黑龙江省哈尔滨122中2024年高考数学二模试卷

试卷更新日期：2024-04-10 类型：高考模拟

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (2, σ^{2})$ ，且 $P (2 < X \leq 2.5) = 0.36$ ，则 $P (X > 1.5)$ 等于（）

A、0.14 B、0.62 C、0.72 D、0.86

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2. 下列函数中，在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递增的是（）

A、 $f (x) = - l n x$ B、 $f (x) = \frac{1}{2^{x}}$ C、 $f (x) = - \frac{1}{x}$ D、 $f (x) = 3^{| x - 1 |}$

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3. 已知集合 $A = {x | x > - 1, x \in R}$ ， $B = {x | x^{2} - x - 2 \geq 0, x \in R}$ ，则下列关系中，正确的是（）

A、 $A \subseteq B$ B、 $∁_{R} A \subseteq ∁_{R} B$ C、 $A \cap B = ⌀$ D、 $A \cup B = R$

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4. “ $s i n 2 θ > 0$ ”是“ $θ$ 为第一或第三象限角”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有 $\frac{1}{5}$ 的学生每天玩手机超过 $1 h$ ，这些人近视率约为 $\frac{1}{2}$ ，其余学生的近视率约为 $\frac{3}{8}$ ，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{7}{16}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{7}{8}$

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6. 如图，已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过椭圆左焦点 $F_{1}$ 的直线与椭圆 $C$ 相交于 $P$ ， $Q$ 两点， $| Q F_{2} | = 2 | P F_{2} |$ ， $c o s ∠ P F_{2} Q = \frac{1}{4}$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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7. 已知圆 $O$ 的方程为 $x^{2} + y^{2} = 1$ ，过第一象限内的点 $P (a, b)$ 作圆 $O$ 的两条切线 $P A$ ， $P B$ ，切点分别为 $A$ ， $B$ ，若 $\vec{P O} \cdot \vec{P A} = 8$ ，则 $a + b$ 的最大值为（）

A、 $3$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $6$

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8. 已知函数 $f (x)$ 的导函数 $f' (x) = (x + 2) (x^{2} + x + m)$ ，若 $- 2$ 是函数 $f (x)$ 的极大值点，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- 2, + \infty)$ B、 $(- 4, - 2]$ C、 $(- \infty, - 2]$ D、 $(- \infty, - 2)$

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二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9. 已知 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ) ($ 其中 $ω > 0$ ， $0 < φ < π)$ 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x) = 2 s i n (4 x + \frac{π}{3})$ B、 $| f (x) |$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ C、不等式 $f (x) \geq 1$ 的解集为 ${x | - \frac{π}{24} + \frac{k π}{2} \leq x \leq \frac{π}{8} + \frac{k π}{2}, k \in Z}$ D、将 $f (x)$ 的图象向右平移 $θ$ 个单位长度变为偶函数，则 $θ$ 的最小值是 $\frac{5 π}{24}$

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10. 关于函数 $f (x) = e^{x}$ ， $g (x) = x^{2}$ ，下列说法正确的是（）

A、若过点 $(a, b)$ 可以作曲线 $f (x)$ 的两条切线，则 $0 < b < e^{a}$ B、若 $f (x) - k x \geq 0$ 在 $R$ 上恒成立，则实数 $k$ 的取值范围为 $0 \leq k \leq e$ C、若 $g (x) \leq m f (x)$ 在 $[1,3]$ 上恒成立，则 $m \geq \frac{4}{e^{2}}$ D、若函数 $h (x) = \frac{g (x)}{f (x)} - t$ 有且只有一个零点，则实数 $t$ 的范围为 $t > \frac{4}{e^{2}}$

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11. 已知复数 $z_{0} = 1 - i$ 和 $z$ ，则下列命题是真命题的有（）

A、若 $z$ 满足 $| z - z_{0} | = z_{0} + \bar{z_{0}}$ ，则其在复平面内对应点的轨迹是圆 B、若 $z$ 满足 $| z - z_{0} | + | z - \bar{z_{0}} | = 3$ ，则其在复平面内对应点的轨迹是椭圆 C、若 $z$ 满足 $| z - z_{0} | - | z - \bar{z_{0}} | = 2$ ，则其在复平面内对应点的轨迹是双曲线 D、若 $z$ 满足 $| z + z_{0} + \bar{z_{0}} | = | z - \bar{z_{0}} |$ ，则其在复平面内对应点的轨迹是抛物线

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12. 如图，正六边形 $A B C D E F$ 的边长为 $1$ ， $(\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C D}) \cdot \vec{D E} =$ ．

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13. 测量塔高 $A B$ 时，选取与塔底 $B$ 在同一水平内的两个测量点 $C$ 与 $D$ ，现测得 $∠ B C D = \frac{5 π}{12}$ ， $∠ B D C = \frac{π}{3}$ ， $C D = 100$ ，在点 $C$ 测得塔顶 $A$ 的仰角为 $\frac{π}{4}$ ，测塔高 $A B =$ ．

