江西省八所重点中学2024届高三下学期4月联考数学试卷

试卷更新日期：2024-04-10 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 抛物线 $y = 2 x^{2}$ 的焦点坐标为（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(0, \frac{1}{2})$ C、 $(0, \frac{1}{4})$ D、 $(0, \frac{1}{8})$

查看试题解析
2. 已知集合 $A = {x | 2 k π + \frac{π}{6} < x < 2 k π + \frac{2 π}{3}, k \in Z}$ ，集合 $B = {x | k π + \frac{π}{4} < x < k π + \frac{π}{3}, k \in Z}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(2 k π + \frac{π}{4}, 2 k π + \frac{π}{3})$ ， $k \in Z$ B、 $(k π + \frac{π}{4}, k π + \frac{π}{3})$ ， $k \in Z$ C、 $(2 k π + \frac{π}{6}, 2 k π + \frac{π}{3})$ ， $k \in Z$ D、 $(k π + \frac{π}{6}, k π + \frac{π}{3})$ ， $k \in Z$

查看试题解析
3. 已知 $S_{n}$ 是正项等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且 $a_{1} + a_{5} = 82$ ， $a_{2} a_{4} = 81$ ，则 $S_{5} =$ （）

A、212 B、168 C、121 D、163

查看试题解析
4. 复数 $Z$ 在复平面内对应的点为 $Z (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ ， $O$ 为坐标原点，将向量 $\vec{O Z}$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $90 °$ 后得到向量 $\vec{O Z_{1}}$ ，点 $Z_{1}$ 对应复数为 $Z_{1}$ ，则 $Z_{1}^{5} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ B、 $- 1 + i$ C、 $- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$ D、 $- \frac{1}{4} + \frac{3}{4} i$

查看试题解析
5. 函数 $f (x) = | 2 x - m | - | l n x |$ 有且只有一个零点，则 $m$ 的取值可以是（）

A、2 B、1 C、3 D、 $θ$

查看试题解析
6. 已知正四棱锥 $P - A B C D$ ，现有五种颜色可供选择，要求给每个顶点涂色，每个顶点只涂一种颜色，且同一条棱上的两个顶点不同色，则不同的涂色方法有（）

A、240 B、420 C、336 D、120

查看试题解析
7. 已知 $α$ ， $β \in (0, \frac{π}{2})$ ， $2 (s i n β + s i n^{2} β) = \frac{s i n 2 β}{t a n α}$ ，则 $t a n (2 α + β + \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\sqrt{3}$

查看试题解析
8. 我国著名科幻作家刘慈欣的小说（三体II·黑暗森林）中的“水滴”是三体文明使用新型材料—强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，其外形与水滴相似，某科研小组研发的新材料水滴角测试结果如图所示（水滴角可看作液、固、气三相交点处气—液两相界面的切线与液—固两相交线所成的角），圆法和椭圆法是测量水滴角的常用方法，即将水滴轴截面看成圆或者椭圆（长轴平行于液—固两者的相交线，椭圆的短半轴长小于圆的半径）的一部分，设图中用圆法和椭圆法测量所得水滴角分别为 $θ_{1}$ ， $θ_{2}$ ，则（）

A、 $θ_{1} < θ_{2}$ B、 $θ_{1} = θ_{2}$ C、 $θ_{1} > θ_{2}$ D、 $θ_{1}$ 和 $θ_{2}$ 的大小关系无法确定

查看试题解析

二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题会出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分．若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．

9. 已知随机变量X、Y ，且 $Y = 3 X + 1, X$ 的分布列如下：
X
1
2
3
4
5
P
m
$\frac{1}{10}$
$\frac{1}{5}$
n
$\frac{3}{10}$
若 $E (Y) = 10$ ，则（）

A、 $m = \frac{3}{10}$ B、 $n = \frac{1}{5}$ C、 $E (X) = 3$ D、 $D (Y) = \frac{7}{3}$

查看试题解析
10. 已知函数 $f (x) = 2 c o s (ω x + φ) (0 < ω < 6, ω \in N^{*}, φ \in (0, \frac{π}{2}))$ ；满足： $\forall x \in R$ ， $f (x) - f (\frac{π}{3}) \leq 0$ 恒成立，且在 $(0, \frac{π}{3})$ 上有且仅有2个零点，则（）

A、 $f (x)$ 周期为 $π$ B、函数 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{6}, \frac{π}{3})$ 上单调递增 C、函数 $f (x)$ 的一条对称轴为 $x = \frac{π}{3}$ D、函数 $f (x)$ 的对称中心为 $(\frac{π}{30} + \frac{k π}{5}, 0) (k \in Z)$

查看试题解析
11. 在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} G_{1} D_{1}$ 中，点E ， F分别为棱 $D D_{1}$ ， $C_{1} D_{1}$ 的中点，过点 $E$ 的平面 $α$ 与平面 $B D C_{1}$ 平行，点 $G$ 为线段 $B C_{1}$ 上的一点，则下列说法正确的是（）

