四川省雅安市2024届高三下学期二诊数学（文）试题

试卷更新日期：2024-04-10 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$ ， $A = {2, 4, 6, 8}$ ， $B = {3, 4, 5, 6}$ ，则 $∁_{U} (A \cup B) =$ （）

A、 ${1, 9}$ B、 ${1, 7}$ C、 ${1, 7, 9}$ D、 ${2, 3, 4, 5, 6, 8}$

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2. 复数 $z = \frac{1 + 3 i}{1 - i} - i$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{13}$ B、 $\sqrt{5}$ C、2 D、 $\sqrt{2}$

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3. 某公司收集了某商品销售收入 $y$ （万元）与相应的广告支出 $x$ （万元）共10组数据 $(x_{i}, y_{i})$ （ $i = 1, 2, 3, ⋯, 10$ ），绘制出如下散点图，并利用线性回归模型进行拟合.
若将图中10个点中去掉 $A$ 点后再重新进行线性回归分析，则下列说法正确的是（）

A、决定系数 $R^{2}$ 变小 B、残差平方和变小 C、相关系数 $r$ 的值变小 D、解释变量 $x$ 与预报变量 $y$ 相关性变弱

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4. 已知 $D$ ， $E$ 分别为 $△ A B C$ 的边 $A B$ ， $A C$ 的中点，若 $\vec{D E} = (3, 4)$ ， $B (- 2, - 3)$ ，则点 $C$ 的坐标为（）

A、 $(4, 5)$ B、 $(1, 1)$ C、 $(- 5, - 7)$ D、 $(- 8, - 11)$

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5. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = \frac{a_{n} - 1}{a_{n} + 1}$ （ $n \in N^{*}$ ），则 $a_{2024} =$ （）

A、 $- 3$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、2

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6. 已知平面区域 $Ω = {\begin{array}{l} x + y - 4 \leq 0 \\ x - y - 2 \leq 0 \\ x \geq 0 \end{array}$ ，则 $x - 2 y$ 的最大值为（）

A、8 B、4 C、3 D、2

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7. 在区间 $(0, \frac{π}{2}]$ 随机取1个数 $x$ ，则 $x$ 使得 $s i n x + c o s x > \frac{\sqrt{6}}{2}$ 的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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8. 已知函数 $f (x) = c o s 2 x + s i n 2 x$ ，则下列说法中，正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小值为 $- 1$ B、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}]$ 上单调递增 C、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ D、 $f (x)$ 的图象可由 $g (x) = \sqrt{2} c o s 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{8}$ 个单位得到

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9. 如图，菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ， $E F$ 是 $△ B C D$ 的中位线， $A C$ 与 $E F$ 交于点 $G$ ，已知 $△ P E F$ 是 $△ C E F$ 绕 $E F$ 旋转过程中的一个图形﹐且 $P \notin$ 平面 $A B C D$ .给出下列结论：
① $B D / /$ 平面 $P E F$ ；
②平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C D$ ；
③“直线 $P F ⊥$ 直线 $A C$ ”始终不成立.
其中所有正确结论的序号为（）

A、①②③ B、①② C、①③ D、②③

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10. 已知函数 $f (x) = (a x + 1) e^{x}$ ，给出下列4个图象：
其中，可以作为函数 $f (x)$ 的大致图象的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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11. 已知 $F_{1} (- c, 0)$ ， $F_{2} (c, 0)$ 分别是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左右焦点，若过 $F_{1}$ 的直线与圆 ${(x - \frac{1}{2} c)}^{2} + y^{2} = c^{2}$ 相切，与 $C$ 在第一象限交于点 $P$ ，且 $P F_{2} ⊥ x$ 轴，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、3 C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\sqrt{5}$

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12. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 均为正数， $a = 1 + \frac{4}{a} - 2^{a}$ ， $b^{2} = 4 + b (2 - 3^{b})$ ， $\frac{4 - c^{2}}{c} = l o g_{4} (c + 3)$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $b < c < a$ B、 $b < a < c$ C、 $a < c < b$ D、 $a < b < c$

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二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 4^{x}, x \leq 0 \\ l o g_{2} x, x > 0 \end{array}$ .则 $f [f (- 2)]$ 的值为.

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14. 已知 $f (x) = x^{2} - x + 1$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为.

