湖南省常德市2024年高三下学期3月模拟考试数学试题

试卷更新日期：2024-04-10 类型：月考试卷

进入出卷网下载

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合 $A = {x | \frac{1}{x} \leq 1}$ ， $B = {x | - 2 \leq x \leq 2}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $[- 2 ， 0]$ B、 $[1 ， 2]$ C、 $[- 2, 0) ∪ [1, 2]$ D、 $[- 2 ， 2]$

查看试题解析
2. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{4} = 23$ ， $S_{4} = 56$ ，则 $S_{2} =$ （）

A、 $13$ B、 $14$ C、 $15$ D、 $16$

查看试题解析
3. 已知奇函数 $y = f (x)$ 是定义域为R的连续函数，且在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递增，则下列说法正确的是（）

A、函数 $y = f (x) + x^{2}$ 在R上单调递增 B、函数 $y = f (x) - x^{2}$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增 C、函数 $y = x^{2} f (x)$ 在 $R$ 上单调递增 D、函数 $y = \frac{f (x)}{x^{2}}$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增

查看试题解析
4. 如图，现有棱长为6cm的正方体玉石缺失了一个角，缺失部分为正三棱锥 $A_{1} - E F G$ ，
且 $E, F, G$ 分别为棱 $A_{1} A ， A_{1} B_{1} ， A_{1} D_{1}$ 靠近 $A_{1}$ 的四等分点，若将该玉石打磨成一个球形饰品，则该球形饰品的体积的最大值为（）

A、 $\frac{27 \sqrt{3}}{2} π c m^{3}$ B、 $36 π c m^{3}$ C、 $\frac{125 \sqrt{3}}{2} π c m^{3}$ D、 $72 π c m^{3}$

查看试题解析
5. 已知 $c o s α = \frac{1}{3}$ ， $s i n \frac{α}{2} c o s β = \frac{1}{2}$ ，则 $c o s 2 β =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{2}$

查看试题解析
6. 已知平面向量 $a, b$ 均为单位向量，且夹角为 $60 °$ ，若向量 $c$ 与 $a, b$ 共面，且满足 $a \cdot c = b \cdot c =$ $1$ ，则 $| c | =$ （）

A、 $1$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $2$

查看试题解析
7. 已知 $(2 x - 3)^{9} = a_{0} + a_{1} (x - 1) + a_{2} (x - 1)^{2} + ⋯ + a_{8} (x - 1)^{8} + a_{9} (x - 1)^{9}$ ，则 $a_{0} + 2 a_{1} + 3 a_{2} + ⋯ + 9 a_{8} + 10 a_{9}$ =（）

A、9 B、10 C、18 D、19

查看试题解析
8. 设有甲、乙两箱数量相同的产品，甲箱中产品的合格率为90%，乙箱中产品的合格率为80%. 从两箱产品中任取一件，经检验不合格，放回原箱后在该箱中再随机取一件产品，则该件产品合格的概率为（）

A、 $\frac{5}{6}$ B、 $\frac{6}{7}$ C、 $\frac{7}{8}$ D、 $\frac{17}{20}$

查看试题解析

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 下列说法正确的是（）

A、数据6，5，3，4，2，7，8，9的上四分位数(75%分位数)为7 B、样本数据 $x_{i}$ 与样本数据 $y_{i}$ 满足 $y_{i} = x_{i} + 1 (i = 1, 2, ⋯, n)$ ，则两组样本数据的方差相同 C、若随机事件 $A$ ， $B$ 满足： $P (A | B) + P (\bar{A}) = 1$ ，则 $A$ ， $B$ 相互独立 D、若 $ξ ~ N (μ, σ^{2})$ ，且函数 $f (x) = P (x \leq ξ \leq x + 2)$ 为偶函数，则 $μ = 0$

查看试题解析
10. 过点 $P (4, 0)$ 的直线 $l$ 交抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 于A，B两点，线段AB的中点为 $M (x_{0}, y_{0})$ ，抛物线的焦点为 $F$ ，下列说法正确的是（）

A、以AB为直径的圆过坐标原点 B、 $\vec{F A} \cdot \vec{F B} < 0$ C、若直线 $l$ 的斜率存在，则斜率为 $\frac{2}{y_{0}}$ D、若 $y_{0} = 2$ ，则 $| A F | + | B F | =$ 12

