四川省绵阳市部分中学2023-2024学年高二下学期数学3月月考试卷

试卷更新日期：2024-04-10 类型：月考试卷

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一、单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）

1. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 4$ ， $a_{5} = 12$ ，则 $a_{6}$ =（）

A、 $13$ B、 $14$ C、 $15$ D、 $16$

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2. 已知等比数列 ${a_{n}} ， a_{1} = 1 ， a_{2} = 2$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的前10项和为（）

A、55 B、110 C、511 D、1023

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3. 某银行为客户定制了A ， B ， C ， D ， E共5个理财产品，并对5个理财产品的持有客户进行抽样调查，得出如下的统计图：
用该样本估计总体，以下四个说法错误的是（）

A、44~56周岁人群理财人数最多 B、18~30周岁人群理财总费用最少 C、B理财产品更受理财人青睐 D、年龄越大的年龄段的人均理财费用越高

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4. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环图 $1 \to 4 \to 2 \to 1$ ，这就是数学史上著名的“冰霓猜想”（又称“角谷猜想”等）．已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = 3$ ， $a_{n + 1} = {\begin{array}{l} \frac{a_{n}}{2}, a_{n} 为偶数 \\ 3 a_{n} + 1, a_{n} 为奇数 \end{array}$ ，则 $a_{22}^{} =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 我国古代数学论著中有如下叙述：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯二百五十四．”意思如下：一座7层塔共挂了254盏灯，且相邻两层的下一层所挂灯数是上一层所挂灯数的2倍．下列结论不正确的是（）

A、底层塔共挂了128盏灯 B、顶层塔共挂了2盏灯 C、最下面3层塔所挂灯的总盏数比最上面3层塔所挂灯的总盏数多200 D、最下面3层塔所挂灯的总盏数是最上面3层塔所挂灯的总盏数的16倍

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6. 任意抛掷一次骰子，朝上面的点数记为X ，则 $X \in {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ ，定义事件： $A = {1, 2, 3}$ ， $B = {1, 5, 6}$ ， $C = {1, 4, 5}$ ，则（）

A、 $P (B C) = \frac{5}{8}$ B、 $P (A B C) = P (A) P (B) P (C)$ C、 $P (A \cup B) = \frac{5}{6}$ D、B ， C相互独立

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7. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + \frac{a_{2}}{2} + \frac{a_{3}}{3} + ⋯ + \frac{a_{n}}{n} = 1 - \frac{1}{2^{n}}$ ，则 $a_{n} =$ （）

A、 $1 - \frac{1}{2^{n}}$ B、 $\frac{1}{2^{n - 3}}$ C、 $\frac{1}{2^{n}}$ D、 $\frac{n}{2^{n}}$

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8. 已知各项都不为零的无穷数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{n + 1} a_{n} + a_{n + 1} - a_{n} = 0$ ，若 $a_{8}^{}$ 为数列 ${a_{n}}$ 中的最小项，则 $a_{1}$ 的取值范围是（）

A、 $(- \frac{1}{7}, - \frac{1}{8})$ B、 $(- \frac{1}{8}, - \frac{1}{9})$ C、 $(\frac{1}{8}, \frac{1}{7})$ D、 $(\frac{1}{9}, \frac{1}{8})$

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二、多项选择题（每小题5分，共4小题，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

9. 已知 ${a_{n}}$ 为等差数列，满足 $2 a_{2} - a_{1} = 2,$ ${b_{n}}$ 为等比数列，满足 $b_{2} = 1, b_{4} = 4$ ，则下列说法正确的是（）

A、数列 ${a_{n}}$ 的首项为4 B、 $a_{3} = 2$ C、 $b_{8} = 64$ D、数列 ${b_{n}}$ 的公比为 $\pm 2$

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10. 已知一组数据：3，3，4，4，4，x ， 5，5，6，6的平均数为5，则（）

A、 $x = 10$ B、这组数据的众数和中位数均为4 C、这组数据的方差为3.8 D、若将这组数据每一个都加上0.3，则所有新数据的方差不变

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11. 设 $S_{n}$ 是等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{7} = S_{13}$ ，且 $(n + 1) S_{n} > n S_{n + 1} (n \in N^{*})$ ，则下列选项中正确的是（）

A、 $a_{10} < a_{11}$ B、 $S_{10}$ 为 $S_{n}$ 的最大值 C、存在正整数 $k$ ，使得 $S_{k} = 0$ D、不存在正整数 $m$ ，使得 $S_{m} = S_{3 m}$