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14. 已知点 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 是等轴双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左右顶点，且点 $M$ 是双曲线 $C$ 上异于 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 一点， $∠ A_{1} M A_{2} = 2 ∠ M A_{1} A_{2}$ ，则 $∠ M A_{1} A_{2} =$ ．

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四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15. 已知椭圆 $C$ 的两个焦点分别为 $F_{1} (0, - \sqrt{3}), F_{2} (0, \sqrt{3})$ ，且椭圆 $C$ 过点 $P (\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过点 $Q (\frac{1}{2}, 1)$ 作直线 $l$ 交椭圆于 $M$ ， $N$ 两点， $Q$ 是弦 $M N$ 的中点，求直线 $l$ 的方程．

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16. 中国新能源汽车企业在 $10$ 余年间实现了“弯道超车”，使我国一跃成为新能源汽车产量连续 $7$ 年居世界第一的全球新能源汽车强国 $.$ 某新能源汽车配件企业积极加大科研力度，生产效益逐步攀升 $.$ 该企业在今年 $1$ 月份至 $5$ 月份的生产利润 $y ($ 单位：亿元 $)$ 关于月份 $x$ 的数据如表所示：
月份 $x$
$1$
$2$
$3$
$4$
$5$
生产利润 $y ($ 亿元 $)$
$2$
$6$
$8$
$9$
$10$

(1)、试求 $y$ 与 $x$ 之间的相关系数 $r$ ，并利用 $r$ 说明 $y$ 与 $x$ 是否具有较强的线性相关关系； $($ 若 $| r | > 0.75$ ，则认为两个变量具有较强的线性相关性 $)$

(2)、为扩大生产，该企业在 $M$ 大学启动了校园招聘，分别招聘 $A$ 、 $B$ 两个工程师岗位，两个岗位都各设有 $3$ 门笔试科目 $. M$ 大学的硕士毕业生张无忌决定参加这次应聘，且每门科目考试是否通过相互独立 $.$ 若张无忌报考 $A$ 岗位，每门笔试科目通过的概率依次为 $\frac{1}{2}$ ， $t$ ， $\frac{2}{5}$ ，其中 $0 < t < 1$ ；若张无忌报考 $B$ 岗位，每门笔试科目通过的概率均为 $\frac{1}{2} .$ 且张无忌只能报考 $A$ ， $B$ 两个岗位中的一个 $.$ 若以笔试中通过科目数的数学期望为依据作出决策，得出张无忌更有希望通过 $A$ 岗位的笔试，试求 $t$ 的取值范围．
附：参考数据： $\sum_{i = 1}^{5} (x_{i} - \bar{x})^{2} = 10$ ， $\sum_{i = 1}^{5} (y_{i} - \bar{y})^{2} = 40$ ， $\sum_{i = 1}^{5} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 19$ ．
相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} (y_{i} - \bar{y})^{2}}}$ ．

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17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形， $P B = A B = 1$ ， $A D = P D = 2$ ， $∠ B A D = 60 °$ ．

(1)、求证：平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若二面角 $P - B D - A$ 的大小为 $120 °$ ，点 $E$ 在棱 $P D$ 上，且 $P E = 2 E D$ ，求直线 $C E$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 满足 $a_{1} a_{2} a_{3} \dots a_{n} = (\sqrt{2})^{b_{n}} (n \in N^{*}) .$ 若 ${a_{n}}$ 为等比数列，且 $a_{1} = 2$ ， $b_{3} = 6 + b_{2}$ ．

(1)、求 $a_{n}$ 和 $b_{n}$ ；

(2)、设 $c_{n} = \frac{1}{a_{n}} - \frac{1}{b_{n}} (n \in N^{*})$ ，记数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．
①求 $S_{n}$ ；
②求正整数 $k$ ，使得对任意 $n \in N^{*}$ 均有 $S_{k} \geq S_{n}$ ．

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19. 对于函数 $y = f (x)$ ， $x \in D_{1}$ ， $y = g (x)$ ， $x \in D_{2}$ 及实数 $m$ ，若存在 $x_{1} \in D_{1}$ ， $x_{2} \in D_{2}$ ，使得 $f (x_{1}) + g (x_{2}) = m$ ，则称函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 具有“ $m$ 关联”性质．

(1)、若 $f (x) = s i n x$ 与 $g (x) = c o s 2 x$ 具有“ $m$ 关联”性质，求 $m$ 的取值范围；

(2)、已知 $a > 0$ ， $f (x)$ 为定义在 $R$ 上的奇函数，且满足；
①在 $[0,2 a]$ 上，当且仅当 $x = \frac{a}{2}$ 时， $f (x)$ 取得最大值 $1$ ；
②对任意 $x \in R$ ，有 $f (a + x) + f (a - x) = 0$ ．
求证： $y_{1} = s i n π x + f (x)$ 与 $y_{2} = c o s π x - f (x)$ 不具有“ $4$ 关联”性．

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月份 $x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
生产利润 $y ($ 亿元 $)$	$2$	$6$	$8$	$9$	$10$