江苏省宿迁市泗阳县实验高级中学2023-2024学年高二下学期第一次调研测试（3月）数学试题

试卷更新日期：2024-04-10 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 十字路口来往的车辆，如果不允许回头，那么不同的行车路线有（）

A、16条 B、12条 C、4条 D、3条

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2. 已知 $\vec{v}$ 为直线 $l$ 的方向向量， $\vec{n_{1}}$ 、 $\vec{n_{2}}$ 分别为平面 $α$ 、 $β$ 的法向量（ $α$ 、 $β$ 不重合），那么下列说法中：① $\vec{n_{1}} / / \vec{n_{2}} \Leftrightarrow α / / β$ ；② $\vec{n_{1}} ⊥ \vec{n_{2}} \Leftrightarrow α ⊥ β$ ；③ $\vec{v} / / \vec{n_{1}} \Leftrightarrow l / / α$ ；④ $\vec{v} ⊥ \vec{n_{1}} \Leftrightarrow l ⊥ α$ .其中正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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3. 在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，直线AB₁与平面ACC₁A₁所成角为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{6}$

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4. 已知O，A，B，C为空间中不共面的四点，且 $\vec{O P} = \frac{1}{3} \vec{O A} + \frac{1}{4} \vec{O B} + λ \vec{O C} (λ \in R)$ ，若P，A，B，C四点共面，则 $λ =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{5}{12}$ D、 $- \frac{7}{12}$

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5. $(a_{1} + a_{2}) (b_{1} + b_{2}) (c_{1} + c_{2} + c_{3})$ 完全展开后的项数是（）

A、7 B、9 C、12 D、18

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6. 已知向量 $\vec{a} = (2, - 3, 0)$ ， $\vec{b} = (0, 3, 4)$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为（）

A、 $- \frac{9}{25} \vec{b}$ B、 $- \frac{9}{13} \vec{a}$ C、 $\frac{9}{13} \vec{a}$ D、 $\frac{9}{25} \vec{b}$

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7. 如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = A A_{1} = 1, ∠ B A D = \frac{π}{3}$ ， $∠ B A A_{1} = ∠ D A A_{1} = \frac{π}{4}$ ，则直线 $B D_{1}$ 与直线 $A A_{1}$ 所成角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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8. 在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点M是 $C C_{1}$ 的中点，点N是底面正方形ABCD内的动点（包括边界），则下列选项正确的是（）

A、不存在点N满足 $∠ A_{1} N M = \frac{π}{2}$ B、满足 $| A_{1} N | = \sqrt{5}$ 的点N的轨迹长度是 $\frac{π}{4}$ C、满足 $M N / /$ 平面 $A_{1} B C_{1}$ 的点N的轨迹长度是 $1$ D、满足 $B_{1} N ⊥ A_{1} M$ 的点M的轨迹长度是 $\sqrt{2}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9. 已知空间向量 $\vec{i}$ 、 $\vec{j}$ 、 $\vec{k}$ 都是单位向量，且两两垂直，则下列结论正确的是（）

A、向量 $\vec{i} + \vec{j} + \vec{k}$ 的模是3 B、 ${\vec{i} + \vec{j} ， \vec{i} - \vec{j} ， \vec{k}}$ 可以构成空间的一个基底 C、向量 $\vec{i} + \vec{j} + \vec{k}$ 和 $\vec{k}$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、向量 $\vec{i} + \vec{j}$ 与 $\vec{k} - \vec{j}$ 共线

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10. 高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A ， B ， C ， D ， E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（）

A、所有可能的方法有 $3^{5}$ 种 B、如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种 C、如果同学甲必须选择社区A ，则不同的安排方法有25种 D、如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种

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11. 布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1）．把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体，若图3中每个正方体的棱长为1，则（）

A、 $\vec{Q C} = \vec{A D} + 2 \vec{A B} + 2 \vec{A A_{1}}$ B、若M为线段 $C Q$ 上的一个动点，则 $\vec{B M} \cdot \vec{B D}$ 的最大值为2 C、点P到直线 $C Q$ 的距离是 $\frac{\sqrt{17}}{3}$ D、异面直线 $C Q$ 与 $A D_{1}$ 所成角的正切值为 $\sqrt{17}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12. 设m，n∈R，已知点A(2，－5，－1)，B(－1，－4 ，－2)，C(m＋3，－3，n)在同一条直线上，则m＋n＝.

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13. 如图所示的几何体是由正三棱锥PABC与正三棱柱ABCA₁B₁C₁组合而成的，现用3种不同的颜色给这个几何体的表面染色(底面A₁B₁C₁不染色)，要求相邻的面均染不同的颜色，则不同的染色方案共有种.

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14. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = \frac{1}{2} B C$ ，线段 $B D_{1}$ 有一动点G，过CG作平行于 $D D_{1}$ 的平面交BD与点F.当直线BD与平面CGF所成角最大时， $\frac{D_{1} G}{D_{1} B} =$ .

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四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15. 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书.

(1)、从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？

(2)、从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？

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16. 如图，三棱锥的棱长都相等，记 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，点 $E$ 在棱 $O C$ 上， $O C = 4 O E$ .

(1)、若D是棱 $A B$ 的三等分点（靠近点 $A$ ），用向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示向量 $\vec{D E}$ ；

(2)、若D是棱 $A B$ 的中点， $\vec{B E} \cdot \vec{O D} = - 5$ ，求三棱锥的棱长.

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17. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $E$ 为 $P D$ 的中点.

(1)、证明： $P B$ //平面 $A E C$ ；

(2)、设 $A D = \sqrt{3}$ ， $A B = 2$ ，若二面角 $D - A E - C$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{57}}{19}$ ，求 $A P$ 的长.

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18. 如图，在 $△ A O P$ 中， $O A ⊥ O P$ ， $O A = 2$ ， $O P = \sqrt{3}$ .将 $△ A O P$ 绕 $O P$ 旋转 $6 0^{∘}$ 得到 $△ B O P$ ， $D$ 、 $E$ 分别为线段 $O P$ 、 $A P$ 的中点.

(1)、求点 $D$ 到平面 $A B P$ 的距离；

(2)、求平面 $O B E$ 与平面 $A B P$ 夹角的余弦值.

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19. 如图，已知向量 $\vec{O A} = \vec{a} ， \vec{O B} = \vec{b} ， \vec{O C} = \vec{c}$ ，可构成空间向量的一个基底，若 $\vec{a} = (a_{1} ， a_{2} ， a_{3})$ ， $\vec{b} = (b_{1} ， b_{2} ， b_{3})$ ， $\vec{c} = (c_{1} ， c_{2} ， c_{3})$ ．在向量已有的运算法则的基础上，新定义一种运算 $\vec{a} \times \vec{b} = (a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2} ， a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3} ， a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1})$ ，显然 $\vec{a} \times \vec{b}$ 的结果仍为一向量，记作 $\vec{p}$

(1)、求证：向量 $\vec{p}$ 为平面OAB的法向量；

(2)、若 $\vec{a} = (1 ， - 1 ， \sqrt{7})$ ， $\vec{b} = (0 ， - 3 ， 0)$ ，求以OA，OB为边的平行四边形OADB的面积，并比较四边形OADB的面积与 $| \vec{a} \times \vec{b} |$ 的大小；

(3)、将四边形OADB按向量 $\vec{O C} = \vec{c}$ 平移，得到一个平行六面体 $O A D B - C A_{1} D_{1} B_{1}$ ，试判断平行六面体的体积V与 $| (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} |$ 的大小．（注：第（2）小题的结论可以直接应用）

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