要求：这 $3$ 个点不共线，无需说明理由 $)$ ；

(2)、记由（1）中所举 $3$ 个点所确定的平面为 $α$ ，求平面 $α$ 与平面 $B E D_{1}$ 所成角的余弦值；

(3)、求动点 $P$ 的轨迹的长度．

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22. 设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $M$ 是椭圆上的动点 $.$ 已知 $△ F_{1} M F_{2}$ 面积的最大值为 $12$ ，且点 $F_{2}$ 到点 $E (\frac{72}{c}, 0)$ 的距离等于 $| O F_{2} |$ ，其中 $c$ 是椭圆的半焦距．

(1)、求椭圆的标准方程．

(2)、若线段 $O F_{1}$ ， $O F_{2}$ 的中点分别为 $G$ ， $H$ ，过点 $G$ 作直线 $l$ 交椭圆于点 $M$ ， $N$ ，则是否存在满足 $H M ⊥ H N$ 的直线 $l$ ？若存在，请求出直线 $l$ 的方程；若不存在，请说明理由．

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垃圾箱种类		“厨余垃圾”箱	“可回收物”箱	“其他垃圾”箱
投放量 $/ t$	厨余垃圾
	可回收物	$30$		$81$
	其他垃圾	$70$		$99$