查看试题解析
11. 若函数 $f (x) = 2^{x} s i n x - 1 (0 < x < \frac{π}{2})$ 的零点为 $x_{1}$ ，函数 $g (x) = 2^{x} c o s x - 1 (0 < x < \frac{π}{2})$ 的零点为 $x_{2}$ ，则（）

A、 $x_{1} x_{2} > \frac{π}{2}$ B、 $x_{1} + x_{2} < \frac{3 π}{4}$ C、 $c o s (x_{1} + x_{2}) < 0$ D、 $c o s x_{1} - s i n x_{2} < 0$

查看试题解析

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知曲线 $f (x) = x l n x - 1$ 在 $x = 1$ 处的切线 $l$ 与圆 $C : (x - 1)^{2} + y^{2} = 9$ 相交于A、B两点，则 $| A B | =$ ．

查看试题解析
13. 若复数 $z$ 满足： $| \frac{z - 3 i}{z} | = 2$ ，则 $| z + i | =$ .

查看试题解析
14. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 的直线与双曲线的左、右两支分别相交于 $M, N$ 两点，直线 $N F_{2}$ 与双曲线的另一交点为 $P$ ，若 $△ N P F_{1}$ 为等腰三角形，且 $△ N F_{1} F_{2}$ 的面积是 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积的2倍，则双曲线C的离心率为.

查看试题解析

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $s i n^{2} A + s i n^{2} B + s i n A s i n B = s i n^{2} C$ ．

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若 $a$ ， $b$ ， $c$ 成等差数列，且 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{15 \sqrt{3}}{4}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

查看试题解析
16. 某市组织宣传小分队进行法律法规宣传，某宣传小分队记录了前9天每天普及的人数，得到下表：
时间 $x$ （天）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
每天普及的人数y
80
98
129
150
203
190
258
292
310

(1)、从这9天的数据中任选4天的数据，以X表示4天中每天普及人数不少于240人的
天数，求X的分布列和数学期望；

(2)、由于统计人员的疏忽，第5天的数据统计有误，如果去掉第5天的数据，试用剩下
的数据求出每天普及的人数y关于天数 $x$ 的线性回归方程.
（参考数据：
$\bar{y} = \frac{1}{9} \sum_{i = 1}^{9} y_{i} = 190, \sum_{i = 1}^{9} (x_{i} - \bar{x})^{2} = 60, \sum_{i = 1}^{9} (y_{i} - \bar{y})^{2} = 55482,$ $\sum_{i = 1}^{9} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 1800$
附：对于一组数据 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ ， ……， $(x_{n}, y_{n})$ ，其回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x} .$ ）.

查看试题解析
17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B / / C D$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 2 B C = 2 C D = 4$ ， $P A = P D$ .

(1)、证明： $B D ⊥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、已知三棱锥 $B - P A D$ 的体积为 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ ，点 $N$ 为线段 $A P$ 的中点，设平面 $N C D$ 与平面 $P B D$ 的交线为 $l$ ，求直线 $l$ 与平面 $P A B$ 所成角的正弦值.

查看试题解析
18. 已知O为坐标原点，椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 1)$ 的上、下顶点为A、B，椭圆上的点P位于第二象限，直线PA、PB、PO的斜率分别为 $k_{1} 、 k_{2} 、 k_{3}$ ，且 $\frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}} = - 4 k_{3}$ .

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、过原点O分别作直线PA、PB的平行线与椭圆相交，得到四个交点，将这四个交点依次连接构成一个四边形，则此四边形的面积是否为定值？若为定值，请求出该定值；否则，请求出其取值范围.

查看试题解析
19. 已知函数 $f (x) = \frac{s i n x}{x}$ .

(1)、判断函数 $f (x)$ 在区间 $(0, 3 π)$ 上极值点的个数并证明；

(2)、函数 $f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上的极值点从小到大分别为 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, ⋯, x_{n}, ⋯$ ，设 $a_{n} = f (x_{n}), S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和.
①证明： $a_{1} + a_{2} < 0$ ；
②试问是否存在 $n \in N^{*}$ 使得 $S_{n} \geq 0$ ？若存在，求出 $n$ 的取值范围；若不存在，请说明理由.

查看试题解析

时间 $x$ （天）	1	2	3	4	5	6	7	8	9
每天普及的人数y	80	98	129	150	203	190	258	292	310