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12. 某个足球俱乐部为了提高队员的进球水平，开展罚点球积分游戏，开始记0分，罚点球一次，罚进记2分，罚不进记1分．已知该俱乐部某队员罚点球一次罚进的概率为 $\frac{2}{3}$ ，罚不进的概率为 $\frac{1}{3}$ ，每次罚球相互独立．若该队员罚点球积分为 $n$ 的概率为 $p_{n} (n \in N *)$ .下列说法正确的是（）

A、 $p_{1}^{} = \frac{1}{3}$ B、 $p_{n} = \frac{1}{3} p_{n - 1} + \frac{2}{3} p_{n - 2} (n \geq 3)$ C、 $p_{n}^{} = \frac{6 n - 1}{3_{}^{n}}$ D、积分为2分时的概率最大

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三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接填在答题卡中的横线上.）

13. 斐波那契数列的前7项是1，1，2，3，5，8，13，则该数列的第8项为．

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14. 如图所示，电路元件 $R_{1}$ ， $R_{2}$ ， $R_{3}$ 正常工作的概率分别为 $\frac{3}{4}$ ， $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{2}$ ，则电路能正常工作的概率为．

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $l o g_{2} a_{n + 1} = l o g_{2} a_{n} + 1$ (n∈N*)，且 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + ⋯ + a_{10} = 1$ ，则 $l o g_{2} (a_{101} + a_{102} + ⋯ + a_{110}) =$ .

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16. 数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列．其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列2，4，7，11，16从第二项起，每一项与前一项的差组成的新数列2，3，4，5是等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列．现有二阶等差数列 ${a_{n}}$ ，其前六项分别为1，3，6，10，15，21，则 $\frac{a_{n} + 1}{n + 1}$ 的最小值为．

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四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段： $[40, 50)$ ， $[50, 60), ⋯, [90, 100]$ ，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、求频率分布直方图中 $a$ 的值；

(2)、求样本成绩的第75百分位数；

(3)、现从该样本成绩在 $[40, 50)$ 与 $[90, 100]$ 两个分数段内的市民中按分层抽样选取6人，求从这6人中随机选取2人，且2人的竞赛成绩之差的绝对值大于20的概率.

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18. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = 81$ ，公比 $q = \frac{1}{9}$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = l o g_{3} a_{n}$ ．

(1)、证明：数列 ${b_{n}}$ 为等差数列；

(2)、设数列 ${b_{n}}$ 前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求使 $S_{n} > - 36$ 的所有正整数 $n$ 的值的和．

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19. 某校举办了“强国有我，挑战答题”的知识竞赛活动，已知甲、乙两队参加，每队3人，每人回答且仅回答一个问题，答对者为本队赢得1分，答错得0分.假设甲队中3人答对的概率分别为 $\frac{3}{4}$ ， $\frac{2}{3}$ ， $\frac{1}{2}$ ，乙队中每人答对的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，且各人回答问题正确与否互不影响.

(1)、分别求甲队总得分为1分和2分的概率；

(2)、求活动结束后，甲、乙两队共得4分的概率.

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20. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = - 5$ ，其中 $a_{3}$ 、 $a_{4} - 1$ 、 $a_{5} + 1$ 成等比数列.等比数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，且 $T_{n} = 2^{n + 1} - 2$ ( $n \in N^{*}$ ).

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = a_{n} b_{n} (n \in N^{*})$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和 $R_{n}$ .

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ ，若 $a_{1} = 1$ ，且 $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1$ .

(1)、证明数列 ${a_{n} + 1}$ 是等比数列，并求出 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{n (a_{n} + 1)}{2^{n}}$ ，且数列 ${\frac{1}{b_{n} b_{n + 2}}}$ 的前项和为 $S_{n}$ ，求证： $\frac{1}{3} \leq S_{n} < \frac{3}{4}$ .

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22. 数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} + 2 = 2 a_{n} (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、数列 ${b_{n}}$ 满足 $6 n^{2} - (t + 3 b_{n}) n + 2 b_{n} = 0$ ( $t \in R$ ， $n \in N^{*}$ ).
①试确定实数 $t$ 的值，使得数列 ${b_{n}}$ 为等差数列；
②在①的结论下，若对每个正整数 $k$ ，在 $a_{k}$ 与 $a_{k + 1}$ 之间插入 $b_{k}$ 个2，得到一个数列 ${c_{n}}$ ．设 $T_{n}$ 是数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和，试求满足 $T_{m} = 2 c_{m + 1}$ 的所有正整数 $m$ ．

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