A、 $A_{1} G ⊥ B_{1} D$ B、若点 $Q$ 为平面 $α$ 内任意一点，则 $Q C + Q B$ 的最小值为 $2 \sqrt{6}$ C、底面半径为 $\frac{1}{2}$ 且高为 $\sqrt{3}$ 的圆柱可以在该正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} G_{1} D_{1}$ 内任意转动 D、直线 $A_{1} G$ 与平面 $B D C_{1}$ 所成角的正弦值的最大值为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

查看试题解析

三、填空题：本题共3小题，每小题6分共16分．把答案填在答题卡中的横线上．

12. ${(x^{2} - \frac{2}{x} - 1)}^{5}$ 展开式中 $x^{2}$ 项系数为．

查看试题解析
13. 在三角形 $A B C$ 中、 $B C = 4$ ，角 $A$ 刚平分能 $A D$ 交 $B C$ 于点 $D$ ，若 $\frac{B D}{D C} = \frac{1}{3}$ ，则三角形 $A B C$ 面积的最大值为．

查看试题解析
14. 已知函数 $f (x) = | \frac{2^{x + 1}}{2^{2} + 2^{- x}} - 1 - a |$ ，存在实数 $x_{1}, x_{2}, ⋯, x_{n}$ 使得 $\sum_{i = 1}^{n - 1} f (x_{i}) = f (x_{n})$ 成立，若正整数 $n$ 的最大值为8，则正实数 $a$ 的取值范围是．

查看试题解析

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，

15. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = \frac{π}{6}$ ， $a_{n} \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ ， $t a n a_{n + 1} = \frac{1}{c o s a_{n}}$ ， $(n \in N^{*})$ ．

(1)、证明：数列 ${t a n^{2} a_{n}}$ 为等差数列，并求数列 ${t a n a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求正整数 $m$ ，使得 $s i n a_{1} \cdot s i n a_{2} ⋯ ⋯ \cdot s i n a_{m} = \frac{1}{100}$ ．

查看试题解析
16. 三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ A C$ ， $A B = A C = 2$ ，侧面 $A_{1} A C C_{1}$ 为矩形， $∠ A_{1} A B = \frac{2 π}{3}$ ，三棱锥 $C_{1} - A B C$ 的体积为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ．

(1)、求侧棱 $A A_{1}$ 的长；

(2)、侧棱 $C C_{1}$ 上是否存在点 $E$ ，使得直线 $A E$ 与平面 $A_{1} B C$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ？若存在，求出线段 $C_{1} E$ 的长；若不存在，请说明理由．

查看试题解析
17. 在平面直角坐标系中， $F (1, 0)$ ，直线 $l_{1} : x = - 1$ ，动点 $M$ 在直线 $l_{1}$ 上，过点 $M$ 作直线 $l_{1}$ 的垂线，与线段 $F M$ 的中垂线交于点 $P$ ．

(1)、求点 $P$ 的轨迹 $C_{1}$ 的方程

(2)、经过曲线 $C_{1}$ 上一点 $P$ 作一条倾斜角为 $45 °$ 的直线 $l_{2}$ ，与曲线 $C_{2} : (x - 4)^{2} + y^{2} = 8$ 交于两个不同的点Q ， R ，求 $| P Q | \cdot | P R |$ 的取值范围．

查看试题解析
18. 一次摸奖活动，选手在连续摸奖时，首次中奖得1分，并规定：若连续中奖，则第一次中奖得1分，下一次中奖的得分是上一次得分的两倍：若某次未中奖，则该次得0分，且下一次中奖得1分．已知某同学连续摸奖 $n$ 次，总得分为 $X$ ，每次中奖的概率为 $\frac{1}{3}$ ，且每次摸奖相互独立．

(1)、当 $n = 5$ 时，求 $X = 3$ 的概率；

(2)、当 $n = 3$ 时，求 $X$ 的概率分布列和数学期望；

(3)、当 $n = 30$ 时，判断 $X$ 的数学期望与10的大小，并说明理由．

查看试题解析
19. 已知函数 $f (x) = l n (x + 1) - a x$ ， $f (x) \leq 0$ 恒成立．

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = \frac{1}{4} (m - 3 x)$ 在 $[2, 4]$ 上有两个不相等的实数根，求实数 $m$ 的取值范围；

(3)、数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{n + 1} = a_{n} + l n (p - a_{n})$ ， $a_{1} = \frac{1}{4} p^{2} + e^{p} - 2$ ，若数列 ${a_{n}}$ 中有无穷个不同的项，求整数 $p$ 的值．

查看试题解析

X	1	2	3	4	5
P	m	$\frac{1}{10}$	$\frac{1}{5}$	n	$\frac{3}{10}$