云南省红河州2024届高三下学期第二次复习统一检测数学试题

试卷更新日期：2024-04-10 类型：高考模拟

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有，项是符合题目要求的

1. 已知复数 $z = (2 + i) (1 - i)$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{10}$

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2. 设集合 $A = {0, 1, 2}, B = {3, m}$ ，若 $A \cap B = {2}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${0, 1, 2, 3}$ B、 ${0, 1, 2}$ C、 ${1, 2, 3}$ D、 ${2, 3}$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (1, - 2), \vec{b} = (- 1, - 2)$ ，设 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，则 $s i n θ =$ （）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $- \frac{4}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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4. 在 $(2 - \sqrt{x})^{7}$ 的展开式中，含 $x^{2}$ 的项的系数为（）

A、-280 B、280 C、560 D、-560

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5. 已知双曲线 $C : \frac{y^{2}}{3 m + 2} - \frac{x^{2}}{m} = 1 (m > 0)$ 的实轴长等于虚轴长的2倍，则 $C$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ B、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ C、 $y = \pm 2 x$ D、 $y = \pm \sqrt{2} x$

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6. 已知 $a, b$ 均为正实数，则“ $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ ”是“ $a^{2} + 2 b^{2} > 3 a b$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 孙子定理是中国古代求解一次同余式组的方法，是数论中一个重要定理，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，1852年英国来华传教士伟烈亚力将其问题的解法传至欧洲，1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.现有这样一个整除问题：将1至2024这2024个整数中能被2除余1且被3除余2的数，按从小到大的顺序排成一列，把这列数记为数列 ${a_{n}}$ .设 $b_{n} = (\sqrt{2})^{a_{n}}$ ，则 $\frac{b_{n + 1}}{b_{n}} =$ （）

A、8 B、16 C、32 D、64

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8. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{e^{x} + 1} - x^{3}$ ，对于任意的 $x \in (1, 2]$ ，不等式 $f (\frac{x + 1}{x - 1}) + f (\frac{t + 1}{(x - 1)^{2} (x - 6)}) < 1$ 恒成立，则实数 $t$ 的取值范围为（）

A、 $(1, + ∞)$ B、 $[- 1, 1]$ C、 $(- ∞, - 1]$ D、 $(- ∞, - 1)$

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二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 如图所示，圆锥的底面半径和高都等于球的半径，则下列选项中正确的是（）

A、圆锥的轴截面为直角三角形 B、圆锥的表面积大于球的表面积的一半 C、圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为 $π$ D、圆锥的体积与球的体积之比为 $1 : 4$

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10. 若圆 $O_{1} : x^{2} + y^{2} + 2 x - 3 = 0$ 与圆 $O_{2} : x^{2} + y^{2} - 2 y - 1 = 0$ 交于 $A, B$ 两点，则下列选项中正确的是（）

A、点 $(1, - 1)$ 在圆 $O_{2}$ 内 B、直线 $A B$ 的方程为 $x + y - 1 = 0$ C、圆 $O_{1}$ 上的点到直线 $A B$ 距离的最大值为 $2 + \sqrt{2}$ D、圆 $O_{2}$ 上存在两点 $P, Q$ ，使得 $| P Q | > | A B |$

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11. 已知函数 $f (x) = x^{2} - x - l n x$ ，则下列选项中正确的是（）

A、 $f (2) > f (\frac{1}{2})$ B、 $f (x)$ 既有极大值又有极小值 C、若方程 $m = f (| x |)$ 有4个根，则 $m \in (0, + ∞)$ D、若 $f (x_{1}) = f (x_{2}) (x_{1} \neq x_{2})$ ，则 $x_{1} x_{2} - (x_{1} + x_{2}) + 1 < 0$

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12. 某种高精度产品在研发后期，一企业启动产品试生产，假设试产期共有甲､乙､丙三条生产线且每天的生产数据如下表所示：
生产线
次品率
产量（件/天）
甲
$5 %$
500
乙
$3 %$
700
丙
$4 %$
800
试产期每天都需对每一件产品进行检测，检测方式包括智能检测和人工检测，选择检测方式的规则如下：第一天选择智能检测，随后每天由计算机随机等可能生成数字“0”或“1”，连续生成5次，把5次的数字相加，若和小于4，则该天检测方式和前一天相同，否则选择另一种检测方式.则下列选项中正确的是（）

A、若计算机5次生成的数字之和为 $ξ$ ，则 $P (ξ < 4) = \frac{3}{16}$ B、设 $n \geq 2, A_{n}$ 表示事件第 $n$ 天该企业产品检测选择的是智能检测，则 $P (A_{n}) = \frac{5}{8} P (A_{n - 1}) + \frac{3}{16}$ C、若每天任检测一件产品，则这件产品为次品的概率为 $3.75 %$ D、若每天任检测一件产品，检测到这件产品是次品，则该次品来自甲生产线的概率为 $\frac{25}{78}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = 1 + l o g_{2} x$ ，则 $f (- 2) + f (0) =$ .