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} - a_{n} = 2^{n}$ ，则 $S_{n} =$ .

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16. 一个圆锥的顶点和底面圆都在半径为2的球体表面上，当圆锥的体积最大时，其底面圆的半径为.

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三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.

17. 某校在课外活动期间设置了文化艺术类活动和体育锻炼类活动，为了解学生对这两类活动的参与情况，统计了如下数据：

文化艺术类
体育锻炼类
合计
男
$100$
$300$
$400$
女
$50$
$100$
$150$
合计
$150$
$400$
$550$

(1)、通过计算判断，有没有 $90 %$ 的把握认为该校学生所选择课外活动的类别与性别有关系？

(2)、为收集学生对课外活动建议，在参加文化艺术类活动的学生中按性别用分层抽样的方法抽取了 $6$ 名同学.若在这 $6$ 名同学中随机抽取 $2$ 名，求所抽取的 $2$ 名同学中至少有 $1$ 名女生的概率.
附表及公式：
$P (K^{2} \geq k_{0})$
$0.15$
$0.10$
$0.05$
$0.025$
$0.010$
$k_{0}$
$2.072$
$2.706$
$3.841$
$5.024$
$6.635$
其中 $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ .

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18. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $M$ 为 $A C$ 边上的一点， $∠ A P C = ∠ P M A = 90 °$ ， $c o s ∠ C A B = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ， $A B = 2 P C = \sqrt{6}$ ， $P A = \sqrt{3}$ .

(1)、证明： $A C ⊥$ 平面 $P B M$ ；

(2)、设点 $Q$ 为边 $P B$ 的中点，试判断三棱锥 $P - A C Q$ 的体积是否有最大值？如果有，请求出最大值；如果没有，请说明理由.

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19. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $2 a c o s C - c c o s B = b c o s C$ .

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若 $C D$ 是 $∠ A C B$ 的角平分线， $C D = 4 \sqrt{3}$ ， $△ A B C$ 的面积为 $18 \sqrt{3}$ ，求 $c$ 的值.

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20. 在直角坐标系 $x O y$ 中，设 $F$ 为抛物线 $C : y^{2} = 2 p x$ （ $p > 0$ ）的焦点， $M$ 为 $C$ 上位于第一象限内一点.当 $\vec{M F} \cdot \vec{O F} = 0$ 时， $△ O F M$ 的面积为1.

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、当 $\vec{M F} \cdot \vec{O F} = - 3$ 时，如果直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，直线 $M A$ ， $M B$ 的斜率满足 $k_{M A} \cdot k_{M B} = - 2$ .证明直线 $l$ 是恒过定点，并求出定点坐标.

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x - 1$ .

(1)、若 $f (x)$ 存在极值，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $a \leq 1$ ， $x \in (0, + \infty)$ ，证明： $f (x) > x - s i n x$ .

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22. [选修4—4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + 2 c o s α \\ y = 2 s i n α \end{array}$ （ $α$ 为参数）.以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $ρ s i n (θ - \frac{π}{4}) = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求 $C$ 的普通方程和 $l$ 的直角坐标方程；

(2)、设直线 $l$ 与 $x$ 轴相交于点 $A$ ，动点 $B$ 在 $C$ 上，点 $M$ 满足 $\vec{A M} = \vec{M B}$ ，点 $M$ 的轨迹为 $E$ ，试判断曲线 $C$ 与曲线 $E$ 是否有公共点.若有公共点，求出其直角坐标；若没有公共点，请说明理由.

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23. [选修4—5：不等式选讲]已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 均为正数，且 $a + b + c = 3$ .

(1)、是否存在 $a$ ， $b$ ， $c$ ，使得 $\frac{1}{a} + \frac{9}{b + c} \in (0, 5)$ ，说明理由；

(2)、证明： $\sqrt{3 + a} + \sqrt{3 + b} + \sqrt{3 + c} ≤ 6$ .

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	文化艺术类	体育锻炼类	合计
男	$100$	$300$	$400$
女	$50$	$100$	$150$
合计	$150$	$400$	$550$

$P (K^{2} \geq k_{0})$	$0.15$	$0.10$	$0.05$	$0.025$	$0.010$
$k_{0}$	$2.072$	$2.706$	$3.841$	$5.024$	$6.635$