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14. 已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{8} = 1$ 的右焦点为 $F$ ，直线 $l : m x + 3 y = 0 (m \in R)$ 交 $E$ 于 $A, B$ 两点，且 $B F ⊥ x$ 轴，则 $| A F | =$ .

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15. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x - \frac{π}{3}) (ω \in N^{*})$ 在 $[0, \frac{π}{3}]$ 上恰好有三个零点，请写出符合条件的一个 $ω$ 的值：.

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16. 如图，在棱长均相等的斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A C = \frac{π}{3}, \vec{B M} = λ \vec{B B_{1}}$ ， $\vec{C N} = μ \bar{C C_{1}}$ ，若存在 $λ \in (0, 1), μ \in (0, 1)$ ，使 $\vec{A M} \cdot \vec{B N} = 0$ 成立，则 $λ + μ$ 的最小值为.

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，记 $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，已知 $\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{c o s C} = 6 \sqrt{2}, a = \sqrt{2} b$ .

(1)、求 $a, b$ ；

(2)、请从① $S = \frac{\sqrt{3}}{12} (a^{2} + c^{2} - b^{2})$ ：② $b c o s A + \frac{\sqrt{2}}{2} a = c$ ；③ $b s i n A = a c o s (B - \frac{π}{6})$ 三个条件中任选一个，试探究满足条件的 $△ A B C$ 的个数，并说明理由.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

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18. 某网络购物平台专营店统计了某年2月15日至19日这5天在该店购物的人数 $y$ （单位：人）的数据如下表：
日期
2月15日
2月16日
2月17日
2月18日
2月19日
日期代号 $x$
1
2
3
4
5
购物人数 $y$
77
84
93
96
100

(1)、根据表中数据，建立 $y$ 关于 $x$ 的一元线性回归模型，并根据该回归模型预测当年2月21日在该店购物的人数（人数用四舍五入法取整数）；

(2)、为了了解参加网购人群的年龄分布，该店随机抽取了200人进行问卷调查.得到如下所示不完整的 $2 \times 2$ 列联表：
年龄
不低于40岁
低于40岁
合计
参与过网上购物
30

150
未参与过网上购物

30

合计

200
将列联表补充完整，并依据表中数据及小概率值 $α = 0.005$ 的独立性检验，能否认为“参与网上购物”与“年龄”有关.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}, χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$
$α$
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
$χ_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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19. 如图，已知 $D E ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 为等腰梯形， $A B$ $∥$ $D C, B F$ $∥$ $D E$ ， $D C = 2 A D = 4, D E = 3 B F = 3$ .

(1)、证明： $A F$ $∥$ 平面 $D C E$ ；

(2)、若 $B D ⊥ F C$ ，求平面 $A E F$ 与平面 $B D E F$ 的夹角的大小.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，且满足 $\frac{1}{a_{n}} + \frac{1}{T_{n}} = 1$ .

(1)、求 $a_{1}, a_{2}$ 的值；

(2)、试猜想数列 ${a_{n}}$ 的通项公式，并给予证明；

(3)、若 $b_{n} = \frac{n + 1}{2^{n} a_{n}}$ ，记数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，证明： $S_{n} < 2$ .

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21. 已知函数 $f (x) = l n x - x$ .

(1)、求 $f (x)$ 在 $(e, f (e))$ 处的切线方程；

(2)、设函数 $g (x) = x e^{\frac{1}{x}} + a f (x), a \in R$ ，求 $g (x)$ 的极值.

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22. 已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点到准线的距离为 $1, O$ 为坐标原点， $A, B$ 是 $C$ 上异于 $O$ 的不同的两点，且满足 $O A ⊥ A B$ ，点 $M$ 为 $△ A O B$ 外接圆的圆心.

(1)、求动点 $M$ 的轨迹方程；

(2)、当 $△ A O B$ 外接圆的面积最小时，求 $A, B$ 两点的坐标.

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生产线	次品率	产量（件/天）
甲	$5 %$	500
乙	$3 %$	700
丙	$4 %$	800

日期	2月15日	2月16日	2月17日	2月18日	2月19日
日期代号 $x$	1	2	3	4	5
购物人数 $y$	77	84	93	96	100

年龄	不低于40岁	低于40岁	合计
参与过网上购物	30		150
未参与过网上购物		30
合计			200

$α$	0.10	0.05	0.010	0.005	0.001
$χ_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828